Задание 2. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

На рисунке жирными точками показана цена цинка на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 5 по 18 февраля 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена тонны цинка в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену цинка на момент закрытия торгов в период с 6 по 15 февраля (в долларах США за тонну).

7 числа 2330.

Задание 3. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Выберем сторону, и проведем к ней высоту, тогда: $$S=\frac{1}{2}*a*h=\frac{1}{2}*1*2=1$$

Задание 4. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найти вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Вероятность быть исправленной 1-0,04=0,96.
Вероятность быть при этом быть заблокированной 0,96*0,01=0,0096.
Вероятность заблокировать неисправную 0,04*0,95=0,038.
Общая вероятность:0,038+0,0096=0,0476

Задание 5. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

Решите уравнение $$\sqrt{3-2x}=x$$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из ниx

$$\sqrt{3-2x}=x$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3-2x\geq 0\\x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x\leq 1,5\\x\geq 0\end{matrix}\right.$$
$$(\sqrt{3-2x})^{2}=x^{2}\Leftrightarrow$$
$$3-2x=x^{2}$$
$$x^{2}+2x-3=0$$
$$\left [\begin{matrix}x_{1}+x_{2} =-2& & \\x_{1}*x_{2}=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left [\begin{matrix}x_{1}=-3\\x_{2}=1\end{matrix}\right.x_{1}\notin$$ ОДЗ, следовательно, корнем будет 1

Задание 6. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 84 и 6. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

$$\angle MCB=\frac{90}{2}=45.$$ $$\Delta CHB: \angle HCB=90-\angle HBC=6$$ $$\angle MCH=\angle MCB-\angle HCB=39$$

Задание 7. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Значение производной есть тангенс угла между касательной, проведенной в заданную точку и осью Ох. Достроим $$\Delta ABC$$ : $$tg\angle ABC=\frac{AC}{CB}=\frac{2}{1}=2$$. Так как функция убывает, то значение производной будет отрицательное, то есть -2

Задание 8. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

Площадь боковой поверхности конуса равна 16 см 2 . Радиус основания конуса уменьшили в 4 раза, а образующую увеличили в 2 раза. Найдите площадь боковой поверхности получившегося конуса. Ответ дайте в см 2

$$S=\pi *R*l$$- площадь боковой поверхности конуса.
Пусть $$R_{1}$$ и $$l_{1}$$ - радиус и образующая начального конуса, тогда $$S_{1} =\pi*R_{1}*L_{1}$$, и $$R_{2}=\frac{R_{1}}{4}$$; $$L_{2}=2L_{1}$$, где $$R_{2}$$ и $$L_{2}$$ –нового.
$$S_{2}=\pi *R_{2}*l_{2}=\pi *\frac{R_{1}}{4}*2*L_{1}=$$$$\frac{1}{2}*\pi *R_{1}*L_{1}=\frac{1}{2}*S_{1}=\frac{1}{2}*16=8$$

Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

Небольшой мячик бросают под острым углом $$\alpha$$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $$H=\frac{v_{0} ^{2}}{4g}(1-\cos 2\alpha)$$ , где $$v_{0}=26$$ м/с ‐ начальная скорость мячика, а g ‐ускорение свободного падения (считайте g = 10). При каком наименьшем значении угла $$\alpha$$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 15,9 м на расстоянии 1 м?

$$H=\frac{v_{o}^{2}}{4*g}*(1-\cos2\alpha)\Rightarrow$$ $$1-\cos2\alpha =\frac{4 *H*g}{v_{o}^{2}}\Rightarrow$$ $$\cos2\alpha =1-\frac{4*H*g}{v_{o}^{2}}$$.
$$\cos2\alpha =1-\frac{4*16,9*10}{26^{2}}=1-1=0$$
$$2\alpha =90\Rightarrow \alpha =45$$.

Задание 11. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Пусть x-стоимость брюк,y - рубашки,z - пиджака:
Выразим стоимость рубашки через стоимость брюк:
1)y-100%
x-130%
$$y=\frac{100x}{130}$$.
Выразим стоимость пиджака через стоимость брюк:
2) z-100%
x-78%
$$z=\frac{100x}{78}$$
Выразим стоимость рубашки через стоимость пиджака:
3) $$\frac{100x}{78}-100$$%
$$\frac{100x}{130}-a$$%
$$A=\frac{\frac{100x}{130}*100}{\frac{100x}{78}}=$$$$\frac{100x*78}{130x}=60$$%

Следовательно, так как стоимость рубашки составляет 60% от стоимость пиджака, то рубашка дешевле на 40%.

Задание 12. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-12x+11$$ на отрезке

$$y=\frac{2}{3}*x\sqrt{x}-12x+11=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-12x+11$$

Найдем значение производной:

$$y"=\frac{2}{3}*\frac{3}{2}*x^{\frac{1}{2}}-12=0$$

Найдем точки экстремума:

$$\sqrt{x}-12=0\Rightarrow x=144$$ - точка минимума (при х=9 y"<0, а при x=169 y">0)

Найдем наименьшее значение на данном промежутке:

$$y(144)=\frac{2}{3}*144*\sqrt{144}-12*144+11=1152-1728+11=-565$$

Задание 13. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

а) Решите уравнение $$(1+tg^{2} x)\cos(\frac{\pi}{2}+2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$

а)$$(1+tg^{2}x)*\cos(\frac{\pi }{2}+2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Найдем ограничения по х:

$$\cos x\neq 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{2}+\pi *n, n\in Z$$

Учтем, что $$1+tg^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$$ и $$\cos(\frac{\pi }{2}+2x)=-\sin 2x$$

$$\frac{1}{\cos^{2}x}*(-\sin 2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$$\frac{-2*\sin x*\cos x}{cos^{2}x}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$-tgx=\frac{1}{3}$$

$$tg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$x=-\frac{\pi }{6}+\pi *n, n\in Z$$

б)Отметим полученные корни в общем виде на окружности, а так же интервал, данный по условию (он включает в себя полностью всю окружность (синий цвет) и сектор во второй четверти (красный цвет))

Найдем корни, которые попадут в данный промежуток:

$$-\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$$

$$0-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$$

$$\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}.$$

Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 сторона основания $$AB=6\sqrt{3}$$ . На ребре BC отмечена точка М так, что BC:MC=3:1, а на ребре AC отмечена точка N так, что AN:NC=2:1. Точка К середина ребра АВ.

а) Доказать что ОК параллельна плоскости MNC 1 , где О‐центр вписанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 .

б) Найти угол между прямой ОК и плоскостью основания, если площадь треугольника MNC 1 равна $$6\sqrt{3}$$

А) 1) $$\Delta A_{1}B_{1}C_{1}\Rightarrow C_{1}O:OL=2:1$$

2) $$BC:MC=3:1\Rightarrow BM:MC= 2:1$$, и $$AN: NC= 2: 1 \Rightarrow \Delta CNM\sim \Delta ABC$$ и $$NM\left | \right |AB$$ и $$CH:HK=1:2$$

3) $$C_{1}L=CK, C_{1}L\left | \right | CK$$ и $$KH=\frac{2}{3}CK$$ и $$OC_{1}=\frac{2}{3}C_{1}L \Rightarrow$$

$$C_{2}O=KH$$ и $$KOC_{1}H$$- параллелограмм $$\Rightarrow KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow KO \left | \right | NMC_{1}$$

Б) 1) $$KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow$$ угол между KO и $$(C_{1}NM)$$ равен углу между $$C_{1}H$$ и $$(C_{1}NM)$$

2) из $$\Delta ABC: CK=CB*\sin60=6\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=9$$.

$$CH=\frac{1}{3}CK=3$$.

3) $$NM=\frac{1}{3}AB=2\sqrt{3}; C_{1}H\perp HM\Rightarrow C_{1}H=\frac{2S_{C_{1}MN}}{NM}=\frac{2*6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=6$$.

4) $$\cos \angle C_{1}HC=\frac{HC}{HC_{1}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$. Тогда $$\angle C_{1}HC=60^{\circ}$$

Задание 15. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

Решите неравенство: $$\frac{\log_{9} x-\log_{18} x}{\log_{18} (2-x)-\log_{36} (2-x)}=\log_{36} 9$$

$$\frac{\log_{9}x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}\leq \log_{36} 9$$

$$\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\2-x> 0 \\ \log_{18} (2-x)-\log_{36}(2-x)\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x> 0 \\x< 2 \\2-x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\x< 2\\x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in (0; 1)\cup (1;2)$$

Рассмотрим промежутки по отдельности и воспользуемся свойствами логарифмических функций:

При $$x\in (0; 1) : (a)\log_{9}x-\log_{18}x< 0$$, $$(b)\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)> 0\Rightarrow$$ $$(f)\frac{\log_{9}x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}< 0$$.

Аналогично $$x\in (1;2) (a) > 0; (b) < 0\Rightarrow f< 0$$, но $$\log_{36}9 >0$$ при всех х из полученных промежутков, следовательно, неравенство выполняется в обоих случаях и $$\Rightarrow x\in (0;1)\cup (1;2)$$.

Задание 16. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD . Отрезок LM содержит точку K . Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность.

а) Докажите, что четырехугольник ABCD трапеция.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 3 , $$AC=\sqrt{13}$$ и LK:KM=1:3

А) 1)Пусть BC не параллельна AD. Построим $$a \left | \right |AD ;a\cap AD=P$$; $$MK\cap BP=L_{1}$$ и $$BL_{1}=L_{1}P$$ (свойство трапеции)

2) $$BL=LC; BL_{1}=L_{1}P\Rightarrow LL_{1}$$-средняя линия. $$\Delta BCP$$ и $$LL_{1}\left | \right |PC$$ и $$LM\left | \right |AC$$, но $$LM\cap AC=K\Rightarrow BC\left | \right |AP ABCD$$-трапеция.

б) 1) $$\Delta BCK\sim \Delta AKD\Rightarrow \frac{LK}{KM}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}$$ Пусть BC=x; AD=3x.

2)Т.к. окружность можно вписать,то $$AD+BC=AB+CD\Rightarrow CD=4x-3$$

3) Из C проведем $$CQ\left | \right |AB(CQ\cap AD=Q)$$, $$CQ=AB=3 BC=AQ=x\Rightarrow QD=2x$$.

4)Из $$\Delta ADC$$: $$\cos\angle D=\frac{3x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}$$

Из $$\Delta QDC$$: $$\cos\angle D=\frac{(2x)^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2*2x*(4x-3)}$$

$$\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}=$$$$\frac{4x^{2}+(4x-3)-9}{2*2x(4x-3)}\Leftrightarrow$$$$\frac{25x^{2}-24x-4}{3}=\frac{20x^{2}-24x}{2}\Leftrightarrow$$$$25x^{2}-24x-4=30x^{2}-36x\Leftrightarrow$$$$5x^{2}-12x+4=0\Leftrightarrow$$$$\left [\begin{matrix}x_{1}=2 & & \\x_{2}=0,4 & &\end{matrix}\right.$$

Т. К. 4x-3> 0, то $$x_{2}$$ не подходит $$\Rightarrow x=2$$, тогда BC=2 QD=4 CD=5.

5) Из $$\Delta QCD: QC^{2}+QD^{2}=3^{2}+4^{2}=25=CD^{2}\Rightarrow \Delta QCD$$- прямоугольный $$QC\perp AP\Rightarrow r=\frac{1}{2}*QC=1,5$$.

Задание 17. Тренировочный вариант ЕГЭ № 241 Ларина.

Алексей решил взять кредит в банке 100 тысяч рублей на 4 месяца под 5% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 5%), затем Алексей переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг четырьмя равными платежами. По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 5%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алексеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Какую схему выгоднее выбрать Алексею? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Для равных платежей:

Пусть $$S=100000$$ (руб.) − сумма, взятая в кредит;

$$n=4$$ − количество месяцев;

$$p=5$$% − банковский процент, тогда $$k=1,05=\frac{21}{20}$$− коэффициент, на который в конце каждого месяца умножается оставшаяся сумма долга;

x (руб.) − ежемесячный платёж.

Все преобразования с суммами долга занесём в таблицу:

По условию задачи через 4 месяца долг выплачен полностью, то есть:

$$(((Sk-x)k-x)k-x)k-x=0\Leftrightarrow$$$$Sk^{4}-x(k^{3}+k^{2}+k+1)=0$$

Учтем, что $$k^{n-1}+k^{n-2}+...+k+1=\frac{k^{n}-1}{k-1}$$. Получим;

$$Sk^{4}-x*\frac{k^{4}-1}{k-1}=0\Rightarrow$$$$x=\frac{Sk^{4}(k-1)}{k^{4}-1}=$$$$\frac{10^{5}*(\frac{21}{20})^{4}*(\frac{21}{20}-1)}{(\frac{21}{20})^{4}-1}=$$$$\frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}$$

Вся сумма равна 4 платежам, то есть $$4*\frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}\approx 112805$$ рублей

Для равномерного погашения долга:

По условию задачи каждый месяц долг уменьшается на одну и ту же сумму, равную 1000000:4 = 25000 (тыс. рублей), тогда оставшиеся суммы долга равны: 1000000; 75000; 50000 и 25000 (руб.) на начало каждого месяца кредитования соответственно. Каждый месяц Алексей выплачивает четверть суммы, взятой в кредит (фиксированная часть выплаты) + проценты, начисленные на оставшуюся на этот месяц сумму долга. Вся выплаченная банку сумма в этом случае составит: S 2 = 100000 + 0,05 ∙ (100000 + 75000 + 50000 + 25000) = 100000 + 0,05 ∙ 250000 = = 100000 + 12500 = 112500 (руб.)

Так как 112805>112500, то выгоднее вторая схема, на 112805-112500=305 рублей (приближенное значение с учетом расчетов)

1)$$y\leq 0$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$ - синий цвет

2)$$y\in (0 ; 2a)$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y-y+2a =-9y+4a -a ^{2}$$ - зеленый цвет

3) $$y> 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$ - красный цвет

Как видим максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)=2a =a ^{2}+\left | -2a \right |$$

б)Пусть $$2a < 0$$

1)$$y\leq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$

2)$$y\in (2a; 0)$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y+y-2a =9y-a ^{2}$$

3)$$y\geq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$

Схематичное изображение графика:

И тут максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)$$. То есть, независимо от значения $$a$$ максимальное значение при $$y=0$$.

Тогда, чтобы были решения $$g_{min}\leq f_{max}$$ (графическая интерпритация):

$$4\leq 2a -a ^{2}+\left | -2a \right |\Leftrightarrow$$$$a ^{2}-2a -\left |- 2a \right | +4\leq 0$$

Расскроем модуль:

1)$$-2a \geq 0\Rightarrow a \leq 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a +2a +4\leq 0\Rightarrow a ^{2}+4\leq 0\Rightarrow$$ решений нет

Пусть x–число мальчиков собакой, y- с кошкой, z-с кошкой и собакой.
Тогда общее кол-во мальчиков:
$$S_{1}=x+y-z$$
Тогда общее количество девочек:
$$S_{2}=21-x-y+z$$
Пусть у всех девочек есть кошка и собака, тогда общее количество детей с собаками:
$$x+21-x-y+z$$ и согласно условию:
$$x\leq \frac{1}{4}(x+21-x-y+z)=\frac{21}{4}-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$
детей с кошками $$y+21-x-y+z$$, и согласно условию:
$$y\leq \frac{5}{11}(y+21-x-y+z)=\frac{5*21}{11}-\frac{5}{11}x+\frac{5}{11}z$$
Сложим оба неравенства:
$$x+y\leq \frac{21}{4}+\frac{105}{11}+\frac{1}{4}z+\frac{5}{11}z-\frac{1}{4}y-\frac{5}{11}x|*44$$
$$44x+44y\leq 21*11+105*4+11z+20z-11y-20x$$
$$64x+55y\leq 651+31z$$
$$y\leq \frac{651+31z-64x}{55}(1).$$
Чем больше z, тем меньше x+y-z , тогда пусть z=0 , следовательно, $$y\leq \frac{651-64x}{55} , x,y \in N$$ пусть x=3 , тогда $$y\leq \frac{651-3*64}{55}\Rightarrow y\leq 8,34(54)$$,пусть y=8
Проверим полученные значения:
Всего собак: $$a=x+21-x-y=21-y=13$$
Всего кошек: $$b=y+21-x-y=21-x=21-3=18$$
Проверяем условие:
$$x\leq \frac{1}{4}a=\frac{1}{4}*13=\frac{13}{4}$$
$$3\leq \frac{13}{4}$$- верно
$$y\leq \frac{5}{11}b=\frac{5}{11}*18=\frac{90}{11};$$
$$9\leq \frac{90}{11}$$-верно
Из неравенства 1:
$$x\in \left [ 0; 10 \right ]; y\in (0 ;11]$$
Можно проверить все $$x\in N$$ при $$x\in $$ и найти y с учетом выполнения(1), но $$max(x+y)=11.$$
b) Пусть d –всего девочек,$$m_{1}$$ -число мальчиков с собаками,$$m_{2}$$ - с кошками, тогда доля девочек $$\frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}\rightarrow min (2)$$
C учетом условия задания:
$$\left\{\begin{matrix}m_{1}\leq \frac{1}{4}(m_{2}+d) & & \\ m_{2}\leq \frac{5}{11}(m_{2}+d)& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\frac{3}{4}*m_{1}\leq \frac{1}{4}*d & & \\ \frac{6}{11}*m_{2}\leq \frac{5}{11}*d& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}3m_{1}\leq d & & \\6m_{2}\leq 5d & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\frac{m_{1}}{d}=\frac{1}{3} & & \\ \frac{m_{2}}{d}=\frac{5}{6}& & \end{matrix}\right.$$
Сложим оба неравенства:
$$\frac{m_{1}}{d}+\frac{m_{2}}{d}\leq \frac{7}{6}\Leftrightarrow$$$$ \frac{m_{1}+m_{2}}{d}\leq \frac{7}{6}$$
Рассмотрим выражение(2)
$$\frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}=(\frac{1}{m_{1}+\frac{m_{2}}{2}+d})=(\frac{1}{\frac{m_{1}+m_{2}}{d}+1});$$
Чем больше $$\frac{m_{1}+m_{2}}{d}$$, тем меньше доля: $$\frac{1}{\frac{7}{6}+1}=\frac{6}{13}$$
Ответ: да; 11; $$\frac{6}{13}$$.

metodisty.ru/m/files/view.. · 1Кб 2015-11-24 16:55:47

Работа состоит из трёх модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». Всего в работе 26 заданий. Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 - восемь заданий; в части 2 - три задания. Модуль «Геометрия» содержит восемь заданий: в части 1 - пять заданий; в части 2 - три задания. Модуль «Реальная математика» содержит семь заданий: все задания этого модуля - в части 1.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 2, 3, 8, 14 записываются в виде одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа. Эту цифру запишите в поле ответа в тексте работы.

Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр, которые нужно записать в поле ответа в тексте работы. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите её в десятичную. В случае записи неверного ответа на задания части 1 зачеркните его и запишите рядом новый.

При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.

Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного прохождения итоговой аттестации необходимо набрать в сумме не менее 8 баллов, из них не менее 3 баллов в модуле «Алгебра», не менее 2 баллов в модуле «Геометрия» и не менее 2 баллов в модуле «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания оцениваются в 2 балла.

ЕГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Семенов А.В., Трепалин А.С. и др.

М.: 2016. - 144 с.

Сборник включает: теоретические и справочные материалы, методические рекомендации, образцы решений и необходимое для оптимальной подготовки количество заданий, а также ответы ко всем заданиям. Использование этого сборника создает основной фундамент подготовки к ЕГЭ, обеспечивает возможность эффективно повторять материал и готовиться к выпускным экзаменам. Примерные варианты составлены с учётом обновлённых спецификаций и проектов демоверсий ЕГЭ-2016. Сборник включает новые варианты в формате ЕГЭ, ответы, решения и критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом.

Формат: pdf

Размер: 5,5 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
1. Алгебра 7
1.1. Рациональные уравнения и выражения 7
1.2. Иррациональные уравнения и выражения 12
1.3. Степенные уравнения и выражения 13
1.4. Тригонометрические уравнения и выражения 16
1.5. Логарифмические уравнения и выражения 18
2. Практико-ориентированные задачи 20
2.1. Текстовые задачи 20
2.2. Графики и диаграммы 30
2.3. Вероятность 38
3. Геометрия 43
3.1. Длины 43
3.2. Углы 46
3.3. Тригонометрия 48
3.4. Площади. 50
3.5. Стереометрия 56
4. Начала математического анализа 62
4.1. Геометрический и физический смысл производной 62
4.2. Техника дифференцирования 66
4.3. Исследование функций 68
4.4. Первообразная 74
5. Задачи повышенной сложности 79
5.1. Тригонометрические уравнения 79
5.2. Неравенства и системы неравенств 80
5.3. Уравнения и неравенства с параметром 81
5.4. Планиметрия. 83
5.5. Стереометрия 85
5.6. Арифметика и алгебра 87
5.7. Экономические задачи 89
Справочные материалы по математике (базовый уровень) . 91
Тренировочные варианты ЕГЭ (базовый уровень). 95
Тренировочный вариант 1 95
Тренировочный вариант 2 99
Тренировочный вариант 3 103
Тренировочный вариант 4 107
Тренировочный вариант 5 111
Тренировочный вариант 6. 115
Тренировочные варианты ЕГЭ (профильный уровень) 119
Тренировочный вариант 1 119
Тренировочный вариант 2 122
Тренировочный вариант 3 125
Тренировочный вариант 4 128
Тренировочный вариант 5 131
Тренировочный вариант 6 134
Ответы 137

Два игрока, Паша и Валя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в три раза . Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 17 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать
ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 45 . Если при этом в куче оказалось не более 112 камней , то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. Например, если в куче было 40 камней и Паша утроит количество камней в куче, то игра закончится и победителем будет Валя. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 44.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока - значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания.
1. а) При каких значениях числа S Паша может выиграть в один ход? Укажите все такие значения и соответствующие ходы Паши.
б) У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 37, 39, 41? Опишите выигрышные стратегии для этих случаев.
2. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 13, 11? Опишите соответствующие выигрышные стратегии.
3. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 9? Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах - количество камней в позиции.

В поле ответ ничего не вводите. Правильный ответ можно проверить нажав кнопку "Разбор"

1. а) Петя может выиграть, если S = 15, 16, …, 37, 43, 44. При S = 43 и S = 44 первым ходом нужно добавить в кучу 2 камня, при остальных указанных значениях S нужно утроить количество камней.
б) При S = 37 Паша выигрывает в один ход, утраивая количество камней (см. п. а).
При S = 39 или 41 утраивать количество камней не имеет смысла, т. к. после такого хода выигрывает противник. Поэтому можно считать, что единственный возможный ход - это добавление в кучу двух камней.
При S = 41 после такого хода Паши в куче станет 43 камня. В этой позиции ходящий (то есть Валя) выигрывает (см. п. а). То есть при S = 41 Паша (игрок, который должен ходить первым) проигрывает. Выигрышная стратегия есть у Вали.
При S = 39 , после того как Паша своим первым ходом добавит два камня, в куче будет 41 камень. В этой позиции ходящий (то есть Валя) проигрывает (см. выше). То есть при S = 39 Паша (игрок, который должен ходить первым) выигрывает. Выигрышная стратегия есть у Паши.

2. При S = 13 после первого хода Паши в куче будет либо 15, либо 39 камней. В обоих случаях выигрышная стратегия есть у игрока, который должен ходить, теперь это Валя. Случай S = 15 рассмотрен в задании 1а, а случай S = 39 - в задании 1б. Поэтому выигрышная стратегия есть у Вали.
При S = 11 выигрышная стратегия есть у Паши. Ему нужно первым ходом добавить 2 камня и получить кучу из 13 камней. Как показано выше, в этой ситуации выигрышная стратегия есть у игрока, который НЕ должен ходить, то есть у Паши.

3. При S = 9 выигрышная стратегия есть у Вали. После первого хода Паши в куче может стать либо 11 камней, либо 27 камней. В обеих этих позициях выигрывает игрок, который будет делать ход (теперь это Валя).
Случай S = 11 рассмотрен в п. 2, случай S = 27 рассмотрен в п. 1а.

Главная » Обучение за рубежом » Тренировочный вариант 95. Тренировочные варианты