Распределение по модулю скорости. Распределение максвелла

График функции (2.33) изображен на рисунке 2.5. Скорость, соответствующую максимуму кривой Максвелла, называют наивероятнейшей  в. Ее можно определить, используя условие максимума функции:

или

Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) мож­но найти по общему правилу [см. (2.20)]. Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до  (математические подробности опущены):

где М = т 0 N A - молярная масса газа, R = k N A - универсальная газовая постоянная, N A - число Авогадро.

При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и распределение молекулпо  видоизменяется (рис. 2.6; Т 1 < Т 2 ). Распределение Максвелла позволяет вычислить число моле­кул, скорости которых лежат в определенном интервале. Полу­чим соответствующую формулу.

Так как общее число N молекул в газе обычно велико, то веро­ятность dP может быть выражена как отношение числа dN моле­кул, скорости которых заключены в некотором интервале d  , к общему числу N молекул:

Из (2.34) и (2.37) следует, что

Формула (2.38) позволяет определить число молекул, скорости которых лежат в интервале от и: до i> 2 . Для этого нужно проинтег­рировать (2.38):

либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от  1 до  2 (рис. 2.7).

Если интервал скоростей d  достаточно мал, то число молекул, скорости которых соответствуют этому интервалу, может быть рассчитано приближенно по формуле (2.38) или графически как площадь прямоугольника с основаниемd  .

На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную како­му-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ: если совершенно точно задана скорость, то интер­вал скоростей равен нулю(d  = 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е. ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед задан­ной. Это соответствует одному из положений теории вероятнос­тей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.

Распределение молекул по скоростям подтверждено различны­ми опытами.

Распределение Максвелла можно рассматривать как распреде­ление молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

Распределение Больцмана. Если молекулы находятся в ка­ком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих не­которым определенным значением потенциальной энергии.

Распределение частиц по потенциальным энергиям в си­ ловых полях -гравитационном, электрическом и др. -называют распределением Больцмана.

Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п моле­кул от высотыh над уровнем Земли или от потенциальной энер­гии молекулы mgh :

Выражение (2.40) справедливо для частиц идеального газа. Графи­чески эта экспоненциальная зависимость изображена на рис. 2.8.

Такое распределение молекул в поле тяготения Земли можно ка­чественно, в рамках молекулярно-кинетических представлений, объяснить тем, что на молекулы оказывают влияние два противо­положных фактора: гравитационное поле, под действием которого все молекулы притягиваются к Земле, и молекулярно-хаотическоедвижение, стремящееся равномерно разбросать молекулы по всему возможному объему.

В заключение полезно заметить некоторое сходство экспонен­циальных членов в распределениях Максвелла и Больцмана:

В первом распределении в показателе степени отношение кине­тической энергии молекулы к kT , во втором - отношение потен­циальной энергии к kT .

Движение молекул газа подчиняется законам статистической фи-зики. В среднем скорости и энергии всех молекул одинаковы. Од-нако в каждый момент времени энергия и скорости отдельных молекул могут значительно отличаться от среднего значения.

С помощью теории вероятности Максвеллу удалось вывести формулу для относительной частоты, с которой в газе при данной температуре встречаются молекулы со скоростями в определенном интервале значений.

Закон распределения Максвелла определяет относительное число молекул dN/N, скорости которых лежат в интервале (u, u + du ).

Оно имеет вид:

где N - общее число молекул газа; - число молекул, скорости которых заключены в определенном интервале; u - нижняя граница интервала скоростей; d u - величина интервала скоростей; T - температура газа; e = 2,718… - основание натуральных логарифмов;

k = 1,38×10 -23 Дж/К - постоянная Больцмана; m 0 - масса молекулы.

При получении этой формулы Максвелл основывался на следующих предположениях:

1. Газ состоит из большого числа N одинаковых молекул.

2. Температура газа постоянна.

3. Молекулы газа совершают тепловое хаотическое движение.

4. На газ не действуют силовые поля.

Отметим , что под знаком экспоненты в формуле (8.29) стоит отношение кинетической энергии молекулы к величине kT , характеризующей среднее (по молекулам) значение этой энергии.

Распределение Максвелла показывает, какая доля dN/N общего числа молекул данного газа обладает скоростью в интервале от u до u + du.

График функций распределения (рис. 8.5) асимметричен . Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которую называют наиболее вероятной скоростью u m . Скорости, превышающие u m , встречаются чаще, чем меньшие скорости. С повышением температуры максимум распределения сдвигается в направлении больших скоростей.

Одновременно кривая становится более плоской (площадь, заключенная под кривой, не может измениться, так как число молекул N остается постоянным).

Рис. 8.5

Для определения наиболее вероятной скорости нужно исследовать на максимум функцию распределения Максвелла (приравнять первую производную к нулю и решить относительно u). В результате получаем:

.

Мы опустили множители, не зависящие от u. Осуществив дифференцирование, придем к уравнению:

.

Первый сомножитель (экспонента) обращается в нуль при u = ¥, а третий сомножитель (u) при u = 0. Однако из графика (рис. 8.5) видно, что значения u = 0 и u = ¥ соответствуют минимумам функции (8.29). Следовательно, значение u , отвечающее максимуму, получается из равенства нулю второй скобки: . Отсюда

. (8.30)

Введем обозначения для функции распределения молекул по скоростям (8.29):

. (8.31)

Известно, что среднее значение некоторой физической величины j(x ) можно вычислить по формуле:

При столкновении молекулы газа изменяют свои скорости. Изменение скорости молекул происходит случайным образом. Нельзя заранее предсказать, какой численно скоростью будет обладать данная молекула: эта скорость случайна.

Распределение молекул по модулям скоростей описывают с помощью функции распределения f(v):

где отношение — равно доле молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv. dv - ширина интервала (рис. 2).

Рис. 2. Интервал скоростей

Зная вид f(v), можно найти число молекул ΔN V из числа данных молекул N, скорости которых попадают внутрь интервала скоростей от v до v + Δv . Отношение

(14)

дает вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение в пределах данного интервала скоростей dv.

Функция f(v) должна удовлетворять условию нормировки, то есть должно выполняться условие:

(15)

Левая часть выражения (17.3) дает вероятность того, что молекула обладает скоростью в интервале от 0 до ∞. Поскольку скорость молекулы обязательно имеет какое-то значение, то указанная вероятность есть вероятность достоверного события и, следовательно, равна 1.

Функция распределения была найдена теоретически Максвеллом. Она имеет следующий вид:

(16)

где т 0 - масса молекулы.

Выражение (16) называется функцией распределения Максвелла.

Из (16) следует, что вид распределения молекул по скоростям зависит от природы газа (массы молекулы) и температуры Т. Давление и объем на распределение молекул по скоростям не влияют.

Рис.3. График функции распределения Максвелла

Схематичный график функции распределения Максвелла дан на рис. 3. Проведем анализ графика.

1. При скоростях стремящихся к нулю (v - >0) и к бесконечности (v -> ∞ ) функция распределения также стремится к нулю. Это означает, что очень большие и очень маленькие скорости молекул маловероятны.

2. Скорость v B , отвечающая максимуму функции распределения, будет наиболее вероятной. Это означает, что основная часть молекул обладает скоростями близкими к вероятной.

Можно получить формулу для расчета наиболее вероятной скорости:

(17)

где k — постоянная Больцмана ; т 0 - масса молекулы.

3. В соответствии с условием нормировки (15) площадь, ограниченная кривой f(v) и осью абсцисс равна единице.

4. Кривая распределения имеет асимметричный характер. Это означает, что доля молекул, имеющих скорости больше наиболее вероятной, больше доли молекул, имеющих скорости меньше наиболее вероятной.

5. Вид кривой зависит от температуры и природы газа. На рис. 4 приведена функция распределения для одного и того же газа, находящегося при разных температурах. При нагревании максимум кривой понижается и смещается вправо, так как доля «быстрых» молекул возрастает, а доля «медленных» - уменьшается. Площадь под обеими кривыми остается постоянной и равной единице.

Установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесном состоянии. Закон Максвелла — статистический, применять его можно только к большому числу частиц

Рис. 4. Распределения Максвелла при разных температурах

Пользуясь функцией распределения Максвелла f(v) , можно найти ряд средних величин, характеризующих состояние молекул.

Средняя арифметическая скорость - сумма скоростей всех молекул, деленная на число молекул:

. (18)

Средняя квадратичная скорость, определяющая среднюю кинетическую энергию молекул (см. формулу (10)), по определению равна

<v КВ > = (19)

Так как в состоянии равновесия давление во всех частях системы одинаково, то естественно допустить, что в газе отсутствуют какие-либо направленные движения молекул, то есть движения молекул предельно неупорядочены.

В отношении скоростей молекулы это означает:

Скорость молекул и ее проекции являются непрерывными величинами, так как ни одно значение скорости не имеет преимущества перед другими значениями;

При тепловом равновесии в газе все направления скоростей молекул равновероятны. В противном случае это привело бы к образованию направленных макроскопических потоков молекул и возникновению перепадов давления.

Так как скорость и ее проекции являются непрерывными величинами, вводится понятие функции плотности распределения f(v x), f(v y), f(v z) по компонентам скоростей молекул (v x , v y , v z) и по модулю скорости f(v)

Выражения для функций плотности вероятности по компонентам скоростей v x , v y , v z имеют вид

;

.

График функции f(v x)изображен на рис. 1.

Функция имеет максимум при v x = 0, симметрична относительно его и экспоненциально стремится к нулю при v x ® ± ¥. Отложим по оси абсцисс элементарные скоростные интервалы dv x около значений v x , равных 0; ± v x ¢; ± v x ¢¢. Произведение f(v x) dv x равно доле молекул, компонента скорости v x которых лежит в интервале около указанных значений. С другой стороны, произведение f(v x) dv x на графике равно заштрихованным площадкам около выбранных скоростей.

Из сопоставления размеров заштрихованных площадей следует:

Относительное большинство молекул имеет проекцию скорости вдоль оси v x , близкую к нулю;

Доли молекул, имеющих одинаковые значения v x , но летящие в противоположных направлениях (разные знаки +v x и -v x), одинаковы;

Число молекул, имеющих большие значения компонент скоростей, мало (мала площадь около ± v x ¢¢).

Аналогичный анализ можно провести и для f(v y), f(v z).

График функции f(v) изображен на рис. 2.

Функция равна 0 при v = 0; стремится к нулю при v ® ¥, при v = v b имеет максимум. Значение скорости v b , при которой функция плотности распределения достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Ее значение находится из условия экстремума.

.

Произведение f(v) dv дает долю молекул, скорости которых лежат в выбранном интервале dv. На графике это произведение равно заштрихованным площадкам. Как видно из графика, максимальная площадка соответствует скорости v b . С увеличением скорости доля молекул, обладающих большими скоростями, уменьшается (малая площадь при v 3). Зная аналитический вид f(v), можно найти

;

.

Распределение молекул по скоростям зависит от температуры.

Закон Максвелла распределения молекул газа по скоростям описывает поведение очень большого числа частиц, то есть является статистическим законом. Распределение молекул по скоростям устанавливается посредством их столкновений. При столкновениях изменяются скорости отдельных молекул, но закон распределения по скоростям не изменяется.

Характерными параметрами распределения Максвелла являются наиболее вероятная скорость υ в, соответствующая максимуму кривой распределения, и среднеквадратичная скорость где – среднее значение квадрата скорости.

Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы.:

1. 57. Молекулярно-кинетический смысл температуры. Энергия и скорость теплового движения молекул.
2. Механическое движение Относительность движения, Система отсчета, Материальная точка, Траектория. Путь и перемещение. Мгновенная скорость. Ускорение. Равномерное и равноускоренное движение

Главная » Части речи » Распределение по модулю скорости. Распределение максвелла