Действия с рациональными числами. Свойства действий с рациональными числами
Рисунок. Арифметические действия над рациональными числами.
Текст:
Правила при действиях с рациональными числами:
. при сложении чисел с одинаковыми знаками необходимо сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак;
. при сложении двух чисел с разными знаками из числа с большим модулем вычитают число с меньшим модулем и перед полученной разностью ставят знак числа, имеющего больший модуль;
. при вычитании одного числа из другого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - b = а + (-b)
. при умножении двух чисел с одинаковыми знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак плюс;
. при умножении двух чисел с разными знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак минус;
. при делении чисел с одинаковыми знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак плюс;
. при делении чисел с разными знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак минус;
. при делении и умножении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль:
. на нуль делить нельзя.
На этом уроке мы вспомним основные свойства действий с числами. Мы не только повторим основные свойства, но и научимся применять их к рациональным числам. Все полученные знания закрепим с помощью решения примеров.
Основные свойства действий с числами:
Первые два свойства - это свойства сложения, следующие два - умножения. Пятое свойство относится к обеим операциям.
Ничего нового в этих свойствах нет. Они были справедливы и для натуральных, и для целых чисел. Они также верны для рациональных чисел и будут верны для чисел, которые мы будем изучать дальше (например, иррациональных).
Перестановочные свойства:
От перестановки слагаемых или множителей результат не меняется.
Сочетательные свойства: , .
Сложение или умножение нескольких чисел можно делать в любом порядке.
Распределительное свойство: .
Свойство связывает обе операции - сложение и умножение. Также если его читать слева направо, то его называют правилом раскрытия скобок, а если в обратную сторону - правилом вынесения общего множителя за скобки.
Следующие два свойства описывают нейтральные элементы для сложения и умножения: прибавление нуля и умножение на единицу не меняют исходного числа.
Еще два свойства, которые описывают симметричные элементы для сложения и умножения, сумма противоположных чисел равна нулю; произведение обратных чисел равно единице.
Следующее свойство: . Если число умножить на ноль, в результате всегда будет ноль.
Последнее свойство, которое мы рассмотрим: .
Умножив число на , получаем противоположное число. У этого свойства есть особенность. Все остальные рассмотренные свойства нельзя было доказать, используя остальные. Это же свойство можно доказать, используя предыдущие.
Умножение на
Докажем, что если умножить число на , то получим противоположное число. Используем для этого распределительное свойство: .
Оно верно для любых чисел. Подставим вместо числа и :
Слева в скобках стоит сумма взаимно противоположных чисел. Их сумма равна нулю (у нас есть такое свойство). Слева теперь . Справа , получаем: 
.
Теперь слева у нас стоит ноль, а справа - сумма двух чисел. Но если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа взаимно противоположны. Но у числа только одно противоположное число: . Значит, - это и есть : .
Свойство доказано.
Такое свойство, которое можно доказать, используя предыдущие свойства, называют теоремой
Почему здесь нет свойств вычитания и деления? Например, можно было бы записать распределительное свойство для вычитания: .
Но так как:
- вычитание любого числа можно эквивалентно записать в виде сложения, заменив число на противоположное:
- деление можно записать в виде умножения на обратное число:
Значит, свойства сложения и умножения вполне можно применять для вычитания и деления. В итоге список свойства, которые необходимо запомнить, получается короче.
Все рассмотренные нами свойства не являются исключительно свойствами рациональных чисел. Всем этим правилам подчиняются и другие числа, например, иррациональные. Например, сумма и противоположного ему числа равна нулю: .
Теперь мы перейдем к практической части, решим несколько примеров.
Рациональные числа в жизни
Те свойства предметов, которые мы можем описать количественно, обозначить каким-нибудь числом, называются величинами : длина, вес, температура, количество.
Одну и ту же величину можно обозначить и целым, и дробным числом, положительным или отрицательным.
Например, ваш рост м - дробное число. Но ведь можно сказать, что он равен см - это уже целое число (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Еще один пример. Отрицательная температура по шкале Цельсия будет положительной по шкале Кельвина (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
При строительстве стены дома один человек может ширину и высоту измерить в метрах. У него получаются дробные величины. Все вычисления дальше он будет проводить с дробными (рациональными) числами. Другой человек может все измерить в количестве кирпичей в ширину и высоту. Получив только целые значения, он и вычисления будет проводить с целыми числами.
Сами величины не бывают ни целыми, ни дробными, ни отрицательными, ни положительными. Но число, которым мы описываем значение величины, уже является вполне конкретным (например, отрицательным и дробным). Это зависит от шкалы измерений. И когда мы от реальных величин переходим к математической модели, то работаем с конкретным типом чисел
Начнем со сложения. Слагаемые можно переставлять так, как нам удобно, и действия выполнять можно в любом порядке. Если слагаемые разных знаков оканчиваются на одну цифру, то удобно сначала выполнять действия с ними. Для этого поменяем слагаемые местами. Например:
Обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями легко складываются.
Противоположные числа в сумме дают ноль. Числа с одинаковыми десятичными «хвостами» легко вычитаются. Используя эти свойства, а также переместительный закон сложения, можно облегчить вычисление значения, например, следующего выражения:
Числа с дополняющими друга десятичными «хвостами» легко складываются. С целыми и дробными частями смешанных чисел удобно работать по отдельности. Используем эти свойства при вычислении значения следующего выражения:
Перейдем к умножению. Есть пары чисел, которые легко перемножить. Используя переместительное свойство, можно переставить множители так, чтобы они оказались рядом. Количество минусов в произведении можно посчитать сразу и сделать вывод о знаке результата.
Рассмотрим такой пример:
Если из сомножителей равен нулю, то произведение равно нулю, например: .
Произведение обратных чисел равно единице, а умножение на единицу не меняет значение произведения. Рассмотрим такой пример:
Рассмотрим пример с использованием распределительного свойства. Если раскрыть скобки, то каждое умножение выполняется легко.
Понятие о числах относится к абстракциям, характеризующим объект с количественной точки зрения. Еще в первобытном обществе у людей возникла потребность в счете предметов, поэтому появились численные обозначения. В дальнейшем они стали основой математики как науки.
Чтобы оперировать математическими понятиями, необходимо, прежде всего, представлять, какие же бывают числа. Основных видов чисел несколько. Это:
1. Натуральные - те, которые мы получаем при нумерации предметов (их естественном счете). Их множество обозначают N.
2. Целые (их множество обозначается буквой Z). Сюда относятся натуральные, противоположные им целые отрицательные числа и нуль.
3. Рациональные числа (буква Q). Это те, которые возможно представить в виде дроби, числитель которой равняется целому числу, а знаменатель - натуральному. Все целые и относятся к рациональным.
4. Действительные (их обозначают буквой R). Они включают в себя рациональные и иррациональные числа. Иррациональными называются числа, полученные из рациональных путем различных операций (вычисление логарифма, извлечение корня), сами не являющиеся рациональными.
Таким образом, любое из перечисленных множеств является подмножеством нижеперечисленного. Иллюстрацией данного тезиса служит диаграмма в виде т. н. кругов Эйлера. Рисунок представляет собой несколько концентрических овалов, каждый из которых расположен внутри другого. Внутренний, самый малый по размеру овал (область) обозначает множество натуральных чисел. Его полностью охватывает и включает в себя область, символизирующая множество целых чисел, которая, в свою очередь, заключена внутри области рациональных чисел. Внешний, самый большой овал, включающий в себя все остальные, обозначает массив
В данной статье мы рассмотрим множество рациональных чисел, их свойства и особенности. Как уже упоминалось, к ним принадлежат все существующие числа (положительные, а также отрицательные и нуль). Рациональные числа составляют бесконечный ряд, имеющий следующие свойства:
Данное множество упорядочено, то есть, взяв любую пару чисел из этого ряда, мы всегда можем узнать, какое из них больше;
Взяв любую пару таких чисел, мы всегда можем поместить между ними как минимум еще одно, а, следовательно, и целый ряд таковых - таким образом, рациональные числа представляют собой бесконечный ряд;
Все четыре арифметических действия над такими числами возможны, результатом их всегда является определенное число (также рациональное); исключение составляет деление на 0 (нуль) - оно невозможно;
Любые рациональные числа могут быть представлены в виде десятичных дробей. Эти дроби могут быть либо конечными, либо бесконечными периодическими.
Чтобы сравнить два числа, относящихся к множеству рациональных, необходимо помнить:
Любое положительное число больше нуля;
Любое отрицательное число всегда меньше нуля;
При сравнении двух отрицательных рациональных чисел больше то из них, чья абсолютная величина (модуль) меньше.
Как производятся действия с рациональными числами?
Чтобы сложить два таких числа, имеющих одинаковый знак, нужно сложить их абсолютные величины и поставить перед суммой общий знак. Для сложения чисел с разными знаками следует из большего значения вычесть меньшее и поставить знак того из них, чье абсолютное значение больше.
Для вычитания одного рационального числа из другого достаточно к первому числу прибавить противоположное второму. Для умножения двух чисел нужно перемножить значения их абсолютных величин. Полученный результат будет положительным, если сомножители имеют один и тот же знак, и отрицательным, если разные.
Деление производится аналогично, то есть находится частное абсолютных величин, а перед результатом ставится знак «+» в случае совпадения знаков делимого и делителя и знак «-» в случае их несовпадения.
Степени рациональных чисел выглядят как произведения нескольких сомножителей, равных между собой.
Бадамшинская средняя школа №2
Методическая разработка
по математике
в 6 классе
«Действия с рациональными числами»
подготовила
учитель математики
Бабенко Лариса Григорьевна
с. Бадамша
2014
Тема урока: « Действия с рациональными числами ».
Тип урока :
Урок обобщения и систематизации знаний.
Цели урока:
образовательные:
Обобщить и систематизировать знания учащихся о правилах действий над положительными и отрицательными числами;
Закрепить умение применять правила в процессе выполнения упражнений;
Формировать навыки самостоятельной работы;
развивающие:
Развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки; - развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач; - расширение кругозора;
воспитывающие:
Воспитание познавательного интереса к предмету.
Оборудование:
Листы с текстами задач, заданий для каждого ученика;
Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/
Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С. И. Щварцбурд. – М., 2010.
План урока:
Организационный момент.
Работа устно
Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.
Решение заданий по учебнику
Выполнение теста
Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания
Рефлексия
Ход урока
Организационный момент.
Приветствие учителя и учащихся.
Сообщение темы урока, плана работы на уроке.
Сегодня у нас необычный урок. На этом уроке мы вспомним все правила действий с рациональными числами и умения выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Девизом нашего урока будет китайская притча:
«Скажи мне - и я забуду;
Покажи мне – и я запомню;
Дай сделать – и я пойму»
Я хочу вас пригласить в путешествие.
Среди пространства, где ясно виден восход солнца, тянулась узкая, необитаемая страна – числовая прямая. Неведомо где она начиналась и неведомо где она заканчивалась. И первыми, кто заселил эту страну, были натуральные числа. Какие числа называются натуральными и как они обозначаются?
Ответ:
Числа 1, 2, 3, 4,…..использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными ( N ).
Устный счет
88-19 72:8 200-60
Ответы: 134; 61; 2180.
Их было бесконечно много, но и страна была хоть и небольшой в ширину, зато бесконечной в длину, так что поместились все от единицы до бесконечности и образовали первое государство множество натуральных чисел.
Работа над задачей.
Страна была необычайно красивой. Великолепные сады располагались на всей ее территории. Это вишневые, яблочные, персиковые. В один из которых мы сейчас заглянем.
На вишне каждые три дня становится на 20 процентов больше спелых вишенок. Сколько спелых плодов будет на этой вишне через 9 дней, если в начале наблюдения на ней было 250 спелых вишенок?
Ответ: 432 спелых плода будет на этой вишне через 9 дней(300;360;432).
На территории первого государства стали поселяться какие то новые числа и эти числа, вместе с натуральными, образовали новое государство, узнаем какое, решив задание.
На столах у учеников два листа:
1. Вычислите:
1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4х(-15)
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6х1/3
1)-12х(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)
Задание: соедините последовательно не отрывая руки все натуральные числа и назовите получившуюся букву.
Ответы к тесту:
5 68 15 60
72 6 20 16
Вопрос: Что означает этот символ? Какие числа называются целыми?
Ответы:1) Слева, от территории первого государства поселилось число 0, левее его -1, еще левее -2 и т.д. до бесконечности. Эти числа образовали вместе с натуральными числами новое расширенное государство множество целых чисел.
2) Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами ( Z ).
Повторение изученного .
1) Следующая страничка нашей сказки заколдована. Расколдуем ее, исправляя ошибки.
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
Ответы:
-27 · 4 27 0 · (-27) = 0
-50 · 8 4 -36: 6
2) Продолжаем слушать сказку.
На свободных местах числовой прямой к ним подселялись дроби 2/5; −4/5; 3,6; −2,2;… Дроби вместе с первопоселенцами образовали очередное расширенное государство множество рациональных чисел. (Q )
1)Какие числа называются рациональными?
2)Является ли любое целое число, десятичная дробь рациональным числом?
3)Покажите, что любое целое число, любая десятичная дробь является рациональным числом.
Задание на доске: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
Ответы:
1)Число, которое можно записать в виде отношения , где а – целое число, а п – натуральное число, называют рациональным числом .
2) Да.
3) .
Вам известны теперь целые и дробные, положительные и отрицательные числа, да ещё – число нуль. Все эти числа называют рациональными , что в переводе на русский язык значит «подвластные уму».
Рациональные числа
положительные нуль отрицательные
целые дробные целые дробные
Чтобы в дальнейшем успешно учиться математике (и не только математике), надо хорошо знать правила арифметических действий с рациональными числами, в том числе и правила знаков. А они такие разные! Запутаться недолго.
Физкультминутка.
Динамическая пауза.
Учитель: Любая работа требует перерыва. Отдохнем!
Выполним восстановительные упражнения:
1)Раз, два, три, четыре, пять -
Раз! Подняться, подтянуться,
Два! Согнуться, разогнуться,
Три! В ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
На четыре - руки шире.
Пять - руками помахать. Шесть - за парту тихо сесть.
(Дети выполняют движения за учителем по содержанию текста.)
2) Быстро поморгайте, закройте глаза и посидите так, считая до пяти. Повторите 5 раз.
3) Крепко зажмурьте глаза, досчитайте до трех, откройте их и посмотрите вдаль, считая до пяти. Повторите 5 раз.
Историческая страничка.
В жизни, как и в сказке, люди « открывали» рациональные числа постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Сначала возникли только числа 1 и 2. Слова «солист», «солнце», «солидарность» происходят от латинского «солюс» (один). Во многих племенах не было других числительных. Вместо «3» они говорили «один-два», вместо «4»- «два-два». И так до шести. А затем шло «много». С дробями люди столкнулись при разделе добычи, при измерении величин. Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввел в 1585 году голландский математик.
Работа над уравнениями
Фамилию математика узнаете, решив уравнения, и по координатной прямой найдя букву соответствующую данной координате.
1) -2,5 + х = 3,5 2) -0,3 · х = 0,6 3) у – 3,4= -7,4
4) – 0,8: х = -0,4 5)а · (-8) =0 6) m + (- )=
Е А Т М И О В Р Н У С
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Ответы:
6 (С) 4)2 (В)
-2 (Т) 5) 0 (И)
-4(Е) 6)4 (Н)
СТЕВИН – голландский математик и инженер (Симон Стевин)
Историческая страничка.
Учитель:
Не зная прошлого в развитии науки, нельзя понять её настоящее. Выполнять действия с отрицательными числами люди научились еще до нашей эры. Индийские математики представляли себе положительные числа как «имущества», а отрицательные числа как «долги». Вот как индийский математик Брахмагупта (VII в.) излагал некоторые правила выполнения действий с положительными и отрицательными числами:
«Сумма двух имуществ есть имущество»,
«Сумма двух долгов есть долг»,
«Сумма имущества и долга равна их разности»,
«Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество», «Произведение имущества и долга есть долг».
Ребята, переведите, пожалуйста, древнеиндийские правила на современный язык.
Сообщение учителя:
Как нет на свете без солнца тепла,
Без снега зимы и без листьев цветов,
Так нет в математике действий без знаков!
Ребятам предлагается отгадать, какой знак действия пропущен.
Задание. Вставьте пропущенный знак.
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
Ответы: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :
Самостоятельная работа (на листе записывают ответы к заданиям):
Сравнить числа
найти их модули
сравнить с нулем
найти их сумму
найти их разность
найти произведение
найти частное
написать числа, противоположные им
найти расстояние между этими числами
10) сколько целых чисел расположено между ними
11) найти сумму всех целых чисел, расположенных между ними.
Критерии оценок: решено все верно – «5»
1-2 ошибки - «4»
3-4 ошибки - «3»
более 4 ошибок - «2»
Индивидуальная работа по карточкам (дополнительно).
Карточка 1. Решите уравнение: 8,4 – (х – 3,6)=18
Карточка 2. Решите уравнение: -0,2х · (-4) = -0,8
Карточка 3. Решите уравнение: =
Ответы к карточкам :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
Игра «Экзамен» .
Жители страны жили весело, играли в игры, решали задачи, уравнения и предлагают нам поиграть с целью подведения итогов.
Учащиеся подходят к доске берут карточку и отвечают на вопрос, записанный с обратной стороны.
Вопросы:
1. Какое из двух отрицательных чисел считают большим?
2.Сформулируйте правило деления отрицательных чисел.
3.Сформулируйте правило умножения отрицательных чисел.
4. Сформулируйте правило умножения чисел, имеющих разные знаки.
5. Сформулируйте правило деления чисел, имеющих разные знаки.
6.Сформулируйте правило сложения отрицательных чисел.
7. Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками.
8.Как найти длину отрезка на координатной прямой?
9.Какие числа называются целыми?
10. Какие числа называются рациональными?
Подведение итогов.
Учитель: Сегодня домашнее задание будет творческим:
Подготовить сообщение «Положительные и отрицательные числа вокруг нас» или сочинить сказку.
« Спасибо за урок!!!»
