Обратная теорема виета онлайн. Теорема Виета: примеры ее использования при работе с квадратными уравнениями
Квадратные уравнения. Исчерпывающий гид (2019)
В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.
Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.
Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.
Пример 1.
Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на
Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса
Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!
Пример 2.
Домножим левую и правую часть на:
Это уравнение, хотя в нем изначально был, не является квадратным!
Пример 3.
Домножим все на:
Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену, то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:
Пример 4.
Вроде бы есть, но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:
Видишь, сократился - и теперь это простое линейное уравнение!
Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:
Примеры:
Ответы:
- квадратное;
- квадратное;
- не квадратное;
- не квадратное;
- не квадратное;
- квадратное;
- не квадратное;
- квадратное.
Математики условно делят все квадратные уравнения на вида:
- Полные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициенты и, а также свободный член с не равны нулю (как в примере). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные - это уравнения, в которых коэффициент (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)
- Неполные квадратные уравнения
- уравнения, в которых коэффициент и или свободный член с равны нулю:
Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.
Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.
Решение неполных квадратных уравнений
Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений - они гораздо проще!
Неполные квадратные уравнения бывают типов:
- , в этом уравнении коэффициент равен.
- , в этом уравнении свободный член равен.
- , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.
1. и. Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения
Выражение может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел - результатом всегда будет положительное число, так что: если, то уравнение не имеет решений.
А если, то получаем два корня. Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что не может быть меньше.
Давай попробуем решить несколько примеров.
Пример 5:
Решите уравнение
Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?
Ответ:
Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!
Пример 6:
Решите уравнение
Ответ:
Пример 7:
Решите уравнение
Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения
нет корней!
Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок - (пустое множество). И ответ можно записать так:
Ответ:
Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:
Решите уравнение
Вынесем общий множитель за скобки:
Таким образом,
У этого уравнения два корня.
Ответ:
Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:
Здесь обойдемся без примеров.
Решение полных квадратных уравнений
Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение где
Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.
Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.
1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.
Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.
Если, то уравнение имеет корняНужно особое внимание обратить на шаг. Дискриминант () указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
- Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.
Пример 9:
Решите уравнение
Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет два корня.
Шаг 3.
Ответ:
Пример 10:
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
А значит уравнение имеет один корень.
Ответ:
Пример 11:
Решите уравнение
Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.
Шаг 2.
Находим дискриминант:
Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.
Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.
Ответ: Корней нет
2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.
Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):
Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.
Пример 12:
Решите уравнение
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .
Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:
А произведение равно:
Составим и решим систему:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Ответ: ; .
Пример 13:
Решите уравнение
Ответ:
Пример 14:
Решите уравнение
Уравнение приведенное, а значит:
Ответ:
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Что такое квадратное уравнение?
Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.
Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .
Почему? Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.
При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным. Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное.
Решения различных типов квадратных уравнений
Методы решения неполных квадратных уравнений:
Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.
Можно выделить типа таких уравнений:
I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.
II. , в этом уравнении коэффициент равен.
III. , в этом уравнении свободный член равен.
Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.
Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:
Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:
если, то уравнение не имеет решений;
если, имеем учаем два корня
Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.
Примеры:
Решения:
Ответ:
Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!
Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения
нет корней.
Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.
Ответ:
Итак, это уравнение имеет два корня: и.
Ответ:
Вынесем общим множитель за скобки:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:
Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.
Пример:
Решите уравнение.
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:
Ответ:
Методы решения полных квадратных уравнений:
1. Дискриминант
Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.
Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней? Но ведь дискриминант может быть отрицательным. Что делать? Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.
- Если, то уравнение имеет корня:
- Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:
Такие корни называются двукратными.
- Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.
Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:
В частном случае, которым является квадратное уравнение, . А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось). Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.
Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.
Примеры:
Решения:
Ответ:
Ответ: .
Ответ:
А значит, решений нет.
Ответ: .
2. Теорема Виета
Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.
Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().
Рассмотрим несколько примеров:
Пример №1:
Решите уравнение.
Решение:
Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .
Сумма корней уравнения равна:
А произведение равно:
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна;
- и. Сумма равна.
и являются решением системы:
Таким образом, и - корни нашего уравнения.
Ответ: ; .
Пример №2:
Решение:
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:
и: в сумме дают.
и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.
Ответ:
Пример №3:
Решение:
Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .
Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:
и: их разность равна - не подходит;
и: - не подходит;
и: - не подходит;
и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:
Ответ:
Пример №4:
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:
Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:
Ответ:
Пример №5:
Решите уравнение.
Решение:
Уравнение приведенное, а значит:
Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.
Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:
Очевидно, что корнями являются числа и.
Ответ:
Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.
Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета:
Решения заданий для самостоятельной работы:
Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0
По теореме Виета:
Как обычно, начинаем подбор с произведения:
Не подходит, так как сумма;
: сумма - то что надо.
Ответ: ; .
Задание 2.
И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.
Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).
Ответ: ; .
Задание 3.
Хм… А где тут что?
Надо перенести все слагаемые в одну часть:
Сумма корней равна, произведение.
Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:
Отлично. Тогда сумма корней равна, а произведение.
Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).
Ответ: ; .
Задание 4.
Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.
Итак, корни равны и, но один из них с минусом. Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть. Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.
Ответ: ; .
Задание 5.
Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:
Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:
Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.
Ответ: ; .
Подведу итог:
- Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
- Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
- Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).
3. Метод выделения полного квадрата
Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.
Например:
Пример 1:
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
Пример 2:
Решите уравнение: .
Решение:
Ответ:
В общем виде преобразование будет выглядеть так:
Отсюда следует: .
Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.
Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.
Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .
Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:
- если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
- если свободный член, уравнение имеет вид: ,
- если и, уравнение имеет вид: .
1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений
1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Выразим неизвестное: ,
2) Проверяем знак выражения:
- если, то уравнение не имеет решений,
- если, то уравнение имеет два корня.
1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :
1) Вынесем общим множитель за скобки: ,
2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:
1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:
Данное уравнение всегда имеет только один корень: .
2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где
2.1. Решение с помощью дискриминанта
1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,
2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:
3) Найдем корни уравнения:
- если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
- если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
- если, то уравнение не имеет корней.
2.2. Решение с помощью теоремы Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.
2.3. Решение методом выделения полного квадрата
Для начала сформулируем саму теорему: Пусть у нас есть приведённое квадратное уравнение вида x^2+b*x + c = 0. Допустим, это уравнение содержит корни x1 и x2. Тогда по теореме следующие утверждения допустимы:
1) Сумма корней x1 и x2 будет равняться отрицательному значению коэффициента b.
2) Произведение этих самых корней будет давать нам коэффициент c .
Но что же такое приведённое уравнение
Приведённым квадратным уравнением называется квадратное уравнение, коэффициент старшей степени, которой равен единицы, т.е. это уравнение вида x^2 + b*x + c = 0. (а уравнение a*x^2 + b*x + c = 0 неприведенное). Другими словами, чтобы привести уравнение к приведённому виду, мы должны разделить это уравнение на коэффициент при старшей степени (a). Задача привести данное уравнение к приведённому виду:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Поделим каждое уравнение на коэффициент старшей степени, получим:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.
Как можно увидеть из примеров, даже уравнения содержащие дроби, можно привести к приведённому виду.
Использование теоремы Виета
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
получаем корни: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
в результате получаем корни: x1 = -2 ; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
получаем корни: x1 = −1; x2 = −4.
Значение теоремы Виета
Теорема Виета позволяет нам решить любое квадратное приведённое уравнение практически за секунды. На первый взгляд это кажется достаточно сложной задачей, но после 5 10 уравнений, можно научиться видеть корни сразу.
Из приведённых примеров, и пользуясь теоремой, видно как можно значительно упростить решение квадратных уравнений, ведь используя эту теорему, можно решить квадратное уравнение практически без сложных расчётов и вычисления дискриминанта, а как известно чем меньше расчётов, тем сложнее допустить ошибку, что немаловажно.
Во всех примерах мы использовали это правило, опираясь на два важных предположения:
Приведённое уравнение, т.е. коэффициент при старшей степени равен единицы (это условие легко избежать. Можно использовать неприведенный вид уравнения, тогда будут допустимы следующие утверждения x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, но обычно сложнее решать:))
Когда уравнение будет иметь два различных корня. Мы предполагаем что неравенство верно и дискриминант строго больше нуля.
Поэтому, мы можем составить общий алгоритм решения по теореме Виета.
Общий алгоритм решения по теореме Виета
Приводим квадратное уравнение к приведённому виду, если уравнение дано нам в неприведённом виде. Когда коэффициенты в квадратном уравнении, которое раньше мы представили как приведённое, получились дробными(не десятичными), то в этом случае следует решать наше уравнение через дискриминант.
Также бывают случаи когда возврат к начальному уравнению позволяет нам работать с “удобными” числами.
В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».
К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов - теорему Виета. Для начала введем новое определение.
Квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x 2 равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.
- x 2 + 7x + 12 = 0 - это приведенное квадратное уравнение;
- x 2 − 5x + 6 = 0 - тоже приведенное;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x 2 равен 2.
Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведенным - достаточно разделить все коэффициенты на число a . Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.
Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:
Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0.
Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x 2 . Получим:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - разделили все на 3;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - разделили на −4;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.
Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.
Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:
Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x 1 и x 2 . В этом случае верны следующие утверждения:
- x 1 + x 2 = −b . Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x , взятому с противоположным знаком;
- x 1 · x 2 = c . Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.
Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 · x 2 = 20; корни: x 1 = 4; x 2 = 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 · x 2 = −15; корни: x 1 = 3; x 2 = −5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = 4; корни: x 1 = −1; x 2 = −4.
Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.
Задача. Решите квадратное уравнение:
- x 2 − 9x + 14 = 0;
- x 2 − 12x + 27 = 0;
- 3x 2 + 33x + 30 = 0;
- −7x 2 + 77x − 210 = 0.
Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:
- x
2 − 9x
+ 14 = 0 - это приведенное квадратное уравнение.
По теореме Виета имеем: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Несложно заметить, что корни - числа 2 и 7; - x
2 − 12x
+ 27 = 0 - тоже приведенное.
По теореме Виета: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 · x 2 = 27. Отсюда корни: 3 и 9; - 3x
2 + 33x
+ 30 = 0 - это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a
= 3. Получим: x
2 + 11x
+ 10 = 0.
Решаем по теореме Виета: x 1 + x 2 = −11; x 1 · x 2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1; - −7x
2 + 77x
− 210 = 0 - снова коэффициент при x
2 не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a
= −7. Получим: x
2 − 11x
+ 30 = 0.
По теореме Виета: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 · x 2 = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.
Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений ») нам не потребовался.
Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:
- Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x 2 равен 1;
- Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 - по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.
Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x 2 отличен от 1), это легко исправить - взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.
Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:
- Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
- Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;
- В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;
- Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.
Задача. Решите уравнение: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x 2 − 7x + 10 = 0.
Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные - попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. В данном случае корни угадываются легко - это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.
Задача. Решите уравнение: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.
Смотрим: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - уравнение с дробными коэффициентами.
Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.
Задача. Решите уравнение: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x 2 + 5x − 300 = 0.
Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно - лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.
Придется искать корни через дискриминант: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225: 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2 .
Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x 1 = 15; x 2 = −20.
Перед тем как перейти к теореме Виета, введем определение. Квадратное уравнение вида x ² + px + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x ² — 3x — 4 = 0 является приведенным. Всякое квадратное уравнение вида ax ² + bx + c = 0 можно сделать приведенным, для этого делим обе части уравнения на а ≠ 0. Например, уравнение 4x ² + 4x — 3 = 0 делением на 4 приводится к виду: x ² + x — 3/4 = 0. Выведем формулу корней приведенного квадратного уравнения, для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида: ax ² + bx + c = 0
Приведенное уравнение x ² + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = p , c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула принимает вид:
последнее выражение называют формулой корней приведенного квадратного уравнения, особенно удобно пользоваться этой формулой когда р — четное число. Для примера решим уравнение x ² — 14x — 15 = 0
В ответ запишем уравнение имеет два корня.
Для приведенного квадратного уравнения с положительным справедлива следующая теорема.
Теорема Виета
Если x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0, то справедливы формулы:
x 1 + x 2 = — р
x 1 * x 2 = q, то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Исходя из формулы корней приведенного квадратного уравнения имеем:
Складывая эти равенства, получаем: x 1 + x 2 = —р.
Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:
Отметим, что теорема Виета справедлива и тогда, когда дискриминант равен нулю, если считать, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: x 1 = x 2 = — р /2.
Не решая уравнения x ² — 13x + 30 = 0 найдем сумму и произведение его корней x 1 и x 2 . этого уравнения D = 169 — 120 = 49 > 0, поэтому можно применить теорему Виета: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Рассмотрим еще несколько примеров. Один из корней уравнения x ² — рx — 12 = 0 равен x 1 = 4. Найти коэффициент р и второй корень x 2 этого уравнения. По теореме Виета x 1 * x 2 = — 12, x 1 + x 2 = — р. Так как x 1 = 4, то 4x 2 = — 12, откуда x 2 = — 3, р = — (x 1 + x 2) = — (4 — 3) = — 1. В ответ запишем, второй корень x 2 = — 3, коэффициент р = — 1.
Не решая уравнения x ² + 2x — 4 = 0 найдем сумму квадратов его корней. Пусть x 1 и x 2 — корни уравнения. По теореме Виета x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Так как x 1 ²+ x 2 ² = (x 1 + x 2)² — 2x 1 x 2 , тогда x 1 ²+ x 2 ² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.
Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x ² + 4x — 5 = 0. Данное уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант D = 16 + 4*3*5 > 0. Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема доказана для приведенного квадратного уравнения. Поэтому разделим данное уравнение на 3.
Следовательно, сумма корней равна -4/3, а их произведение равно -5/3.
В общем случае корни уравнения ax ² + bx + c = 0 связаны следующими равенствами: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Для получения этих формул достаточно разделить обе части данного квадратного уравнения на а ≠ 0 и применить к полученному приведенному квадратному уравнению теорему Виета. Рассмотрим пример, требуется составить приведенное квадратное уравнение, корни которого x 1 = 3, x 2 = 4. Так как x 1 = 3, x 2 = 4 — корни квадратного уравнения x ² + px + q = 0, то по теореме Виета р = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. В ответ запишем x ² — 7x + 12 = 0. При решении некоторых задач применяется следующая теорема.
Теорема, обратная теореме Виета
Если числа р , q , x 1 , x 2 таковы, что x 1 + x 2 = — р, x 1 * x 2 = q , то x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0. Подставим в левую часть x ² + px + q вместо р выражение — (x 1 + x 2), а вместо q — произведение x 1 * x 2 . Получим: x ² + px + q = x ² — (x 1 + x 2) х + x 1 x 2 = x² — x 1 x — x 2 x + x 1 x 2 = (x — x 1) (x — x 2). Таким образом, если числа р , q , x 1 и x 2 связаны этими соотношениями, то при всех х выполняется равенство x ² + px + q = (x — x 1) (x — x 2), из которого следует, что x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0. Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения. Рассмотрим пример, x ² — 5x + 6 = 0. Здесь р = — 5, q = 6. Подберем два числа x 1 и x 2 так, чтобы x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Заметив, что 6 = 2 * 3 , а 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что x 1 = 2, x 2 = 3 — корни уравнения x ² — 5x + 6 = 0.
I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.
Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.
Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.
Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .
Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:
x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.
Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .
На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.
Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:
Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.
Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.
Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:
II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на а:
x 1 +x 2 =-b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.