Теория нечетких. Теория нечетких множеств
Федеральное агентство по образованию
Восточно-Сибирский государственный технологический
государственный университет
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Учебное пособие
Часть I
Издательство ВСГТУ
Улан-Удэ 2004
УДК 519.5 510.22
ББК 22.12
Ха199
Хаптахаева Н.Б., Дамбаева С.В., Аюшеева Н.Н. Введение в теорию нечетких
множеств: Учебное пособие. – Часть I. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004. - 68 с.: ил.
Ха199
ISBN 5-89230-199-0
Рецензенты:
Д.Ш. Ширапов, д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Электронно-
вычислительные системы» ВСГТУ
Б.М. Степанов, к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Информационные технологии)
БГУ
Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 220400 «Программное
обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» и 351500
«Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».
Пособие состоит из двух частей и содержит теоретические основы и приложения по
дисциплине «Нечеткая логика». В части I рассмотрены основы теории нечетких
множеств: понятие нечетких множеств, нечетких отношений, а также понятие нечеткой
и лингвистической переменных. Материал снабжен контрольными вопросами и
упражнениями для самостоятельного выполнения.
Ключевые слова: нечёткое множество, нечеткое отношение, нечеткая переменная,
лингвистическая переменная, нечеткий логический вывод.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Восточно-Сибирского
государственного технологического университета.
ISBN 5-89230-199-0 ББК 22.12
Хаптахаева Н.Б. с соавт., 2004 г.
ВСГТУ, 2004 г.
2
Оглавление
Введение.............................................................................................................................................4
1. Нечеткие множества......................................................................................................................6
1.1. Основные характеристики нечетких множеств...................................................................6
1.2. Методы построения функции принадлежности.................................................................10
1.3. Операции над нечеткими множествами.............................................................................13
1.3.1. Логические операции над нечеткими множествами..................................................13
1.3.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами...........................................17
Контрольные вопросы.................................................................................................................21
Упражнения..................................................................................................................................22
2. Нечеткие отношения и операции над ними...............................................................................24
2.1. Нечеткие отношения.............................................................................................................25
2.2. Операции над нечеткими отношениями.............................................................................28
2.3. Свойства нечетких отношений............................................................................................33
2.4. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения.............................................37
2.5. Специальные типы нечетких отношений...........................................................................39
2.5.1. Нечеткие отношения предпорядка...............................................................................39
2.5.2. Нечеткие отношения порядка.......................................................................................40
2.5.3. Отношение подобия.......................................................................................................41
2.5.4. Отношения различия. ....................................................................................................43
2.5.5. Отношения сходства и несходства...............................................................................44
Контрольные вопросы.................................................................................................................46
Упражнения..................................................................................................................................47
3. Нечеткая и лингвистическая переменные.................................................................................50
3.1. Понятие нечеткой и лингвистической переменных..........................................................50
3.1.1. Характеристики простых отношений между нечеткими переменными..................52
3.2. Нечеткие числа......................................................................................................................54
3.2.1. Операции над нечеткими числами...............................................................................54
3.2.2. Сравнение нечетких чисел............................................................................................56
3.3. Лингвистические неопределенности...................................................................................59
3.3.1. Вычисление значений лингвистических переменных................................................61
Контрольные вопросы.................................................................................................................64
Упражнения..................................................................................................................................65
Заключение.......................................................................................................................................66
Список рекомендуемой литературы..............................................................................................67
3
Введение
Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является
способность принимать правильные решения в обстановке неполной и
нечеткой информации. Традиционные компьютерные вычисления «слишком
точны» для реального мира. Человечество столкнулось с проблемами, для
решения которых невозможно получить полную информацию или определение
которых недостаточно полно. Казалось бы ситуация безвыходная, но благодаря
развитию и совершенствованию так называемых нечетких и гибридных систем
в настоящее время уже довольно обыденно воспринимаются
«сверхинтеллектуальные» стиральные машины и бытовые автоматы,
гиперзвуковые самолеты и самонаводящиеся ракеты и многое другое.
Математическую основу нечетких и гибридных систем составляют
противоположные традиционным компьютерным вычислениям (hard
computing), так называемые мягкие вычисления (soft computing), одной из
составляющих которых является нечеткая логика.
Математическая теория нечетких множеств, предложенная в 1965 в
работах Лотфи А. Задэ (Lotfi A. Zadeh), профессора технических наук
Калифорнийского университета в Беркли, позволяет описывать нечеткие
понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы.
Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких
систем существенно расширяют области применения компьютеров. В
последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и
результативных областей исследований применения теории нечетких
множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда
технологические процессы являются слишком сложными для анализа с
помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные
источники информации интерпретируются качественно, неточно или
неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает
лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых
4
алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и
прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения,
проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на
которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому
мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы.
Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения
неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических
средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить
модель, адекватную реальности.
Учебное пособие состоит из двух частей и содержит теоретические
основы нечеткой логики. Первая часть пособия посвящена математической
теории нечетких множеств и состоит из трех разделов.
В первом разделе рассмотрены основные определения и понятия теории
нечетких множеств: характеристики нечетких множеств, методы построения
функций принадлежности элемента нечеткому множеству, операции над
нечеткими множествами, свойства операций.
Второй раздел содержит основные определения и понятия нечетких
отношений и операций над ними, свойств нечетких отношений. Рассмотрены
специальные типы бинарных нечетких отношений: нечеткое отношение
предпорядка, нечеткое отношение порядка, нечеткое отношение подобия,
нечеткое отношение сходства, нечеткое отношение различия.
В третьем разделе вводятся понятия нечеткой и лингвистической
переменных, в качестве значений которых выступают нечеткие множества, а
также рассматриваются понятия нечетких чисел и лингвистических
неопределенностей.
Каждый раздел сопровождается контрольными вопросами и
упражнениями для самостоятельного выполнения.
5
1. Нечеткие множества
1.1. Основные характеристики нечетких множеств
Опр.1.1. Нечетким множеством А во множестве U называется
совокупность пар вида (u, µА(u)), где u∈U, а µА(u)) – это функция
принадлежности нечеткого множества А, µА: U → . Здесь U – некоторое
обычное множество, называемое универсальным множеством.
Для любого элемента U функция принадлежности µА определяет степень
принадлежности данного элемента множеству А.
Нечеткое множество можно записать следующим образом:
A= Υ µ A (u) / u
u∈U (1.1)
Примеры записи нечетких множеств
1. Если U = (a, b, c, d, e, f); M = (0, 0.5, 1), тогда А можно представить в
виде: А = (0/а, 1/b, 0.5/c, 0/d, 0.5/e, 0/f).
2. Если А = (0.8/а1, 1/a2, 0.4/a3, 0.2/a4, 0.5/a5, 0/a6), то U = (a1, а2, а3, а4, а5,
а6); M = (0, 0.2, 0.4, 0.5, 0.8, 1).
3. Если элементы множества U являются числовыми значениями, то
порядок следования элементов пары должен соответствовать (1.1). U = (1, 2, 3,
4, 5, 6); M = (0, 0.5, 1), тогда А = (0/1, 0/2, 0.5/3, 0.5/4, 0.5/5, 1/6).
Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств.
Функцией принадлежности обычного множества В ⊂ U является функция:
1, u ∈ B
µ B (u) = (1.2)
0, u ∉ B
Опр.1.2. Нечеткое множество А называется пустым, если µ A (u) = 0, ∀u ∈ U
Опр.1.3. Носителем нечеткого множества А называется обычное
подмножество таких точек U, для которых величина µА(u) положительна.
Носитель обозначается S(A) или SuppA:
S (A) = {u u ∈ U , µ A (u) > 0} (1.3)
6
Опр. 1.4. Высотой h(A) нечеткого множества А называется величина
h(A) = sup µ A (u) (1.4)
u∈U
Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота равна
единице. В противном случае нечеткое множество А субнормально. Отметим,
что субнормальное нечеткое множество всегда можно нормализовать, поделив
функцию принадлежности µА на величину h(A) = sup µ A (u) .
u∈U
Опр. 1.5. Элементы множества U, для которых степень принадлежности
µА(u) = 0.5 называются точками перехода нечеткого множества А.
Примеры нечетких множеств
1. Пусть универсальное множество U представлено в виде {a, b, c, d, e} и
нечеткое подмножество А, заданное на U, имеет вид A = (0/a, 0.5/b, 0.6/c, 0.7/d,
0.85/e).
Тогда носителем нечеткого множества A является S(A) = {b, c, d, e}.
Высота нечеткого множества А - h(A)=0.85. Точка перехода - u=b. Множество А
– субнормально. Нормализованное множество будет иметь вид:
A = (0/a, 0.6/b, 0.7/c, 0.8/d, 1/e).
2. Пусть универсальное множество U представляет собой интервал , и переменная u, принимающая значения из этого интервала,
интерпретируется как «Возраст».
Тогда нечеткое множество A, обозначаемое термином «Старый», можно
определить функцией принадлежности вида
0, при 0 ≤ u ≤ 50
−1
µ A (u) = u − 50 −2 (1.5)
1 +
5
, при 50 < u ≤ 100
Здесь носитель S(A) = (50, 100]. Высота множества «Старый» близка к 1,
соответственно множество нормальное. Точкой перехода является значение
u=55.
7
3. Пусть U = и переменная u, принимающая значения из этого
интервала, интерпретируется как «Возраст». Тогда нечеткое множество
«Молодой», можно определить функцией принадлежности вида
1, при 1 ≤ u ≤ 25
µ Молодой (u) = 1 (1.6)
1 + ((u − 25) / 5)2 , при 25 < u ≤ 100
Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве
U′={Иванов, Петров, Сидоров, …} задается с помощью функции
принадлежности µМолодой(u) на U = , называемой по отношению к U′
функцией совместимости, при этом:
µМолодой(Петров) = µМолодой(u),
где u – возраст Петрова.
4. Пусть U = {Запорожец, Жигули, Мерседес, …} – множество марок
автомобилей, а U′ = }
