Нахождение углового коэффициента касательной к графику функции. Как найти угловой коэффициент? Сбор и использование персональной информации
Научитесь брать производные от функций. Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке, лежащей на графике этой функции. В данном случае графиком может быть как прямая, так и кривая линия. То есть производная характеризует скорость изменения функции в конкретный момент времени. Вспомните общие правила, по которым берутся производные, и только потом переходите к следующему шагу.
- Прочитайте статью .
- Как брать простейшие производные, например, производную показательного уравнения, описано . Вычисления, представленные в следующих шагах, будут основаны на описанных в ней методах.
Научитесь различать задачи, в которых угловой коэффициент требуется вычислить через производную функции. В задачах не всегда предлагается найти угловой коэффициент или производную функции. Например, вас могут попросить найти скорость изменения функции в точке А(х,у). Также вас могут попросить найти угловой коэффициент касательной в точке А(х,у). В обоих случаях необходимо брать производную функции.
Возьмите производную данной вам функции. Здесь строить график не нужно – вам понадобится только уравнение функции. В нашем примере возьмите производную функции . Берите производную согласно методам, изложенным в упомянутой выше статье:
- Производная:
В найденную производную подставьте координаты данной вам точки, чтобы вычислить угловой коэффициент. Производная функции равна угловому коэффициенту в определенной точке. Другими словами, f"(х) – это угловой коэффициент функции в любой точке (x,f(x)). В нашем примере:
- Найдите угловой коэффициент функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} в точке А(4,2).
- Производная функции:
- f ′ (x) = 4 x + 6 {\displaystyle f"(x)=4x+6}
- Подставьте значение координаты «х» данной точки:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 {\displaystyle f"(x)=4(4)+6}
- Найдите угловой коэффициент:
- Угловой коэффициент функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} в точке А(4,2) равен 22.
Если возможно, проверьте полученный ответ на графике. Помните, что угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке. Дифференциальное исчисление рассматривает сложные функции и сложные графики, где угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке, а в некоторых случаях точки вообще не лежат на графиках. Если возможно, используйте графический калькулятор, чтобы проверить правильность вычисления углового коэффициента данной вам функции. В противном случае проведите касательную к графику в данной вам точке и подумайте, соответствует ли найденное вами значение углового коэффициента тому, что вы видите на графике.
- Касательная будет иметь тот же угловой коэффициент, что и график функции в определенной точке. Для того, чтобы провести касательную в данной точке, двигайтесь вправо/влево по оси Х (в нашем примере на 22 значения вправо), а затем вверх на единицу по оси Y. Отметьте точку, а затем соедините ее с данной вам точкой. В нашем примере соедините точки с координатами (4,2) и (26,3).
С понятием касательной к графику функции вы уже знакомы. График дифференцируемой в точке х 0 функции f вблизи х 0 практически не отличается от отрезка касательной, а значит, он близок к отрезку секущей l, проходящей через точки (х 0 ; f (х 0)) и (х 0 +Δx; f (x 0 + Δx)). Любая из таких секущих проходит через точку А (х 0 ; f (х 0)) графика (рис. 1). Для того чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку A, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент Δy/Δx секущей при Δх→0 стремится к числу f ‘(x 0) (его мы примем за угловой коэффициент касательной) Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Δх→0 .
Если же f’(х 0) не существует, то касательная либо не существует (как у функции у = |x| в точке (0; 0), см. рис.), либо вертикальна (как у графика функции в точке (0; 0), рис.2).
Итак, существование производной функции f в точке хо эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х 0 , f (х 0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f" (х 0). В этом состоитгеометрический смысл производной
Касательная к графику дифференцируемой в точке xо функции f - это прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х 0).
Проведем касательные к графику функции f в точках x 1 , х 2 , х 3 (рис. 3) и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.) Мы видим, что угол α 1 острый, угол α 3 тупой, а угол α 2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого - отрицателен, tg 0 = 0. Поэтому
F"(x 1)>0, f’(x 2)=0, f’(x 3)
Построение касательных в отдельных точках позволяет более точно строить эскизы графиков. Так, например, для построения эскиза графика функции синус предварительно находим, что в точках 0; π/2 и π производная синуса равна 1; 0 и -1 соответственно.
Построим прямые, проходящие через точки (0; 0), (π/2,1) и (π, 0) с угловыми коэффициентами 1, 0 и -1 соответственно (рис. 4) Остается вписать в полученную трапецию, образованную этими прямыми и прямой Ох, график синуса так, чтобы при х, равном 0, π/2 и π, он касался соответствующих прямых.
Отметим, что график синуса в окрестности нуля практически не отличим от прямой у = х. Пусть, например, масштабы по осям выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1см. Имеем sin 0,5 ≈ 0,479425, т. е. |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02, и в выбранном масштабе это соответствует отрезку длиной 0,2 мм. Поэтому график функции y = sin x в интервале (-0,5; 0,5) будет отклоняться (в вертикальном направлении) от прямой у = х не более чем на 0,2 мм, что примерно соответствует толщине проводимой линии.
В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение
Вспомним геометрический смысл производной : если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .
Возьмем на касательной произвольную точку с координатами :
И рассмотрим прямоугольный треугольник :
В этом треугольнике 
Отсюда 
Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .
Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .
Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.
1. Дана точка касания
2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .
3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.
Рассмотрим каждый тип задач.
1
. Написать уравнение касательной к графику функции
в точке
.
.
б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:
Ответ: .
2
. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции
параллельны оси абсцисс.
Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.
а) Найдем производную функции .
б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :
Приравняем каждый множитель к нулю, получим:
Ответ: 0;3;5
3 . Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .
Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной , а, тем самым, значение производной в точке касания .
Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.
Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.
а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.
Сначала найдем уравнение производной.
Приравняем производную к числу -1.
Найдем значение функции в точке .
(по условию)
.
б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .
Найдем значение функции в точке .
(по условию).
Подставим эти значения в уравнение касательной:
.
Ответ:
4 . Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку
Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки в уравнение функции.
Title="1sqrt{8-3^2}">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.
Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания .
Найдем значение .
Пусть - точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:
.
Значение функции в точке равно 
.
Найдем значение производной функции в точке .
Сначала найдем производную функции . Это .
Производная в точке равна 
.
Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :
Решим это уравнение.
Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:
Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:
Упростим числитель дроби и умножим обе части на - это выражение строго больше нуля.
Получим уравнение
Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.
Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }">
Решим первое уравнение.
Решим квадратное уравнение, получим
Второй корень не удовлетворяет условию title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .
Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение 
- мы его уже записывали.
Ответ:
.
Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.
Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.
Основные моменты
Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.
Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела» , мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
