Учимся строить сечения многогранников. Сечение

Определение

Сечение - это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур. Напомним основные факты.
Для более подробного изучения рекомендуется ознакомиться с темами “Введение в стереометрию. Параллельность” и “Перпендикулярность. Углы и расстояния в пространстве” .

Важные определения

1. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Две прямые в пространстве скрещиваются, если через них нельзя провести плоскость.

4. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

5. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\) .

6. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

7. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\) .

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Важные теоремы

1. Если прямая \(a\) , не лежащая в плоскости \(\pi\) , параллельна некоторой прямой \(p\) , лежащей в плоскости \(\pi\) , то она параллельна данной плоскости.

2. Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\) . Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\) , то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) - прямая \(m\) - параллельна прямой \(p\) .

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

4. Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\) , то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\lambda\) . Если прямая \(s\) пересекает плоскость \(\lambda\) в точке \(S\) , не лежащей на прямой \(l\) , то прямые \(l\) и \(s\) скрещиваются.

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть \(AH\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\) . Пусть \(AB, BH\) – наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\) . Тогда прямая \(x\) в плоскости \(\beta\) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

Для этого из двух произвольных точек \(A\) и \(B\) прямой \(a\) проведем перпендикуляры на плоскость \(\mu\) – \(AA"\) и \(BB"\) (точки \(A", B"\) называются проекциями точек \(A,B\) на плоскость). Тогда прямая \(A"B"\) – проекция прямой \(a\) на плоскость \(\mu\) . Точка \(M=a\cap A"B"\) и есть точка пересечения прямой \(a\) и плоскости \(\mu\) .

Причем заметим, что все точки \(A, B, A", B", M\) лежат в одной плоскости.

Пример 1.

Дан куб \(ABCDA"B"C"D"\) . \(A"P=\dfrac 14AA", \ KC=\dfrac15 CC"\) . Найдите точку пересечения прямой \(PK\) и плоскости \(ABC\) .

Решение

1) Т.к. ребра куба \(AA", CC"\) перпендикулярны \((ABC)\) , то точки \(A\) и \(C\) - проекции точек \(P\) и \(K\) . Тогда прямая \(AC\) – проекция прямой \(PK\) на плоскость \(ABC\) . Продлим отрезки \(PK\) и \(AC\) за точки \(K\) и \(C\) соответственно и получим точку пересечения прямых – точку \(E\) .

2) Найдем отношение \(AC:EC\) . \(\triangle PAE\sim \triangle KCE\) по двум углам (\(\angle A=\angle C=90^\circ, \angle E\) – общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за \(a\) , то \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2\) . Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\) с основанием \(ABC\) , высота которой равна стороне основания. Пусть точка \(M\) делит боковое ребро пирамиды в отношении \(1:4\) , считая от вершины пирамиды, а \(N\) – высоту пирамиды в отношении \(1:2\) , считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\) .

Решение

1) Пусть \(DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2\) (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку \(O\) пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\) . Т.к. \(DO\perp (ABC)\) , то и \(NO\perp (ABC)\) . Значит, \(O\) – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр \(MQ\) из точки \(M\) на плоскость \(ABC\) . Точка \(Q\) будет лежать на медиане \(AK\) .
Действительно, т.к. \(MQ\) и \(NO\) перпендикулярны \((ABC)\) , то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки \(M, N, O\) лежат в одной плоскости \(ADK\) , то и точка \(Q\) будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка \(Q\) должна лежать в плоскости \(ABC\) , следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – \(AK\) .

Значит, прямая \(AK\) и есть проекция прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\) . \(L\) – точка пересечения этих прямых.

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки \(L\) (например, на нашем чертеже точка \(L\) лежит вне отрезка \(OK\) , хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим \(AB=DO=a\) . Тогда медиана \(AK=\dfrac{\sqrt3}2a\) . Значит, \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1{2\sqrt3}a\) . Найдем длину отрезка \(OL\) (тогда мы сможем понять, внутри или вне отрезка \(OK\) находится точка \(L\) : если \(OL>OK\) – то вне, иначе – внутри).

а) \(\triangle AMQ\sim \triangle ADO\) по двум углам (\(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle A\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{DO}=\dfrac{AQ}{AO}=\dfrac{MA}{DA}=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1{\sqrt3}a\]

Значит, \(QK=\dfrac{\sqrt3}2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1{\sqrt3}a=\dfrac7{10\sqrt3}a\) .

б) Обозначим \(KL=x\) .
\(\triangle LMQ\sim \triangle LNO\) по двум углам (\(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle L\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a} =\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, \(OL>OK\) , значит, точка \(L\) действительно лежит вне отрезка \(AK\) .

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\) (то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\) ).

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\) . Найдите сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) , проходящей через точку \(C\) и середину ребра \(SA\) и параллельной прямой \(BD\) .

Решение

1) Обозначим середину ребра \(SA\) за \(M\) . Т.к. пирамида правильная, то высота \(SH\) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость \(SAC\) . Отрезки \(CM\) и \(SH\) лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке \(O\) .

Для того, чтобы плоскость \(\alpha\) была параллельна прямой \(BD\) , она должна содержать некоторую прямую, параллельную \(BD\) . Точка \(O\) находится вместе с прямой \(BD\) в одной плоскости – в плоскости \(BSD\) . Проведем в этой плоскости через точку \(O\) прямую \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\) ). Тогда, соединив точки \(C, P, M, K\) , получим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) .

2) Найдем отношение, в котором делят точки \(K\) и \(P\) ребра \(SB\) и \(SD\) . Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

Заметим, что так как \(KP\parallel BD\) , то по теореме Фалеса \(\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}\) . Но \(SB=SD\) , значит и \(SK=SP\) . Таким образом, можно найти только \(SP:PD\) .

Рассмотрим \(\triangle ASC\) . \(CM, SH\) – медианы в этом треугольнике, следовательно, точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины, то есть \(SO:OH=2:1\) .

Теперь по теореме Фалеса из \(\triangle BSD\) : \(\dfrac{SP}{PD}=\dfrac{SO}{OH}=\dfrac21\) .

3) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах \(CO\perp BD\) как наклонная (\(OH\) – перпендикуляр на плоскость \(ABC\) , \(CH\perp BD\) – проекция). Значит, \(CO\perp KP\) . Таким образом, сечением является четырехугольник \(CPMK\) , диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Пример 4

Дана прямоугольная пирамида \(DABC\) с ребром \(DB\) , перпендикулярным плоскости \(ABC\) . В основании лежит прямоугольный треугольник с \(\angle B=90^\circ\) , причем \(AB=DB=CB\) . Проведите через прямую \(AB\) плоскость, перпендикулярную грани \(DAC\) , и найдите сечение пирамиды этой плоскостью.

Решение

1) Плоскость \(\alpha\) будет перпендикулярна грани \(DAC\) , если она будет содержать прямую, перпендикулярную \(DAC\) . Проведем из точки \(B\) перпендикуляр на плоскость \(DAC\) - \(BH\) , \(H\in DAC\) .

Проведем вспомогательные \(BK\) – медиану в \(\triangle ABC\) и \(DK\) – медиану в \(\triangle DAC\) .
Т.к. \(AB=BC\) , то \(\triangle ABC\) – равнобедренный, значит, \(BK\) – высота, то есть \(BK\perp AC\) .
Т.к. \(AB=DB=CB\) и \(\angle ABD=\angle CBD=90^\circ\) , то \(\triangle ABD=\triangle CBD\) , следовательно, \(AD=CD\) , следовательно, \(\triangle DAC\) – тоже равнобедренный и \(DK\perp AC\) .

Применим теорему о трех перпендикулярах: \(BH\) – перпендикуляр на \(DAC\) ; наклонная \(BK\perp AC\) , значит и проекция \(HK\perp AC\) . Но мы уже определили, что \(DK\perp AC\) . Таким образом, точка \(H\) лежит на отрезке \(DK\) .

Соединив точки \(A\) и \(H\) , получим отрезок \(AN\) , по которому плоскость \(\alpha\) пересекается с гранью \(DAC\) . Тогда \(\triangle ABN\) – искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\) .

2) Определим точное положение точки \(N\) на ребре \(DC\) .

Обозначим \(AB=CB=DB=x\) . Тогда \(BK\) , как медиана, опущенная из вершины прямого угла в \(\triangle ABC\) , равна \(\frac12 AC\) , следовательно, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) .

Рассмотрим \(\triangle BKD\) . Найдем отношение \(DH:HK\) .

Заметим, что т.к. \(BH\perp (DAC)\) , то \(BH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(BH\) – высота в \(\triangle DBK\) . Тогда \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\) , следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x \Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

Рассмотрим теперь \(\triangle ADC\) . Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины. Значит, \(H\) – точка пересечения медиан в \(\triangle ADC\) (т.к. \(DK\) – медиана). То есть \(AN\) – тоже медиана, значит, \(DN=NC\) .

Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение сечений.

С самого раннего детства мы сталкиваемся с сечениями. Режем хлеб, колбасу и другие продукты, обстругиваем палочку или карандаш ножом. Секущей плоскостью во всех этих случаях является плоскость ножа. Сечения (срезы кусочков) оказываются различными.

Сечение выпуклого многогранника есть выпуклый многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многоугольника, а стороны- линиями пересечения секущей плоскости с гранями.

Для построения прямой пересечения двух плоскостей достаточно найти две общие точки этих плоскостей и провести через них прямую. Это основано на следующих утверждениях:

1.если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости;

2.если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Как я уже сказал ппостроение сечений многогранников можно осуществлять на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей. Вместе с тем, существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются следующие три метода:

Метод следов

Метод внутреннего проектирования

Комбинированный метод.

В изучении геометрии и, в особенности, тех её разделов, где рассматриваются изображения геометрических фигур, изображения геометрических фигур помогают использования компьютерных презентаций. С помощью компьютера многие уроки геометрии становятся более наглядной и динамичной. Аксиомы, теоремы, доказательства, задачи на построения, задачи на построения сечений можно сопровождать последовательными построениями на экране монитора. Сделанные с помощью компьютера чертежи можно сохранять и вставлять их в другие документы.

Хочу показать несколько слайдов по теме: «Построения сечений в геометрических телах»

Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную прямую. Тогда искомая точка является точкой пересечения найденной прямой с данной. Проследим это на следующих слайдах.

Задача 1.

На ребрах тетраэдра DABC отмечены две точки М и N; М GAD, N б DC. Укажите точку пересечения прямой MN с плоскостью основания.

Решение: для того, чтобы найти точку пересечения прямой MN с плоскостью

основания мы продолжим АС и отрезок MN. Отметим точку пересечения этих прямых через X. Точка X принадлежит прямой MN и грани АС, а АС лежит в плоскости основания, значит точка X тоже лежит в плоскости основания. Следовательно, точка X есть точка пересечения прямой MN с плоскостью основания.

Рассмотрим вторую задачу. Немного усложним его.

Задача 2.

Дан тетраэдр DABC точки М и N, где М € DA, N С (DBC). Найти точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC .

Решение: точка пересечения прямой MN с плоскостью ABC должна лежать в плоскости, которая содержит прямую MN и в плоскости основания. Продолжим отрезок DN до точки пересечения с ребром DC. Точку пересечения отметим через Е. Продолжим прямую АЕ и MN до точки их пересечения. Отметим X. Точка X принадлежит MN, значит она лежит на плоскости которая содержит прямую MN и X принадлежит АЕ, а АЕ лежит на плоскости ABC. Значит X тоже лежит в плоскости ABC. Следовательно X и есть точка пересечения прямой MN и плоскости ABC.

Усложним задачу. Рассмотрим сечение геометрических фигур плоскостями, проходящими через три данные точки.

Задача 3

На ребрах AC, AD и DB тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение: построим прямую, по которой плоскость MNP. Пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения ещё одной общей точки продолжим отрезок АВ и NP. Точку пересечения отметим через X, которая и будет второй общей точкой плоскости MNP и ABC. Значит эти плоскости пересекаются по прямой MX . MX пересекает ребро ВС в некоторой точке Е. Так как Е лежит на MX, а MX прямая принадлежащей плоскости MNP, значит РЕ принадлежит MNP. Четырёхугольник MNPE искомое сечение.

Задача 4

Построим сечение прямой призмы АВСА1В1С1 плоскостью проходящей через точки P, Q ,R, где R принадлежит (AA 1C 1C ), Р принадлежит В 1С1,

Q принадлежит АВ

Решение: Все три точки P,Q,R лежат в разных гранях, поэтому построить линию пересечения секущей плоскости с какой- либо гранью призмы мы пока не можем. Найдем точку пересечения PR с ABC. Найдем проекции точек Р и R на плоскость основания PP1 перпендикулярно ВС и RR1 перпендикулярна АС. Прямая P1R1 пересекается с прямой PR в точке X. X точка пересечения прямой PR с плоскостью ABC. Она лежит в искомой плоскости К ив плоскости основания, как и точка Q. XQ- прямая пересекающая К с плоскостью основания. XQ пересекает АС в точке К. Следовательно, KQ отрезок пересечения плоскости Х с гранью ABC. К и R лежат в плоскости Х и в плоскости грани АА1С1С. Проведем прямую KR и точку пересечения с A1Q отметим Е. КЕ является линией пересечения плоскости Х с этой гранью. Найдем линию пересечения плоскости Х с плоскостью граней BB1A1A. КЕ пересекается с А1А в точке У. Прямая QY есть линия пересечения секущей плоскости с плоскостью AA1B1B. FPEKQ- искомое сечение.

Как известно, любой экзамен по математике содержит в качестве основной части решение задач. Умение решать задачи – основной показатель уровня математического развития.

Достаточно часто на школьных экзаменах, а так же на экзаменах, проводимых в ВУЗах и техникумах, встречаются случаи, когда ученики, показывающие хорошие результаты в области теории, знающие все необходимые определения и теоремы, запутываются при решении весьма простых задач.

За годы обучения в школе каждый ученик решает большое число задач, но при этом для всех учеников задачи предлагаются одни и те же. И если некоторые ученики усваивают общие правила и методы решения задач, то другие, встретившись с задачей незнакомого вида, даже не знают, как к ней подступиться.

Одной из причин такого положения является то, что если одни ученики вникают в ход решения задачи и стараются осознать и понять общие приёмы и методы их решения, то другие не задумываются над этим, стараются как можно быстрее решить предложенные задачи.

Многие учащиеся не анализируют решаемые задачи, не выделяют для себя общие приёмы и способы решения. В таких случаях задачи решаются только ради получения нужного ответа.

Так, например, многие учащиеся даже не знают, в чём суть решения задач на построение. А ведь задачи на построение являются обязательными задачами в курсе стереометрии. Эти задачи не только красивы и оригинальны в методах своего решения, но и имеют большую практическую ценность.

Благодаря задачам на построение развивается способность мысленно представлять себе ту или иную геометрическую фигуру, развивается пространственное мышление, логическое мышление, а так же геометрическая интуиция. Задачи на построение развивают навыки решения проблем практического характера.

Задачи на построения не являются простыми, так как единого правила или алгоритма для их решения не существует. Каждая новая задача уникальна и требует индивидуального подхода к решению.

Процесс решения любой задачи на построение – это последовательность некоторых промежуточных построений, приводящих к цели.

Построение сечений многогранников базируется на следующих аксиомах:

1) Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в данной плоскости;

2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.

Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С. Рассмотрим следующие примеры.

Метод следов

I. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости одного из оснований призмы и точку А.

Случай 1.

Точка А принадлежит другому основанию призмы (или грани, параллельной прямой g) – секущая плоскость пересекает это основание (грань) по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Точка А принадлежит боковой грани призмы:

Отрезок ВС прямой AD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую g в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.

II. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости основания пирамиды и точку А.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Случай 1.

Если точка А принадлежит грани, параллельной прямой g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, параллельному следу g.

Случай 2.

Если точка А, принадлежащая сечению, расположена на грани, не параллельной грани следу g, то:

1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;

2) проводится прямая через точки А и D.

Отрезок ВС прямой АD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.

Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.

Случай 3.

Построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из боковых ребер.

Задачи на построение сечений через точку на грани

1. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через вершину С и точки М и N на гранях АСD и АВС соответственно.

Точки С и М лежат на грани АСD, значит, и прямая СМ лежит в плоскости этой грани (рис. 1).

Пусть Р – точка пересечения прямых СМ и АD. Аналогично, точки С и N лежат в грани АСВ, значит прямая СN лежит в плоскости этой грани. Пусть Q – точка пересечения прямых СN и АВ. Точки Р и Q принадлежат и плоскости сечения, и грани АВD. Поэтому отрезок РQ – сторона сечения. Итак, треугольник СРQ – искомое сечение.

2. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью MPN, где точки M, N, P лежат соответственно на ребре АD, в грани ВСD и в грани АВС, причем MN не параллельно плоскости грани АВС (рис. 2) .

Остались вопросы? Не знаете, как построить сечение многогранника?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Сечение - изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями.
На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости .

Сечения обычно применяют для выявления поперечной формы предмета. Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой. Штриховые линии наносят в соответствии с общими правилами.

Порядок формирования сечения:
1. Вводится секущая плоскость в том месте детали, где необходимо более полно выявить ее форму. 2. Мысленно отбрасывается часть детали, расположенная между наблюдателем и секущей плоскостью. 3. Фигура сечения мысленно поворачивается до положения, параллельного основной плоскости проекций P. 4. Изображение сечения формируют в соответствии с общими правилами проецирования.

Сечения, не входящие в состав , разделяют на:

Вынесенные;
- наложенные.

Вынесенные сечения являются предпочтительными и их допускается располагать в разрыве между частями одного и того же вида.
Контур вынесенного сечения, а также сечения, входящего в состав разреза, изображают сплошными основными линиями.

Наложенным называют сечение , которое располагают непосредственно на виде предмета. Контур наложенного сечения выполняют сплошной тонкой линией. Фигуру сечения располагают в том месте основного вида, где проходит секущая плоскость, и заштриховывают.

Наложение сечений: а) симметричное; б) несимметричное

Ось симметрии наложенного или вынесенного сечения указывают штрихпунктирной тонкой линией без обозначения буквами и стрелками и линию сечения не проводят.

Сечения в разрыве. Такие сечения располагают в разрыве основного изображения и выполняют сплошной основной линией.
Для несимметричных сечений, расположенных в разрыве или наложенных линию сечения проводят со стрелками, но буквами не обозначают.

Сечение в разрыве: а) симметричное; б) несимметричное

Вынесенные сечения располагают:
- на любом месте поля чертежа;
- на месте основного вида;
- с поворотом с добавлением знака «повернуто»

Если секущая плоскость проходит через ось поверхности вращения, ограничивающие отверстие или углубления, то их контур в сечении показывают полностью, т.е. выполняют по правилу разреза.

Если сечение получается состоящим из двух и более отдельных частей, то следует применить разрез, вплоть до изменения направления взгляда.
Секущие плоскости выбирают так, чтобы получить нормальные поперечные сечения.
Для нескольких одинаковых сечений, относящихся к одному предмета, линию сечения обозначают одной буквой и вычерчивают одно сечение.

Выносные элементы.
Выносной элемент - отдельное увеличенное изображение части предмета для представления подробностей, не указанных на соответствующем изображении; может отличаться от основного изображения по содержанию. Например, основное изображение является видом, а выносной элемент - разрезом.

На основном изображении часть предмета выделяют окружностью произвольного диаметра, выполненной тонкой линией, от нее идет линия-выноска с полочкой, над которой ставят прописную букву русского алфавита, высотой более, чем высота размерных чисел. Над выносным элементом пишут эту же букву и справа от нее в круглых скобках, без буквы М, указывают масштаб выносного элемента.

Цель работы:
Развитие пространственных представлений.
Задачи:
1. Познакомить с правилами построения сечений.
2. Выработать навыки построения сечений
тетраэдра и параллелепипеда при различных
случаях задания секущей плоскости.
3. Сформировать умение применять правила
построения сечений при решении задач по
темам «Многогранники».

Понятие секущей плоскости

Понятие сечения многогранника

Работа по рисункам

Правила построения сечений

Правила построения сечений

10. Построение сечений тетраэдра

11.

12.

13. проходящей через точку М параллельно АВС.

14.

15.

16.

17.

18. Построение сечений параллелепипеда

19.

20. Построить сечение параллелепипеда плоскостью проходящей через точку Х параллельно плоскости (ОСВ)

21.

22. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, К, Т

23. Выполните задания самостоятельно

24. Использованные ресурсы

Главная » Сленг » Учимся строить сечения многогранников. Сечение