Математическая энциклопедия. Как гипотеза может быть одновременно истинной и ложной? Счетные и несчетные множества
Либо континуальным .
Вариации и обобщения
Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что для любого бесконечного множества S не существует таких множеств, кардинальное число которых больше, чем у S , но меньше, чем у множества всех его подмножеств 2 S .
Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело-Френкеля, и, как показали Вацлав Серпинский в 1947 г. и Шпеккер в 1952 г., из неё следует аксиома выбора .
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Континуум гипотеза" в других словарях:
Гипотеза Г. Кантора (G. Cantor, 1878), состоящая в том, что всякое бесконечное подмножество континуума R равномощно либо множеству натуральных чисел, либо R. Эквивалентная формулировка (при наличии выбора аксиомы): (см. Алефы). Обобщение этого… … Математическая энциклопедия
Континуум гипотеза, континуум гипотезы … Орфографический словарь-справочник
континуум-гипотеза - (1 ж), Р. конти/нуум гипо/тезы … Орфографический словарь русского языка
континуум-гипотеза - конти/нуум гипо/теза, конти/нуум гипо/тезы … Слитно. Раздельно. Через дефис.
- (от лат. continuum непрерывное), термин, используемый? математике, естествознании и философии. В математике под К. понимаются бесконечные множества, количественно эквивалентные множеству действит. чисел. Мощность, или кардинальное число … Философская энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Континуум. Континуум в физике обозначает некоторую сплошную среду, в которой исследуются процессы/поведение этой среды при различных внешних условиях. Вводится на основании гипотезы сплошности, в… … Википедия
Гипотеза, утверждающая, что всякое линейно упорядоченное множество без первого и последнего элементов, являющееся полным, плотным и удовлетворяющее условию Суслина, изоморфно действительной прямой. При этом полнота означает существование точной… … Математическая энциклопедия
В теории множеств: мощность континуума есть мощность множества всех подмножеств, состоящих из счетных порядковых чисел, т. е. Л. г. совместна с системой аксиом Цермело Френкеля теории множеств и аксиомой выбора. Н. Н. Лузин рассматривал эту… … Математическая энциклопедия
В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую континуум гипотезу, которую можно сформулировать следующим образом: Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.… … Википедия
Книги
- Контроль поведения как субъектная регуляция , Сергиенко Елена Алексеевна, Виленская Галина Альфредовна, Ковалева Юлия Валерьевна. В монографии представлена новейшая разработка проблемы саморегуляции. Вводится конструкт контроля поведения, в отличие от других подходов делается акцент на внутренних индивидуальных ресурсах…
Георг Кантор (Georg Cantor) умер в 1918 году в санатории в немецкого города Галле. Этот выдающийся математик заложил основы теории множеств в 1870-х годах. В свое время его идеи были враждебно встречены коллегами в Европе, а главным оппонентом стал Леопольд Кронекер (Leopold Kronecker), учитель Кантора. Во время одного из приступов депрессии бедный Георг написал 52 письма шведскому математику по имени Геста Миттаг-Леффлер (Gösta Mittag-Leffler), в каждом из которых упоминается Кронекер.
Но не только отношение современников толкало Кантора к депрессии. Неразрешимой проблемой для него стала неспособность доказать истинность континуум-гипотезы (Continuum Hypothesis). В одной из формулировок она звучит так: «Всякое бесконечное подмножество континуума R равномощно либо множеству натуральных чисел, либо R». Кантор был убежден в том, что она является истинной, но одного его убеждения было недостаточно. Однако как оказалось, выдающийся математик зря винил себя.
Истина или ложь?
В 1940 году Курт Гедель (Kurt Gödel) доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо, а в 1963 году Поль Коэн (Paul Cohen) показал общественности, что сама континуум-гипотеза также недоказуема.
Но как же это возможно? Истинность гипотезы недоказуема, но в то же время недоказуемо и ее отрицание? Подробный ответ займет ни одну страницу, но можно попробовать разобраться в этом парадоксе и без научных трактатов.
Континуум-гипотеза связана с понимаем размеров бесконечности. Но перед тем как говорить о размерах бесконечности, вспомним, как мы сравниваем обычные числа. Представим небольшое стадо коз в лесу. К примеру, сегодня пасутся шесть коз и на лужайке растут шесть деревьев. Если мы привяжем каждое животное к дереву, то они все будут в паре с деревом. Мы наблюдаем взаимно-однозначное математическое соответствие. Но если на лугу окажутся шесть коз и восемь деревьев, то мы никак не сможем установить подобное соответствие, какие бы варианты мы не пробовали: все равно останутся «деревья без животных».
Соответствие между множествами
Соответствия используются для сравнения размеров значительно больших, чем 6 коз, наборов чисел, в том чисел и для бесконечных множеств. Правило звучит так: если можно установить некое соответствие между двумя множествами, то их размер одинаков. И напротив: если соответствия нет, то одно из множеств должно быть больше. Например, совокупность всех натуральных чисел {1,2,3,4,...} содержит все числа, кратные пяти {5,10,15,20,...}. На первый взгляд кажется, что набор натуральных чисел больше, чем набор чисел, кратных пяти. Но на самом деле они равны по размеру: каждое натуральное число может быть в паре с кратным числом и при этом у нас не останется «свободных электронов», то есть непарных чисел. В таком соответствии, 1 будет идти вместе с 5, 2 — вместе с 10 и т.д.
Если повторять это упражнение для сравнения действительных чисел (к ним относятся целые числа, дроби, десятичные дроби и иррациональные числа) с натуральными числами, то мы придем к выводу, что совокупность первых больше. Другими словами, можно доказать, что не удается установить соответствие между этими двумя множествами.
Континуум-гипотеза утверждает, что нет бесконечного набора действительных чисел больше, чем совокупость натуральных чисел, но меньше, чем совокупность всех действительных чисел. Кантор был убежден в правдивости гипотезы, но никак не мог ее доказать.
Логика в помощь
Чтобы понять проблему, рассмотрим, из чего состоит математическое доказательство. Математические выводы должны быть доказаны посредством аксиом и логики.
Аксиомы — это утверждения о примитивных математических концепциях, которые являются истинными даже на интуитивном уровне. То есть никто никогда не ставит под сомнение их обоснованность. Пример аксиомы: для любого натурального числа (которое является простейшим понятием в математике) существует большее натуральное число. Это самоочевидно, и мы не ставим данное утверждение под сомнение.
Логика используется для построения более сложных выводов из аксиом. Так, мы можем создать модели, которые будут являться математическими структурами и удовлетворять условиям аксиом. Критически важно здесь то, любое утверждение аксиомы, доказанное с помощью логики, при переносе в любую другую модель будет истинным, что делает истинной и аксиому.
Примечательный факт: все основные математические выводы могут быть обоснованы с помощью аксиом, касающихся примитивного понятия о совокупности (обычно именуемым «множеством» в математике, а специальный раздел носит название «теория множеств»). Иными словами, можно доказывать математические утверждения, сначала интерпретируя высказывание на языке множеств (а это можно сделать всегда), а затем применяя логику для аксиом множеств.
Доказательство континуум-гипотезы
Курт Гедель описал модель, которая удовлетворяет аксиомам теории множеств, но не допускает бесконечное множество, чей размер варьируется в диапазоне натуральных и действительных чисел. Это помешало гипотезе континуума быть опровергнутой. Примечательно, что несколько лет спустя Пол Коэн нашел еще одну модель теории множеств, которая также соответствует аксиомам этой теории, что помешало континуум-гипотезе быть доказанной.
Проще говоря, для доказательства гипотезы континуума она должна быть истинна во всех моделях теории множеств, однако это не так. Пойдем от противного: чтобы гипотеза была опровергнута, она должна оставаться недействительной во всех моделях теории множеств, но и здесь нас ждет отрицательный ответ! Так континуум-гипотеза оказывается неразрешимым утверждением.
Не исключено, что новые аксиомы, пока еще неизвестные математической логике, покажут нам, истинна или ложна эта гипотеза.
Парадокс континуум-гипотезы и ее неопределённость в научном мире — это уникальное и важное явление, которое открывает нам глубинные структуры математики. Эта гипотеза ставит серьезные вопросы, касающиеся философии науки и аксиоматического метода. В данном случае математика может быть не самым прямым и разумным методом для описания нашей Вселенной. И вполне естественно задаться вопросом, является ли фактор неопределенности, характерный для данного математического феномена, определяющим для раскрытия некоторых функций Вселенной? Можем ли мы применить эту гипотезу к основным законам мироздания?
Можно пойти в своих размышлениях дальше и задаться вопросом: существуют ли Вселенные, где математические факты отображаются по-разному? До тех пор, пока гипотеза континуума не доказана и не опровергнута, есть немалый соблазн ответить на все эти вопросы утвердительно.
Существуют, таким образом, бесконечные множества разной мощности, например, множество всех натуральных чисел и множество всех точек прямой. Возникает вопрос, существуют ли на прямой несчетные множества точек, которые не были бы равномощными. На этот вопрос мы не можем дать ответа. Предположение, что любое несчетное множество точек прямой имеет равную мощность с множеством всех точек прямой, носит название континуум-гипотезы. Эта гипотеза (высказанная создателем теории множеств Г. Кантором) до сих пор не доказана, но К. Гёдель доказал, что она не противоречит общепринятым аксиомам теории множеств (если только эти последние непротиворечивы). Я посвятил континуум-гипотезе специальную книгу, изданную в 1934 г, на французском языке (Hypothese du Continu), второе издание этой книги вышло в 1956 г. в Нью-Йорке. В 1951 г. я доказал, что континуум-гипотеза равносильна следующей теореме, в формулировке которой не участвует понятие бесконечности: Если из точки О трехмерного пространства провести три взаимно перпендикулярные прямые то множество всех точек пространства
является суммой трех множеств, из которых первое конечно на любой пряной, параллельной прямой второе конечно на любой прямой, параллельной прямой третье конечно на любой прямой, параллельной прямой
Положение точки на плоскости может быть, как известно, определено с помощью пары действительных чисел, так называемых координат точек, каковыми являются расстояния рассматриваемой точки от двух заданных на плоскости взаимно перпендикулярных прямых, называемых осями ординат. Оказывается, однако, что положение каждой точки на плоскости может быть также определено с помощью только одного действительного числа. Доказательство основывается на утверждении, что каждое действительное число имеет одно и только одно представление в виде бесконечной десятичной дроби, имеющей бесконечно много цифр, отличных от нуля.
Докажем, основываясь на этом, что множество Р всех пар действительных чисел таких, что
является равномощным с множеством всех действительных чйсел таких, что
Пусть означает данную пару, принадлежащую множеству Р. Представим числа х и у в виде десятичных дробей, имеющих бесконечно много цифр, отличных от нуля. Пусть это будут, например, дроби
Перепишем теперь по порядку цифры наших дробей, находящиеся после запятой, ставя вертикальную черту после каждой цифры, отличной от нуля. Таким образом получим из каждой дроби бесконечную последовательность групп цифр:
Вставив теперь группы второй последовательности между очередными группами первой последовательности, получим новую бесконечную последовательность групп цифр:
Опустим теперь в этой последовательности черточки. Полученная таким образом бесконечная последовательность цифр будет представлением в виде десятичной дроби некоторого числа
которое мы ставим в соответствие паре
Легко заметить, что это взаимно однозначное соответствие между элементами множеств . Следовательно, эти множества имеют равную мощность.
Отсюда легко можно вывести следствие, что множество всех точек плоскости является равномощным множеству всех точек прямой. Аналогично можно доказать, что множество всех точек трехмерного пространства равномощно множеству всех точек прямой.
В качестве примера двух несчетных множеств равной мощности приведем множества точек двух каких-либо отрезков прямой которые мы расположим под прямым углом, так, чтобы они являлись катетами треугольника (рис. 2).
Соответствующими точками наших отрезков будем считать точки, лежащие на одной прямой, параллельной гипотенузе (например, точки М и N).
Такое условие, очевидно, устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками наших отрезков.
