Уравнение прямой, проходящей через т.у А(ха; уа) и имеющей угловой коэффициент k, записывается в виде

у – уа=k (x – xa). (5)

Уравнение прямой, проходящей через две точки т. А (х 1 ; у 1) и т.В (х 2 ; у 2) , имеет вид

Если точки А и В определяют прямую, параллельную оси Ох (у 1 = у 2) или оси Оу (х 1 = х 2), то уравнение такой прямой записывается соответственно в виде:

у = у 1 или х = х 1 (7)

Нормальное уравнение прямой

Пусть дана прямая С, проходящая через данную точку Мо(Хо; Уо) и перпендикулярная вектору (А;В). Любой вектор , перпендикулярный данной прямой , называется ее нормальным вектором. Выберем на прямой произвольную т. М(х;у). Тогда , а значит их скалярное произведение . Это равенство можно записать в координатах

А(х-х о)+В(у-у о)=0 (8)

Уравнение (8) называется нормальным уравнением прямой .

Параметрическое и каноническое уравнения прямой

Пусть прямая l задана начальной точкой М 0 (х 0 ; у 0) и направляющим вектором (а 1 ;а 2 ),. Пусть т. М(х; у) – любая точка, лежащая на прямой l . Тогда вектор коллинеарен вектору . Следовательно, = . Записывая это уравнение в координатах, получаем параметрическое уравнение прямой

Исключим параметр t из уравнения (9). Это возможно, так как вектор , и потому хотя бы одна из его координат отлична от нуля.

Пусть и , тогда , и, следовательно,

Уравнение (10) называется каноническим уравнением прямой с направляющим вектором

=(а 1 ; а 2). Если а 1 =0 и , то уравнения (9) примут вид

Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси, Оу и проходящая через точку

М 0 (х 0 ; у 0).

х=х 0 (11)

Если , , то уравнения (9) примут вид

Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку

М 0 (х 0 ; у 0). Каноническое уравнение такой прямой имеет вид

у=у 0 (12)

Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух

Прямых

Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями:

и

Тогда угол φ между ними определяется по формуле:

(13)

Условие параллельности 2-х прямых: (14)

Условие перпендикулярности 2-х прямых: (15)

Условие параллельности в этом случае имеет вид: (17)

Условие перпендикулярности прямых: (18)

Если две прямые заданы каноническими уравнениями:

и

то угол φ между этими прямыми определяется по формуле:

(19)

Условие параллельности прямых: (20)

Условие перпендикулярности прямых: (21)

Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки М(х 1 ; у 1) до прямой Ax+By+C=0 вычисляется по формуле

(22)

Пример по выполнению практической работы

Пример 1. Построить прямую 3х– 2у +6=0.

Решение:Для построения прямой достаточно знать какие-либо две её точки, например, точки её пересечения с осями координат. Точку А пересечения прямой с осью Ох можно получить, если в уравнении прямой принять у=0.Тогда имеем 3х +6=0, т.е. х =-2. Таким образом, А (–2;0).

Тогда В пересечения прямой с осью Оу имеет абсциссу х =0; следовательно, ордината точки В находится из уравнения –2у+ 6=0, т.е. у=3. Таким образом, В (0;3).

Пример 2. Составить уравнение прямой, которая отсекает на отрицательной полуплоскости Оу отрезок, равный 2 единицам, и образует с осью Ох угол φ =30˚.

Решение: Прямая пересекает ось Оу в точке В (0;–2) и имеет угловой коэффициент k =tg φ= = . Полагая в уравнении (2) k = и b = –2, получим искомое уравнение

Или .

Пример 3. А (–1; 2) и

В (0;–3). (указание : угловой коэффициент прямой находится по формуле (3))

Решение: .Отсюда имеем . Подставив в это уравнение координаты т.В, получим: , т.е. начальная ордината b = –3 . Тогда получим уравнение .

Пример 4. Общее уравнение прямой 2х – 3у – 6 = 0 привести к уравнению в отрезках.

Решение: запишем данное уравнение в виде 2х – 3у =6 и разделим обе его части на свободный член: . Это и есть уравнение данной прямой в отрезках.

Пример 5. Через точку А (1;2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.

Решение: Пусть уравнение искомой прямой имеет вид По условию а =b . Следовательно, уравнение принимает вид х + у = а . Так как точка А (1; 2) принадлежит этой прямой, значит ее координаты удовлетворяют уравнению х + у = а ; т.е. 1 + 2 = а , откуда а = 3. Итак, искомое уравнение записывается следующим образом: х + у = 3, или х + у – 3 = 0.

Пример 6. Для прямой написать уравнение в отрезках. Вычислить площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат.

Решение: Преобразуем данное уравнение следующим образом: , или .

В результате получим уравнение , которое и является уравнением данной прямой в отрезках. Треугольник, образованный данной прямой и осями координат, является прямоугольным треугольником с катетами, равными 4 и 3, поэтому его площадь равна S= (кв. ед.)

Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящий через точку (–2; 5) и образующей с осью Ох угол 45º.

Решение: Угловой коэффициент искомой прямой k = tg 45º = 1. Поэтому, воспользовавшись уравнением (5), получаем у – 5 = x – (–2), или х – у + 7 = 0.

Пример 8. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (–3; 5)и В(7; –2).

Решение: Воспользуемся уравнением (6):

, или , откуда 7х + 10у – 29 = 0.

Пример 9. Проверить, лежат ли точки А (5; 2), В (3; 1) и С (–1; –1) на одной прямой.

Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С :

, или

Подставляя в это уравнение координаты точки В (хВ = 3 и у В = 1), получим (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), т.е. получаем верное равенство. Т. о., координаты точки В удовлетворяют уравнению прямой (АС ), т.е. .

Пример 10: Составить уравнение прямой, проходящую через т. А(2;-3).

Перпендикулярную =(-1;5)

Решение: Пользуясь формулой (8), находим уравнение данной прямой -1(х-2)+5(у+3)=0,

или окончательно, х – 5 у - 17=0.

Пример 11 : Даны точки М 1 (2;-1) и М 2 (4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М 1 перпендикулярно вектору Решение: Нормальный вектор искомой прямой имеет координаты (2;6), следовательно по формуле (8) получим уравнение 2(х-2)+6(у+1)=0 или х+3у +1=0.

Пример 12 : и .

Решение: ; .

Пример 13:

Решение: а) ;

Пример 14: Вычислить угол между прямыми

Решение:

Пример 15: Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение:

Пример 16: найти угол между прямыми и .

Решение: .

Пример 17: выяснить взаимное расположение прямых:

Решение:а) - прямые параллельны;

б) - значит, прямые перпендикулярны.

Пример 18: Вычислить расстояние от точки М(6; 8) до прямой

Решение: по формуле (22) получим: .

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1. Привести общее уравнение прямой 2x+3y-6=0 к уравнению в отрезках и вычислить площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от соответствующего координатного угла;

2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);

3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку М 0 (-2;4) и параллельной вектору (6;-1);

4. Вычислить угол между прямыми

4. Вычислить угол между прямыми:

а) 2x - 3y + 7 = 0 и 3x - y + 5 = 0 ; б) и y = 2x – 4;

5.Определить взаимное расположение 2-х прямых и ;

, если известны координаты концов отрезка т.А(18;8) и т.В(-2; -6).

Вариант 3

1. Привести общее уравнение прямой 4x-5y+20=0 к уравнению в отрезках и вычислить площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от соответствующего координатного угла;

2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (3;-2), точки В (7;3), точки

С (0;8). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);

3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M 0 (-1;-2) и

параллельной вектору (3;-5);

4. Вычислить угол между прямыми

а) 3x + y - 7 = 0 и x - y + 4 = 0; б) и ;

5. Определить взаимное расположение 2-х прямых и y = 5x + 3;

6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ до прямой , если известны координаты концов отрезка т.А(4;-3) и т.В(-6; 5).

Вариант 4

1. Привести общее уравнение прямой 12x-5y+60=0 к уравнению в отрезках и вычислить длину отрезка, который отсекается от этой прямой соответствующим координатным углом;

2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (0;-2), точки В (3;6), точки С (1;-4). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);

3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M 0 (4;4) и параллельной вектору (-2;7);

4.Вычислить угол между прямыми

а) x +4 y + 8 = 0 и 7x - 3y + 5 = 0; б) и ;

5. Определить взаимное расположение 2-х прямых и ;

6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ до прямой , если известны координаты концов отрезка т.А(-4; 8) и т.В(0; 4).

Контрольные вопросы

1. Назовите уравнения прямой на плоскости, когда известны точка, через которую она проходит и ее направляющий вектор;

2. Какой вид имеет нормальное, общее уравнения прямой на плоскости;

3. Назовите уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом;

4. Перечислите формулы для вычисления угла между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

5. Как найти расстояние от точки до прямой?

Пусть даны две точки М (Х 1 ,У 1) и N (Х 2, y 2). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Так как эта прямая проходит через точку М , то согласно формуле (1.13) ее уравнение имеет вид

У – Y 1 = K (X – x 1),

Где K – неизвестный угловой коэффициент.

Значение этого коэффициента определим из того условия, что искомая прямая проходит через точку N , а значит, ее координаты удовлетворяют уравнению (1.13)

Y 2 – Y 1 = K (X 2 – X 1),

Отсюда можно найти угловой коэффициент этой прямой:

,

Или после преобразования

(1.14)

Формула (1.14) определяет Уравнение прямой, проходящей через две точки М (X 1, Y 1) и N (X 2, Y 2).

В частном случае, когда точки M (A , 0), N (0, B ), А ¹ 0, B ¹ 0, лежат на осях координат, уравнение (1.14) примет более простой вид

Уравнение (1.15) называется Уравнением прямой в отрезках , здесь А и B обозначают отрезки, отсекаемые прямой на осях (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6

Пример 1.10. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (1, 2) и B (3, –1).

. Согласно (1.14) уравнение искомой прямой имеет вид

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Перенося все члены в левую часть, окончательно получаем искомое уравнение

3X + 2Y – 7 = 0.

Пример 1.11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2, 1) и точку пересечения прямых X + Y – 1 = 0, Х – у + 2 = 0.

. Координаты точки пересечения прямых найдем, решив совместно данные уравнения

Если сложить почленно эти уравнения, получим 2X + 1 = 0, откуда . Подставив найденное значение в любое уравнение, найдем значение ординаты У :

Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точки (2, 1) и :

или .

Отсюда или –5(Y – 1) = X – 2.

Окончательно получаем уравнение искомой прямой в виде Х + 5Y – 7 = 0.

Пример 1.12. Найти уравнение прямой, проходящей через точки M (2,1) и N (2,3).

Используя формулу (1.14), получим уравнение

Оно не имеет смысла, так как второй знаменатель равен нулю. Из условия задачи видно, что абсциссы обеих точек имеют одно и то же значение. Значит, искомая прямая параллельна оси ОY и ее уравнение имеет вид: x = 2.

Замечание . Если при записи уравнения прямой по формуле (1.14) один из знаменателей окажется равным нулю, то искомое уравнение можно получить, приравняв к нулю соответствующий числитель.

Рассмотрим другие способы задания прямой на плоскости.

1. Пусть ненулевой вектор перпендикулярен данной прямой L , а точка M 0(X 0, Y 0) лежит на этой прямой (рисунок 1.7).

Рисунок 1.7

Обозначим М (X , Y ) произвольную точку на прямой L . Векторы и Ортогональны. Используя условия ортогональности этих векторов, получим или А (X – X 0) + B (Y – Y 0) = 0.

Мы получили уравнение прямой, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору . Этот вектор называется Вектором нормали к прямой L . Полученное уравнение можно переписать в виде

Ах + Ву + С = 0, где С = –(А X 0 + By 0), (1.16),

Где А и В – координаты вектора нормали.

Получим общее уравнение прямой в параметрическом виде.

2. Прямую на плоскости можно задать так: пусть ненулевой вектор параллелен данной прямой L и точка M 0(X 0, Y 0) лежит на этой прямой. Вновь возьмем произвольную точку М (Х , y) на прямой (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8

Векторы и коллинеарны.

Запишем условие коллинеарности этих векторов: , где T – произвольное число, называемое параметром. Распишем это равенство в координатах:

Эти уравнения называются Параметрическими уравнениями Прямой . Исключим из этих уравнений параметр T :

Эти уравнения иначе можно записать в виде

. (1.18)

Полученное уравнение называют Каноническим уравнением прямой . Вектор называют Направляющим вектором прямой .

Замечание . Легко видеть, что если – вектор нормали к прямой L , то ее направляющим вектором может быть вектор , так как , т. е. .

Пример 1.13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 0(1, 1) параллельно прямой 3Х + 2У – 8 = 0.

Решение . Вектор является вектором нормали к заданной и искомой прямым. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку M 0 с заданным вектором нормали 3(Х –1) + 2(У – 1) = 0 или 3Х + 2у – 5 = 0. Получили уравнение искомой прямой.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох

. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу

. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу

. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных

начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой, заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию

Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.

р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,

а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений

этой прямой.

Уравнение этой прямой в отрезках :

Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)

Уравнение прямой :

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,

параллельные осям или проходящие через начало координат.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми

будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,

если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема .

Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты

А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых

находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b

представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:

Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную

прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно

заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение точки пересечения двух прямых

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x 1 , y 1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k ,

y - y 1 = k (x - x 1). (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A (x 1 , y 1), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2), записывается так:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B . Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k 1 x + B 1 ,

В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.

Определение 1

Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .

Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.

Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 (x 1 , y 1) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .

По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .

Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = - 1 .

Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = (b x , b y) , отсюда нормальный вектор - n a → = (A 2 , B 2) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 (x 1 , y 1) , имеющее нормальный вектор n a → = (A 2 , B 2) , имеющее вид A 2 · (x - x 1) + B 2 · (y - y 1) = 0 .

Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = (A 1 , B 1) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = (a x , a y) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 (x 1 , y 1) с направляющим вектором a → = (a x , a y) , имеющее вид x - x 1 a x = y - y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.

После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен - 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 (x 1 , y 1) с угловым коэффициентом - 1 k b в виде y - y 1 = - 1 k b · (x - x 1) .

Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.

Решение примеров

Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.

Пример 1

Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 (7 , - 9) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x - 2 3 = y + 4 1 .

Решение

Из условия имеем, что b → = (3 , 1) является направляющим вектором прямой x - 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = (3 , 1) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 (7 , - 9) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = (3 , 1) .

Получим уравнение вида: 3 · (x - 7) + 1 · (y - (- 9)) = 0 ⇔ 3 x + y - 12 = 0

Полученное уравнение является искомым.

Ответ: 3 x + y - 12 = 0 .

Пример 2

Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x - y + 1 = 0 .

Решение

Имеем, что n b → = (2 , - 1) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = (2 , - 1) - координаты искомого направляющего вектора прямой.

Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = (2 , - 1) . Получим, что x - 0 2 = y + 0 - 1 ⇔ x 2 = y - 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x - y + 1 = 0 .

Ответ: x 2 = y - 1 .

Пример 3

Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 (5 , - 3) перпендикулярно прямой y = - 5 2 x + 6 .

Решение

Из уравнения y = - 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение - 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение - 1 - 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 (5 , - 3) перпендикулярно прямой y = - 5 2 x + 6 , равна y - (- 3) = 2 5 · x - 5 ⇔ y = 2 5 x - 5 .

Ответ: y = 2 5 x - 5 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Главная » Словарный запас » Записать уравнение прямой проходящей через точку a. Уравнение прямой, проходящей через две точки