Примечание . В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен .

Задача

.
Решение .
Сначала достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника.

• Сумма углов треугольника равна 180 градусам
• Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам
• Диагонали прямоугольника равны

Поскольку угол CAB = 20°, то угол ABC = 180 - 90 - 20 = 70°

Треугольник COA - равнобедренный, так как его стороны - это половины диагоналей прямоугольника. Откуда ∠OCA = ∠OAC = 20º

Поскольку треугольник BKC - прямоугольный, то угол BCK = 180 - 90 - 70 = 20°

Поскольку угол BCA - прямой, то его градусная мера равна сумме градусных мер углов BCK, KCO и OCA. Откуда:
20° + 20° + ∠KCO = 90°
∠KCO = 50°

Ответ : Угол между медианой и биссектрисой заданного прямоугольного треугольника равен 50 градусов.

Медианы прямоугольного треугольника

Примечание . В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача . Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно, 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение

Обозначим длины катетов AC и BC как 2x и 2y. Тогда, по теореме Пифагора
AC 2 + CD 2 = AD 2

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4x 2 + y 2 = 9

Одновременно,
EC 2 + BC 2 = BE 2

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x 2 + 4y 2 = 16

Решим полученную систему уравнений.
Сложим оба уравнения.
5x 2 + 5y 2 = 25
5(x 2 + y 2) = 25
x 2 + y 2 = 5

По теореме Пифагора
AC 2 + BC 2 = AB 2
то есть
4x 2 + 4y 2 = AB 2
4 (x 2 + y 2) = AB 2
подставим значения x 2 + y 2 = 5
AB 2 = 20
AB = √20 = 2√5

Ответ : длина гипотенузы равна 2√5

Подобие треугольников

В этой главе представлены решения задач по геометрии на тему "подобие треугольников".

Треугольники имеют три признака подобия.

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Комментарий . Соответственно, поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то и про третий угол каждого из этих треугольников можно сказать то же самое .

Примечание . В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен .

Задача. Найти угол между высотой и медианой прямоугольного треугольника

Сначала достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника.

В результате дополнительного построения катеты прямоугольного треугольника одновременно являются сторонами прямоугольника, а гипотенуза - его диагональю.

• Сумма углов треугольника равна 180 градусам
• Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам
• Диагонали прямоугольника равны

Величина одного из углов треугольника задана в условии задачи. Поскольку треугольник по условию прямоугольный, то мы можем найти величину третьего угла, зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Поскольку угол CAB = 20°, то угол ABC = 180 - 90 - 20 = 70°
Таким образом, мы нашли градусную меру угла B в треугольнике ABC

Рассмотрим треугольник COA. Он равнобедренный, так как его стороны - это половины диагоналей прямоугольника. Это следует из свойств прямоугольника. Так как диагонали прямоугольника равны, а в точке пересечения они делятся пополам, то половины равных отрезков будут также между собой равны. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то:
∠OCA = ∠OAC = 20º

Рассмотрим треугольник BKC. CK является высотой треугольника ABC, проведенной к гипотенузе. Значит угол BKC - прямой, то есть равен 90 градусам, а сам треугольник BKC - прямоугольный. Поскольку треугольник BKC - прямоугольный, то угол BCK = 180 - 90 - 70 = 20°. (Это следует из того, что сумма углов треугольника 180 градусов, угол BKC - прямой, а величину угла B мы нашли ранее)

Поскольку угол BCA - прямой, то его градусная мера равна 90 градусов и, одновременно, равна сумме градусных мер составляющих его углов: BCK, KCO и OCA.
Величину угла BCK мы только что нашли, она составляет 20 градусов, величину угла OCA мы также нашли ранее и она тоже составляет 20 градусов.
Откуда:
20° + 20° + ∠KCO = 90°
∠KCO = 50°

Ответ : Угол между медианой и биссектрисой заданного прямоугольного треугольника равен 50 градусов.

Речь пойдёт о задачах на решение прямоугольного треугольника. Эти задания не связаны с нахождением сторон, синуса, косинуса, тангенса или котангенса углов, такие мы .

Сначала основная теория о треугольниках для тех, кто её подзабыл, и для всех, кто хочет повторить 😉

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным . Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (рисунок 1).

Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным (рисунок 2).

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным (рисунок 3).

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рисунок 4).

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (рисунок 5).

Разносторонним называется треугольник, у которого длины трёх сторон попарно различны (рисунок 6).

Медиана треугольника

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения делит каждую медиану в отношении 1:2 считая от основания медианы (этот факт следует помнить).

Высота треуголька

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

Биссектриса треугольника

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Вспомним ещё одну теорему.

Теорема : сумма углов треугольника равна 180 градусам

Выводы:

— если нам будут известны любые два угла в треугольнике, то мы всегда сможем найти третий угол.

— в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам.

О следующем свойстве нужно сказать отдельно. Только с его помощью можно будетбыстро решить задачи, где речь идёт о медиане в прямоугольном треугольнике. Сначала сам факт:

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из

прямого угла к гипотенузе равна её половине

ОВ = 0,5АС АО = ОС = ОВ

То есть, треугольники АОВ и ВОС являются равнобедренными, и углы при их основаниях равны. Эти выводы (об углах) при решении ряда задач крайне необходимы.

Небольшое пояснение. Почему всё-таки медиана в данном случае равна половине гипотенузы? Здесь стоит вспомнить информацию о том, что любой треугольник построенный на диаметре окружности, вершина которого принадлежит этой окружности является прямоугольным, об этом подробно говорилось .

Посмотрите: АО, ОС и ОВ – это радиусы, они у окружности равны. И, конечно же, ОВ будет равно половине АС. Поэтому-то медиана в любом прямоугольном треугольнике проведённая к гипотенузе будет равна её половине.

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Главная » Времена в английском языке » Найти острый угол между медианой и высотой. Задача