Все теоремы с доказательством. Способы доказательства теорем и приемы решения геометрических задач

Усвоить содержание теорем (правил, формул, тождеств и т. д.), которые изучаются в школе, не так уж трудно. Для этого необходимо систематически пытаться понять смысл теоремы (правил, формул, тождеств и т. д., как можно чаще применять их при решении задач, при доказательстве других теорем. Такая работа, как показывает практика, приводит к непроизвольному усвоению их содержания, запоминанию их формулировок. Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально запоминать доказательство не нужно, нужно научиться самому доказывать теоремы. Доказательства теорем в учебнике следует рассматривать как образец (эталон) рассуждений при доказательстве какого-либо утверждения.

Что значит доказать теорему, что такое доказательство?

Доказательство в широком смысле — это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений.

Поэтому, когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело — это уже другой вопрос) . В жизни все время, каждодневно в общении с другими людьми, приходится доказывать те или иные мысли, утверждения, приходится убеждать в чем-то, т. е. доказывать.

Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция — выведение), т. е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примерам, к опыту. Мы говорим: «Смотри» — и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим, ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом, не разрешается. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.

Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.

Следовательно, аксиомы служат не только для косвенного определения первичных понятий, но и в качестве оснований для доказательства всех теорем математики. Вот почему в числе аксиом встречаются и такие, которые указывают особые свойства понятий, имеющих логические определения. Так, например, параллельные прямые в курсе геометрии являются не первичным понятием, а определяемым. Однако одно из свойств параллельных прямых, а именно что ч ерез точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной , мы вынуждены принять за аксиому, ибо, как было установлено великим русским геометром Н. И. Лобачевским (1792—1856), а также немецким математиком К. Ф. Гауссом (1777—1855) и венгерским математиком Я. Больяй (1802—1860), доказать это свойство параллельных прямых на основе лишь остальных аксиом геометрии невозможно.

Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:

1) предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом;

2) логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям;

3) логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.

В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать. Покажем процесс доказательства на примере такой теоремы: «Диагонали прямоугольника равны».

В этой теореме нам дан произвольный (любой) прямоугольник, Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим вполне определенный прямоугольник ABCD, но при доказательстве не будем использовать какие-либо частные особенности этого прямоугольника (например, что его сторона АВ примерно в 2 раза больше стороны AD и т. д.). Поэтому наши рассуждения относительно этого определенного прямоугольника будут верны и для любого другого прямоугольника, т. е. они будут иметь общий характер для всех прямоугольников.

Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD. У этих треугольников углы ABC и BAD равны как прямые, катет АВ — общий, а катеты ВС и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда следует, что стороны АС и BD также равны, что и требовалось доказать.

Все доказательство этой теоремы можно изобразить в виде следующей схемы.

Самое трудное в доказательстве — это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам (следствиям) в конечном итоге можно получить нужное следствие — доказываемое положение.

Какими правилами нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Очевидно, что эти правила не могут носить обязательный характер, они лишь указывают возможные пути поиска. Поэтому они называются эвристическими правилами или просто эвристиками (от греческого слова эврика — нахожу, нашел). Многие выдающиеся математики, такие, как Папп (древнегреческий математик, живший в III в.), Блез Паскаль (1623—1662), Рене Декарт (1596—1650), Жак Адамар (1865—1963), Дьердж Пойя (1887) и многие другие, занимались разработкой эвристик для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые эвристические правила, которые полезно помнить:

1. Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме (задаче), их определениями или признаками.

Например, в рассмотренной выше теореме шла речь о прямоугольнике, и мы для доказательства использовали определение прямоугольника.

2. Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности.

Так, например, доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм» — можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон также параллельна.

Так следует поступать всегда, когда есть возможность доказываемое утверждение разбить на несколько частей более простых утверждений.

3. В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям.

Например, нужно доказать такую теорему: «Если некоторая последовательность такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность — арифметическая прогрессия».

Пойдем от условия теоремы. Что нам дано? Дано, что каждый член последовательности, начиная со второго (обозначим его a n , где n ³ 2), есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов, т.

a n- 1 и a n+1 . Значит, верно такое равенство:
(1)

Теперь пойдем от заключения. А что нам нужно доказать? Нужно доказать, что эта последовательность — арифметическая прогрессия. А какая последовательность называется арифметической прогрессией? Вспоминаем определение:

a n = a n-1 + d, где n 2, d — постоянное число. (2)

Сопоставляем данное нам условие (1) с заключением (2). Чтобы условие приняло форму заключения, надо преобразовать так:

2a n = a n-1 + a n+1 , (3)

Отсюда a n — a n-1 = a n+1 — a n . (4)

Левая и правая части (4) обозначают одно и то же, а именно разность между двумя последовательными членами заданной последовательности. Если в равенстве (4) п давать последовательно значения 2, 3 и т. д., то получим: а 2 —a 1 = а 3 — a 2 , затем а 3 - a 2 = a 4 - a 3 и т. д. Следовательно, все эти разности равны между собой, а это значит, что разность а п — а п -1 есть постоянное число, которое можно обозначить буквой, например, буквой d:

а п — а п-1 = d.

Отсюда получаем: a n = a n-1 + d, а это значит, что согласно определению (2) данная последовательность есть арифметическая прогрессия, что нам и надо было доказать.

Эту эвристику можно и так сформулировать: надо стараться сблизить условие и заключение теоремы, преобразуя их или заменяя их следствиями.

Известен и ряд более частных эвристических правил, которые применяются при поиске лишь некоторых теорем. Например, такая эвристика: для того чтобы доказать равенство каких-либо отрезков, надо найти или построить фигуры, соответствующими сторонами которых являются эти отрезки; если фигуры окажутся равными, то будут равны и соответствующие отрезки.

Изучая теоремы, нужно не просто запоминать их доказательство, а каждый раз думать и устанавливать, какими методами они доказываются, какими эвристическими правилами руководствовались при нахождении этих доказательств, как догадались (додумались) до этих доказательств.

В ряде случаев для доказательства теорем используется особый прием, называемый «доказательством от противного» или «приведением к нелепости».

Сущность этого приема заключается в том, что предполагают несправедливость (ложность) заключения данной теоремы и доказывают, что такое предположение приводит к противоречию с условием или с ранее доказанными теоремами или аксиомами. А так как любое утверждение может быть либо верным, либо неверным (ничего другого быть не может), то полученное противоречие показывает, что допущение о ложности заключения теоремы неверно и, следовательно, заключение верно, тем самым теорема доказана.

Приведем пример.

Теорема. Две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: а||с, b||с.
Доказать: а||b.

Докажем эту теорему методом от противного. Допустим, что заключение теомы неверно, т. е. прямая а непараллельна прямой b. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. А так как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с, то получается, что через точку М проведены две прямые а и b, параллельные одной и той же прямой с. А мы знаем по аксиоме параллельности, что через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Пришли к противоречию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение о непараллельности прямых а и b неверно, следовательно, а||b, что и требовалось доказать.

Другой пример.

Теорема. Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше {значит: больше или равно) среднего геометрического этих чисел.

Эту теорему можно так записать:

Где а>0, b>0, (1)

Ее можно доказать как прямым способом, так и способом от противного. Докажем ее способом от противного.

Для этого допустим, что она неверна, т. е. среднее арифметическое меньше среднего геометрического двух положительных чисел: ; (2)

Умножим обе части (2) на 2 и возведем их в квадрат, получим: a 2 + 2ab + b 2 <.4ab или a 2 — 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а — b) 2 < 0.

В результате получили явную нелепость: квадрат некоторого числа (а — b) отрицателен, чего быть не может. Следовательно, предположение о неверности теоремы привело к противоречию, что доказывает справедливость теоремы.

Таким образом, доказательство от противного некоторой теоремы состоит в том, что мы делаем допущение о неверности заключения теоремы. Затем делаем ряд логических умозаключений на основе этого допущения, в результате которых приходим к явно нелепому положению (к противоречию с условием или ранее доказанными теоремами, аксиомами). Далее рассуждаем так: если бы наше предположение было бы верным, то мы могли бы прийти лишь к верному выводу, а так как мы пришли к неверному выводу, то это означает, что наше предположение было ложным, следовательно, тем самым мы убедились, что заключение теоремы верно.

Заметим, что если в результате рассуждений мы не получили бы нелепости (противоречия), то это еще не означало бы, что предположение верно. Иными словами, если исходить из верности (справедливости) заключения теоремы и из этого предположения получить верное (очевидное) следствие, то это еще не значит, что предположение верно: может случиться, что исходная теорема как раз неверна.

На этом построены многие софизмы (умышленно ложно построенные умозаключения, кажущиеся лишь правильными), этим объясняются многие ошибки, допускаемые, при решении задач.

Рассмотрим, например, такое равенство: а — b = b — a (1), где а и b — произвольные числа. Допустим, что (1) верно, тогда возвысим обе части (1) в квадрат, получим:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Перенеся все члены в одну сторону и сделав приведение подобных, придем к совершенно верному равенству: 0 = 0. Но отсюда нельзя делать вывод, что и исходное равенство (1) верно. Если бы мы такой вывод сделали, то пришли бы к такому софизму: 2а = 2b или а = b, т. е. любые произвольные числа равны между собой. Ошибка состоит в том, что из равенства квадратов двух чисел не следует равенство самих этих чисел. Например, (-2) 2 = 2 2 , но -2 2.

Вот пример ошибочного решения задачи.

Задача. Решить уравнение 3 + x + 2 = 0 (1).

Допустим, что уравнение (1) имеет решение и, следовательно, равенство (1) верно. Тогда получим: З = — х — 2. Возведем обе части равенства в квадрат: 9х = х 2 + 4х + 4 или х 2 —5x + 4 = 0, отсюда x 1 =4, х 2 =1. Можно ли найденные значения х считать корнями уравнения (1)? Некоторые ученики отвечают на этот вопрос утвердительно, ибо ведь все преобразования уравнения верные. И все же ни одно из найденных значений х не является корнем (1). Это подтверждает проверка. Подставляя найденные значения х в (1), получаем явно нелепые равенства: 12 = 0 и 6 = 0.

А как все же решить это уравнение. Заметим, что выражение в левой части уравнения имеет смысл, если x 0. Тогда левая часть уравнения при любых допустимых значениях х принимает только положительные значения и ни как не может быть равной 0, следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Таким образом вы должны учиться доказывать теоремы (формулы, тождества и т. д.), овладевать общими способами поиска доказательства теорем.

Алгебре периодически приходится доказывать теоремы. В доказанная теорема поможет вам при решении . Поэтому крайне важно не механически зазубрить доказательство, а вникнуть в суть теоремы, чтобы потом руководствоваться ею на практике.

Сначала изобразите четкий и аккуратный чертеж к теореме. Отметьте на нем латинскими буквами то, что вам изначально известно. Запишите все известные величины в графу «Дано». Далее в графе «Доказать» сформулируйте то, что доказать. Теперь можно приступать к доказательству. Оно цепочку логических мыслей, в результате чего показывается истинность -либо утверждения. При доказательстве теоремы можно (а порой – даже нужно) пользоваться различными положениями, аксиомами, от противного и даже другими, ранее доказанными, теоремами.

Таким образом, доказательство – это последовательность действий, в результате которого вы получите неоспоримое . Наибольшую трудность при доказательстве теоремы представляет нахождение именно той последовательности логических рассуждений, которые приведут к поиску того, что требовалось доказать.

Разбейте теорему на части и, доказывая, по отдельности, в итоге вы придете к искомому результату. Полезно овладеть навыком «доказательства от противного», в ряде случаев именно таким способом проще всего доказать теорему. Т.е. начните доказательство со слов «предположим обратное», и постепенно докажите, этого не может быть. Закончите доказательство словами «следовательно, первоначальное утверждение верно. Теорема доказана».

Франсуа Виет - известный французский математик. Теорема Виета позволяет решать квадратные уравнения по упрощенной схеме, которая в результате экономит время, затраченное на расчет. Но чтобы лучше понимать суть теоремы, следует проникнуть в суть формулировки и доказать ее.

Теорема Виета

Первое утверждение гласит, что сумма корней данного уравнения приравнивается значению коэффициента при переменной x (в данном случае это b), но с противоположным знаком. Наглядно это выглядит так: x1 + x2 = −b.

Второе утверждение уже связано не с суммой, а с произведением этих же двух корней. Приравнивается же это произведение к свободному коэффициенту, т.е. c. Или, x1 * x2 = c. Оба этих примера решаются в системе.

Теорема Виета значительно упрощает решение, но имеет одно ограничение. Квадратное уравнение, корни которого можно найти, используя этот прием, должно быть приведенным. В приведенном уравнении коэффициента a, тот, что стоит перед x2, равен единице. Любое уравнение можно привести к подобному виду, разделив выражение первый коэффициент, но не всегда данная операция рациональна.

Доказательство теоремы

Из теоремы Виета известно, что сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус. Это значит, что x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

То же справедливо и для произведения неизвестных корней: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. В свою очередь D = b2-4c (опять же при a=1). Получается, что итог таков: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Из приведенного простого доказательства можно сделать только один вывод: теорема Виета полностью подтверждена.

Вторая формулировка и доказательство

Эта равенство выглядит следующим образом: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Если функция P(x) пересекается в двух точка x1 и x2, то ее можно записать в виде P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). В случае, когда P имеет вторую степень, а именно так и выглядит первоначальное выражение, то R является простым числом, а именно 1. Это утверждение верно по той причине, что в ином случае равенство выполняться не будет. Коэффициент x2 при раскрытии скобок не должен быть больше единицы, а выражение должно оставаться квадратным.

Как доказывать теоремы?

Процедура доказательства теоремы только кажется сложной. Достаточно уметь логически мыслить, иметь необходимые знания по данной научной дисциплине, и доказать теорему для вас не составит труда. Важно выполнять все действия четко в правильной последовательности.

В некоторых науках, к примеру, в алгебре и геометрии, одним из важнейших умений является умение доказывать теоремы. Это связано с тем, что доказанные теоремы впоследствии пригодятся для того, чтобы решать задачи. Нужно не просто выучить алгоритм доказательства, а суметь понять ее суть. Давайте разберемся, как доказывать теоремы.

Доказательство теорем

Для начала следует сделать чертеж, он должен быть четким и аккуратным. После этого нужно отметить на нем заданные условия. В графе «Дано» нужно записать все величины, которые вам изначально известны, и то, что нужно доказать. После этого можно заняться доказательством. По сути, это цепочка логически выстроенных мыслей, которые позволяют показать то, что какое-либо утверждение является верным. Доказательство теоремы подразумевает использование других теорем, аксиом, применение действия от противного и т.д.

Итак, доказательством теоремы является определенная последовательность действий, позволяющих получить утверждение, истинность которого нельзя оспорить. Как правило, наиболее трудным во время доказательства является как раз поиск последовательности логических рассуждений. Если же это удастся, то вы сможете доказать то, что от вас требовалось.

Как доказывать теоремы по геометрии без труда

Чтобы упростить себе задачу, можно разбить теорему на части, и доказывать каждую из них по отдельности, что в итоге приведет вас к результату. В некоторых случаях эффективно использовать метод «доказательства от противного». Тогда нужно начинать со слов «предположим обратное». Следует объяснить, почему в данном случае то или иное заключение невозможно. Заканчивать нужно словами «значит, первоначальное утверждение является верным. Теорема доказана».

Еще больше полезной информации по геометрии можно найти в разделе .

Доказательство математического утверждения, как правило, представляет собой цепочку правильных рассуждений, использующих аксиомы и теоремы, справедливость которых установлена ранее. Рассуждение называется правильным, если из истинности всех посылок следует истинность заключения. Пусть высказывания \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) - посылки, а высказывание \(A\) - заключение. Рассуждение проводится по схеме \(\frac{A_1,A_2,\ldots, A_n}{B}\) , т.е. из предположений \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) следует заключение \(B\) . Это рассуждение является правильным, если формула \((A_1\And A_2\And \ldots\And A_n)\Rightarrow B\) тождественно-истинная, т.е. истинна для любых истинностных значений входящих в нее высказываний \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .

Правильным рассуждениям соответствуют, например, схемы:

\(\frac{A\Rightarrow B,A}{B}\) - правило вывода (modus ponens );

\(\frac{A\Rightarrow B,B\Rightarrow C}{A \Rightarrow C}\) - правило силлогизма;

\(\frac{A\Rightarrow B,\lnot B}{\lnot A}\) - правило контрапозиции.

По первой и третьей схемам построены следующие рассуждения:

– если натуральное число \(n\) делится на 4, то оно четное. Число \(n\) делится на 4. Следовательно, число п четное;

– если натуральное число \(n\) делится на 4, то оно четное. Число \(n\) нечетное. Следовательно, число \(n\) не делится на 4.

Оба рассуждения правильные для любых натуральных чисел \(n\) . В самом деле, даже при \(n=1\) , несмотря на кажущуюся противоречивость, имеем правильное рассуждение: "если число 1 делится на 4, то оно четное. Число 1 делится на 4. Следовательно, число 1 четное", поскольку из ложных посылок можно делать какие угодно заключения.

Рассмотрим пример рассуждения по схеме \(\frac{A\Rightarrow B,B}{A}:\)

– если натуральное число \(n\) делится на 4, то оно четное. Число \(\) четное. Следовательно, число \(n\) делится на 4.

При \(n=6\) и \(n=8\) соответственно получаем:

– если натуральное число 6 делится на 4, то оно четное. Число 6 четное. Следовательно, число 6 делится на 4;

– если натуральное число 8 делится на 4, то оно четное. Число 8 четное. Следовательно, число 8 делится на 4.

Оба рассуждения неправильные, хотя заключение второго рассуждения истинно (число 8 действительно делится на 4), т.е. схема \(\frac{A\Rightarrow B,B}{A}\) не соответствует правильным рассуждениям.

Часто вместо доказательства теоремы вида \(A\Rightarrow B\) доказывают истинность некоторого другого утверждения, эквивалентного исходному. Такие формы доказательства называют косвенными. Одним из них является способ доказательства от противного. Чтобы доказать истинность высказывания \(A\Rightarrow B\) предполагаем, что это утверждение ложно. Исходя из такого предположения, приходим к противоречию, а именно доказываем, что некоторое утверждение выполняется и не выполняется одновременно. Отсюда делается вывод о том, что предположение неверно, а исходное высказывание истинно.

Пользуясь описанным способом, докажем утверждение:

если \(n\) нечетное число, то и число \(n^2\) - нечетное.

Предположим противное, т.е. пусть имеется такое нечетное число \(n\) , что число \(n^2\) - четное. Тогда, с одной стороны, разность \(n^2-n\) будет нечетным числом, а с другой стороны, число \(n^2-n=n(n-1)\) заведомо четное, как произведение двух последовательных целых чисел. Получено противоречие, а именно: число \(n^2-n\) является четным и нечетным одновременно. Это доказывает, что сделанное предположение неверно и, следовательно, исходное утверждение справедливо.

Рассмотренная схема доказательства от противного не единственная. Применяются также другие схемы доказательства от противного:

\(\frac{A,\lnot B}{\lnot A}\) или \(\frac{A,\lnot B}{B}\) .

Еще одна схема косвенного доказательства (по закону контрапозиции) основана на эквивалентности двух утверждений \(A\Rightarrow B\) и \(B\Rightarrow \lnot A\) . В самом деле, эти утверждения либо оба истинны, либо оба ложны. Например, высказывания "если идет дождь, то на небе есть тучи" и "если на небе нет туч, то не идет дождь" оба истинны, а высказывания "если на небе есть тучи, то идет дождь" и "если не идет дождь, то на небе нет туч" оба ложны.

Во многих задачах нужно доказать справедливость некоторого утверждения (формулы) для любого натурального числа \(n\) . Непосредственная проверка таких утверждений для каждого значения п невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Для доказательства таких утверждений (формул) применяется метод математической индукции , суть которого заключается в следующем. Пусть требуется доказать истинность высказывания \(A(n)\) для всех \(n\in \mathbb{N}\) . Для этого достаточно доказать два утверждения:

1) высказывание \(A(n)\) истинно для \(n=1\) . Эта часть доказательства называется базой индукции;

2) для любого натурального \(k\) из того, что высказывание истинно для \(n=k\) (индукционное предположение) следует, что оно истинно и для следующего числа \(n=k+1\) , т.е. \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Эта часть доказательства называется индукционным шагом.

Если пункты 1, 2 доказаны, можно сделать вывод об истинности высказывания \(A(n)\) для любого натурального \(n\) .

В самом деле, если высказывание \(A(1)\) истинно (см. пункт 1), то высказывание \(A(2)\) тоже истинно (см. пункт 2 при \(n=1\) ). Поскольку \(A(2)\) истинно, то \(A(3)\) тоже истинно (см. пункт 2 при \(n=2\) ) и т.д. Таким образом можно дойти до любого натурального числа \(n\) , убеждаясь в справедливости \(A(n)\) .

Замечание В.6. В ряде случаев бывает необходимо доказать справедливость некоторого утверждения \(A(n)\) не для всех натуральных \(n\) , а лишь для \(n\geqslant p\) , т.е. начиная с некоторого фиксированного числа \(p\) . Тогда метод математической индукции модифицируется следующим образом:

1) база индукции: доказать истинность \(A(p)\) ;

2) индукционный шаг: доказать \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) для любого фиксированного \(k\geqslant p\) .

Из пунктов 1, 2 следует, что утверждение \(A(n)\) верно для всех натуральных \(n\geqslant p\) .

Пример В.16. Доказать справедливость равенства \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) для любого натурального числа \(n\) .

Решение. Обозначим сумму первых \(n\) нечетных чисел через \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) . Требуется доказать утверждение \(A(n):\) "равенство \(S_n=n^2\) верно для любого \(n\in \mathbb{N}\) ". Доказательство проведем по индукции.

1) Поскольку \(S_1=1=1^2\) , то при \(n=1\) равенство \(S_n=n^2\) верное, т.е. высказывание \(A(1)\) истинно. База индукции доказана.

2) Пусть \(k\) - любое натуральное число. Выполним индукционный шаг \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Предположив, что утверждение \(A(n)\) истинно при \(n=k\) , т.е. \(S_k=k^2\) , докажем, что утверждение \(A(n)\) истинно для следующего натурального числа \(n=k+1\) , то есть \(S_{k+1}=(k+1)^2\) . Действительно,

\(S_{k+1}= \underbrace{1+3+5+\ldots+(2k-1)}_{S_k}+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k+1)^2.\)

Поэтому \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) и на основании метода математической индукции заключаем, что высказывание \(A(n)\) истинно для любого натурального \(n\) , то есть формула \(S_n=n^2\) верна для любого \(n\in \mathbb{N}\) .

Пример В.17. Перестановкой из \(n\) чисел называется набор первых \(n\) натуральных чисел, взятых в некотором порядке. Доказать, что количество различных перестановок равно \(n!\) . Выражение \(n!\) (читается " \(n\) факториал") равно \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\) . Две перестановки \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) и \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) из \(n\) чисел считаются равными, если \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\) , а в случае нарушения хотя бы одного из равенств перестановки считаются различными.

Решение. Проведем доказательство методом математической индукции.

1) Для \(n=1\) имеется всего одна перестановка \((1)\) , т.е. \(1!=1\) и утверждение верно.

2) Предположим, что для любого \(k\) количество перестановок равно \(k!\) . Докажем, что количество перестановок из \((k+1)\) чисел равно \((k+1)!\) . В самом деле, зафиксируем число \((k+1)\) на любом месте в перестановке из \((k+1)\) чисел, а первые \(k\) натуральных чисел разместим на оставшихся \(k\) местах. Количество таких перестановок равно количеству перестановок из \(k\) чисел, т.е. \(k!\) по индуктивному предположению. Так как число \((k+1)\) можно было поставить на любое из (к +1) мест в перестановке, заключаем, что количество различных перестановок из \((k+1)\) чисел равно \((k+1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Таким образом, предположив, что утверждение верно для \(n=k\) , удалось доказать, что оно верно для \(n=k+1\) .

Из пунктов 1 и 2 следует, что утверждение верно для любого натурального числа \(n\) .

Замечание В.7. Формальные методы вывода теорем, использующие многочисленные схемы правильных рассуждений, изучаются в математической логике. Как правило, эти методы порождают лишь новые формулировки теорем, отражающих старое содержание. Поэтому для развития математической теории они малоэффективны. Однако, законы математической логики и схемы правильных рассуждений, должны обязательно соблюдаться при изучении любой математической проблемы.

... § 18. Ученики, начинающие геометрию, часто не чувствуют потребности в доказательстве тех истин, которые они встречают в начале курса геометрии. Ученик, прежде чем начал учиться геометрии, привык уже к вопросу: почему вы так думаете? Да и самому преподавателю геометрии приходилось не раз задавать ему этот вопрос, прежде чем он признал своевременным приступить к объяснению, что такое теорема и что такое доказательство. А поэтому при таком объяснении учителя главное дело заключается в том, чтобы указать преимущества умозрительного доказательства перед другими, его обязательность при решении геометрических вопросов. Преподавателю предстоит избрать какую-либо из теорем, стоящих в начале курса, и воспользоваться ею для разъяснения значения и цели геометрического доказательства. Предлагают избрать для этого такую теорему, справедливость которой для учеников может быть не вполне очевидной, и, пользуясь этим, возбудить сомнение как в самой истинности ее, гак и в непригодности тех способов решения вопроса, какие известны учащимся, и таким образом привести их к необходимости искать подтверждения или опровержения ее в ином способе доказательства. Как мы видели, есть даже мнение, что было бы еще правильнее ожидать, пока ученики сами не натолкнутся на сомнение при решении какого-либо геометрического вопроса, и тогда уже приступать к толкованию о теореме. Такое предложение, как мне кажется, основано на недоразумении. Дело стояло бы так в том случае, если б, повторим еще раз, учащиеся до того времени не доказывали истин, принимали бы все сообщаемое им учителями за аксиомы. На самом же деле ученики понимают различие между.истиной и не истиной, различают даже истины, требующие подтверждения, от аксиом. Признавая что-либо истинным, они высказываются при этом по убеждению, могут представить доводы в пользу своего мнения. Но, начиная геометрию, они еще не знакомы с более точным доказательством, примеры которого в учебном курсе они впервые встречают в геометрии. Мало того, они еще не признают, может быть, самой необходимости найти более точные приемы доказательства, чем те, которые они употребляли. Поясним это примером. Ученик может принимать равенство всех прямых углов за аксиому, т. е. вполне довериться при этом своему непосредственному впечатлению и не сомневаться, что в мнении о величине прямых углов все сходятся, что в этом никто не сомневается. Но если б вы усомнились и потребовали доказательства, то он нашелся бы и произвел наложение их, как он это делал на уроках рисования и в пропедевтическом курсе. Тот же прием он употреблял и в систематическом курсе: смерив две прямые, он говорил, которая из них больше, и, поступая так, был убежден, что это измерение служит доводом, доказательством справедливости его вывода о сравнительной длине двух прямых. Это-то убеждение и составляет тот пункт, на который в данном случае должен обратить все свое внимание преподаватель. Для него важно не поселить сомнение в справедливости содержания теоремы,- ученики признают такое сомнение законным и не удивятся вопросу учителя: почему? докажите! - а внушить ученикам, как важно иметь возможность обобщить истину, найдя для нее умозрительное доказательство. Если речь идет о двух прямых, то, решая вопрос об,ix сравнительной длине, вполне возможно или довериться впечатлению глаза, или, если этого недостаточно, смерить их. Но геометрия имеет в виду не такие практические потребности: она как наука интересуется не какими-либо произвольно взятыми прямыми, а прямыми, величина которых определяется известными условиями. Истины, принадлежащие геометрии, имеют известную долю общности, но справедливы лишь при существовании определенных условий. Выбор темы для показания значения умозрительного доказательства определяется поэтому тем, удобно ли ее доказательство для уяснения характера и ценности его, а не тем, можно ли возбудить в учениках сомнение в справедливости самого содержания теоремы. Чтобы сделать яснее свою мысль, предположим, что нами выбрана теорема: каждая хорда меньше диаметра одного с нею круга, и отметим главные части урока, посвященного убеждению учеников в необходимости доказательства. 1. Проводится диаметр и хорда в одном и том же круге. На вопрос, которая из этих линий длиннее, ученики с убеждением скажут, что этот диаметр больше этой хорды. Если в том же круге проведем еще несколько хорд, то заключение о том, что вся она будет короче диаметра, получится с той же легкостью и с той же степенью верности. Можно, конечно, потребовать, чтобы сравнение было произведено точнее, т. е. не на глазомер, а путем измерения. 2. Далее решается вопрос: можно ли теперь сказать, что и все хорды также меньше диаметра? Предстоит убедить учеников, что такое обобщение невозможно. С одной стороны, нельзя перемерить все хорды, ибо их бесчисленное множество (а не потому, что потребовалось бы много времени), а с другой, если нельзя все перемерить, то всегда возможно сомневаться, не встретилась ли бы в числе неизмеренных такая хорда, которая окажется больше или хотя бы равна диаметру. Если из конца диаметра провести хорду под весьма малым углом к нему, то нетрудно дать почувствовать ученикам, что сравнение измерением может повести нас к неверному заключению, вследствие возможности ошибки при самом измерении, которая может иметь очень большое значение, когда сравниваемые протяжения весьма близки между собой по величине. Отсюда вывод о необходимости приискать другой способ решения вопроса, который дал бы возможность распространить наш вывод на все хорды. 3. Общность рассуждения или умозрительного доказательства выводится не из повторения его на нескольких чертежах, а из разбора частей доказательства. Можно ли концы каждой хорды соединить с центром? Всегда ли в таком случае хорда будет прямой, а радиусы образуют ломаную, опирающуюся на одни с прямой концы? Всегда ли эта ломаная будет состоять из двух радиусов и будет, следовательно, равна диаметру? Разобрав таким образом доказательство, мы вправе сказать, что, говоря об одной хорде, мы разумеем все хорды. Если б в нашем доказательстве хотя одна часть не могла быть применима к каждой хорде, то доказательство утратило бы всю свою цену. Повторение доказательства на другом чертеже имеет значение как повторение, как прием лучшего усвоения его, а не как подтверждение его общности. Следует оговориться, что нельзя ожидать, чтобы ученики сразу вполне поняли эту сторону геометрических доказательств. При дальнейшем изложении курса необходимо будет возвращаться к этой стороне дела и с этою целью заставлять учеников проверять доказательство шаг за шагом, все ли его части имеют общий характер, не ввели ли в него чего-либо справедливого лишь случайно, вследствие особенностей чертежа. Для полного выяснения значения теоремы и ее доказательства необходимо остановиться на стоящих в теореме словах: хорда и диаметр одного круга. Лучше всего, следуя тому же пути, который указан выше, сослаться на то, что ломаная в данном случае равна двум радиусам, а следовательно, и диаметру того же круга, в который вписана и хорда, что если взять хорду одного круга, а диаметр-другого, то упомянутого равенства существовать не будет, и если б мы в своем рассуждении упоминали о нем, то само рассуждение было бы неверно. Ссылаться же в подтверждение прибавляемых слов на чертеж (взяв хорду большого круга, а диаметр другого-маленького) значило бы возвращаться к непосредственному впечатлению, тогда как формальная сторона урока и заключается в том, чтобы убедить учеников в необходимости пользоваться умозрением...

Главная » Транскрипции » Все теоремы с доказательством. Способы доказательства теорем и приемы решения геометрических задач