Уравнение. Что такое уравнение и в чем его смысл? Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак
Получив общее представление о равенствах , и познакомившись с одним из их видов - числовыми равенствами , можно начать разговор еще об одном очень важном с практической точки зрения виде равенств - об уравнениях. В этой статье мы разберем, что такое уравнение , и что называют корнем уравнения. Здесь мы дадим соответствующие определения, а также приведем разнообразные примеры уравнений и их корней.
Навигация по странице.
Что такое уравнение?
Целенаправленное знакомство с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе. В это время дается следующее определение уравнения :
Определение.
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.
Неизвестные числа в уравнениях принято обозначать с помощью маленьких латинских букв, например, p , t , u и т.п., но наиболее часто используются буквы x , y и z .
Таким образом, уравнение определяется с позиции формы записи. Иными словами, равенство является уравнением, когда подчиняется указанным правилам записи – содержит букву, значение которой нужно найти.
Приведем примеры самых первых и самых простых уравнений. Начнем с уравнений вида x=8 , y=3 и т.п. Чуть сложнее выглядят уравнения, содержащие вместе с числами и буквами знаки арифметических действий, например, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .
Разнообразие уравнений растет после знакомства со – начинают появляться уравнения со скобками, например, 2·(x−1)=18 и x+3·(x+2·(x−2))=3 . Неизвестная буква в уравнении может присутствовать несколько раз, к примеру, x+3+3·x−2−x=9 , также буквы могут быть в левой части уравнения, в его правой части, или в обеих частях уравнения, например, x·(3+1)−4=8 , 7−3=z+1 или 3·x−4=2·(x+12) .
Дальше после изучения натуральных чисел происходит знакомство с целыми, рациональными, действительными числами, изучаются новые математические объекты: степени, корни, логарифмы и т.д., при этом появляются все новые и новые виды уравнений, содержащие эти вещи. Их примеры можно посмотреть в статье основные виды уравнений , изучающиеся в школе.
В 7 классе наряду с буквами, под которыми подразумевают некоторые конкретные числа, начинают рассматривать буквы, которые могут принимать различные значения, их называют переменными (смотрите статью ). При этом в определение уравнения внедряется слово «переменная», и оно становится таким:
Определение.
Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, уравнение x+3=6·x+7 – уравнение с переменной x , а 3·z−1+z=0 – уравнение с переменной z .
На уроках алгебры в том же 7 классе происходит встреча с уравнениями, содержащими в своей записи не одну, а две различные неизвестные переменные. Их называют уравнениями с двумя переменными. В дальнейшем допускают присутствие в записи уравнений трех и большего количества переменных.
Определение.
Уравнения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными – это уравнения, содержащие в своей записи одну, две, три, … неизвестные переменные соответственно.
Например, уравнение 3,2·x+0,5=1 – это уравнение с одной переменной x , в свою очередь уравнение вида x−y=3 – это уравнение с двумя переменными x и y . И еще один пример: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27 . Понятно, что такое уравнение – это уравнение с тремя неизвестными переменными x , y и z .
Что такое корень уравнения?
С определением уравнения непосредственно связано определение корня этого уравнения. Проведем некоторые рассуждения, которые нам помогут понять, что такое корень уравнения.
Допустим, перед нами находится уравнение с одной буквой (переменной). Если вместо буквы, входящей в запись этого уравнения, подставить некоторое число, то уравнение обратиться в числовое равенство. Причем, полученное равенство может быть как верным, так и неверным. Например, если вместо буквы a в уравнение a+1=5 подставить число 2 , то получится неверное числовое равенство 2+1=5 . Если же мы в это уравнение подставим вместо a число 4 , то получится верное равенство 4+1=5 .
На практике в подавляющем большинстве случаев интерес представляют такие значения переменной, подстановка которых в уравнение дает верное равенство, эти значения называют корнями или решениями данного уравнения.
Определение.
Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
Отметим, что корень уравнения с одной переменной также называют решением уравнения. Другими словами, решение уравнения и корень уравнения – это одно и то же.
Поясним это определение на примере. Для этого вернемся к записанному выше уравнению a+1=5 . Согласно озвученному определению корня уравнения, число 4 есть корень этого уравнения, так как при подстановке этого числа вместо буквы a получаем верное равенство 4+1=5 , а число 2 не является его корнем, так как ему отвечает неверное равенство вида 2+1=5 .
На этот момент возникает ряд естественных вопросов: «Любое ли уравнение имеет корень, и сколько корней имеет заданное уравнение»? Ответим на них.
Существуют как уравнения, имеющие корни, так и уравнения, не имеющие корней. Например, уравнение x+1=5 имеет корень 4 , а уравнение 0·x=5 не имеет корней, так как какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо переменной x , мы получим неверное равенство 0=5 .
Что касается числа корней уравнения, то существуют как уравнения, имеющие некоторое конечное число корней (один, два, три и т.д.), так и уравнения, имеющие бесконечно много корней. Например, уравнение x−2=4 имеет единственный корень 6 , корнями уравнения x 2 =9 являются два числа −3 и 3 , уравнение x·(x−1)·(x−2)=0 имеет три корня 0 , 1 и 2 , а решением уравнения x=x является любое число, то есть, оно имеет бесконечное множество корней.
Пару слов стоит сказать о принятой записи корней уравнения. Если уравнение не имеет корней, то обычно так и пишут «уравнение не имеет корней», или применяют знак пустого множества ∅. Если уравнение имеет корни, то их записывают через запятую, или записывают как элементы множества в фигурных скобках. Например, если корнями уравнения являются числа −1 , 2 и 4 , то пишут −1 , 2 , 4 или {−1, 2, 4} . Допустимо также записывать корни уравнения в виде простейших равенств. Например, если в уравнение входит буква x , и корнями этого уравнения являются числа 3 и 5 , то можно записать x=3 , x=5 , также переменной часто добавляют нижние индексы x 1 =3 , x 2 =5 , как бы указывая номера корней уравнения. Бесконечное множество корней уравнения обычно записывают в виде , также при возможности используют обозначения множеств натуральных чисел N , целых чисел Z , действительных чисел R . Например, если корнем уравнения с переменной x является любое целое число, то пишут , а если корнями уравнения с переменной y является любое действительное число от 1 до 9 включительно, то записывают .
Для уравнений с двумя, тремя и большим количеством переменных, как правило, не применяют термин «корень уравнения», в этих случаях говорят «решение уравнения». Что же называют решением уравнений с несколькими переменными? Дадим соответствующее определение.
Определение.
Решением уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными называют пару, тройку и т.д. значений переменных, обращающую это уравнение в верное числовое равенство.
Покажем поясняющие примеры. Рассмотрим уравнение с двумя переменными x+y=7 . Подставим в него вместо x число 1 , а вместо y число 2 , при этом имеем равенство 1+2=7 . Очевидно, оно неверное, поэтому, пара значений x=1 , y=2 не является решением записанного уравнения. Если же взять пару значений x=4 , y=3 , то после подстановки в уравнение мы придем к верному равенству 4+3=7 , следовательно, эта пара значений переменных по определению является решением уравнения x+y=7 .
Уравнения с несколькими переменными, как и уравнения с одной переменной, могут не иметь корней, могут иметь конечное число корней, а могут иметь и бесконечно много корней.
Пары, тройки, четверки и т.д. значений переменных часто записывают кратко, перечисляя их значения через запятую в круглых скобках. При этом записанные числа в скобках соответствуют переменным в алфавитном порядке. Поясним этот момент, вернувшись к предыдущему уравнению x+y=7 . Решение этого уравнения x=4 , y=3 кратко можно записать как (4, 3) .
Наибольшее внимание в школьном курсе математики, алгебры и начал анализа уделяется нахождению корней уравнений с одной переменной. Правила этого процесса мы очень подробно разберем в статье решение уравнений .
Список литературы.
- Математика . 2 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.] - 3-е изд. - М.: Просведение, 2012. - 96 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
В курсе школьной математики, ребенок впервые слышит термин "уравнение". Что такое это, попробуем разобраться вместе. В данной статье рассмотрим виды и способы решения.
Математика. Уравнения
Для начала предлагаем разобраться с самим понятием, что это такое? Как гласят многие учебники математики, уравнение - это некоторые выражения, между которыми стоит обязательно знак равенства. В этих выражениях присутствуют буквы, так называемые переменные, значение которых и необходимо найти.
Это атрибут системы, который меняет свое значение. Наглядным примером переменных являются:
- температура воздуха;
- рост ребенка;
- вес и так далее.
В математике они обозначаются буквами, например, х, а, b, с... Обычно задание по математике звучит следующим образом: найдите значение уравнения. Это значит, что необходимо найти значение данных переменных.
Разновидности
Уравнение (что такое, мы разобрали в предыдущем пункте) может быть следующего вида:
- линейные;
- квадратные;
- кубические;
- алгебраические;
- трансцендентные.
Для более подробного знакомства со всеми видами, рассмотрим каждый в отдельности.
Линейное уравнение
Это первый вид, с которым знакомятся школьники. Они решаются довольно-таки быстро и просто. Итак, линейное уравнение, что такое? Это выражение вида: ах=с. Так не особо понятно, поэтому приведем несколько примеров: 2х=26; 5х=40; 1,2х=6.
Разберем примеры уравнений. Для этого нам необходимо все известные данные собрать с одной стороны, а неизвестные в другой: х=26/2; х=40/5; х=6/1,2. Здесь использовались элементарные правила математики: а*с=е, из этого с=е/а; а=е/с. Для того чтобы завершить решение уравнения, выполним одно действие (в нашем случае деление) х=13; х=8; х=5. Это были примеры на умножение, теперь просмотрим на вычитание и сложение: х+3=9; 10х-5=15. Известные данные переносим в одну сторону: х=9-3; х=20/10. Выполняем последнее действие: х=6; х=2.
Также возможны варианты линейных уравнений, где используется более одной переменной: 2х-2у=4. Для того чтобы решить, необходимо к каждой части прибавить 2у, у нас получается 2х-2у+2у=4-2у, как мы заметили, по левую часть знака равенства -2у и +2у сокращаются, при этом у нас остается: 2х=4-2у. Последним шагом делим каждую часть на два, получаем ответ: икс равен два минус игрек.
Задачи с уравнениями встречаются даже на папирусах Ахмеса. Вот одна из задач: число и четвертая его часть дают в сумме 15. Для ее решения мы записываем следующее уравнение: икс плюс одна четвертая икс равняется пятнадцати. Мы видим еще один пример по итогу решения, получаем ответ: х=12. Но эту задачу можно решить и другим способом, а именно египетским или, как его называют по-другому, способом предположения. В папирусе используется следующее решение: возьмите четыре и четвертую ее часть, то есть единицу. В сумме они дают пять, теперь пятнадцать необходимо разделить на сумму, мы получаем три, последним действием три умножаем на четыре. Мы получаем ответ: 12. Почему мы в решении пятнадцать делим на пять? Так узнаем, во сколько раз пятнадцать, то есть результат, который нам необходимо получить, меньше пяти. Таким способом решали задачи в средние века, он стал зваться методом ложного положения.
Квадратные уравнения
Кроме рассмотренных ранее примеров, существуют и другие. Какие именно? Квадратное уравнение, что такое? Они имеют вид ax 2 +bx+c=0. Для их решения необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями и правилами.
Во-первых, нужно найти дискриминант по формуле: b 2 -4ac. Есть три варианта исхода решения:
- дискриминант больше нуля;
- меньше нуля;
- равен нулю.
В первом варианте мы можем получить ответ из двух корней, которые находятся по формуле: -b+-корень из дискриминанта разделенные на удвоенный первый коэфициент, то есть 2а.
Во втором случае корней у уравнения нет. В третьем случае корень находится по формуле: -b/2а.
Рассмотрим пример квадратного уравнения для более подробного знакомства: три икс в квадрате минус четырнадцать икс минус пять равняется нулю. Для начала, как и писалось ранее, ищем дискриминант, в нашем случае он равен 256. Отметим, что полученное число больше нуля, следовательно, мы должны получить ответ состоящих из двух корней. Подставляем полученный дискриминант в формулу нахождения корней. В результате мы имеем: икс равняется пяти и минус одной третьей.
Особые случаи в квадратных уравнениях
Это примеры, в которых некоторые значения равны нулю (а, b или с), а возможно и несколько.
Для примера возьмем следующее уравнение, которое является квадратным: два икс в квадрате равняется нулю, здесь мы видим, что b и с равны нулю. Попробуем его решить, для этого обе части уравнения делим на два, мы имеем: х 2 =0. В итоге получаем х=0.
Другой случай 16х 2 -9=0. Здесь только b=0. Решим уравнение, свободный коэфициент переносим в правую часть: 16х 2 =9, теперь каждую часть делим на шестнадцать: х 2 = девять шестнадцатых. Так как у нас х в квадрате, то корень из 9/16 может быть как отрицательным, так и положительным. Ответ записываем следующим образом: икс равняется плюс/минус три четвертых.
Возможен и такой вариант ответа, как у уравнения корней вовсе нет. Посмотрим на такой пример: 5х 2 +80=0, здесь b=0. Для решения свободный член перекидываете в правую сторону, после этих действий получаем: 5х 2 =-80, теперь каждую часть делим на пять: х 2 = минус шестнадцать. Если любое число возвести в квадрат, то отрицательное значение мы не получим. По этому наш ответ звучит так: у уравнения корней нет.
Разложение трехчлена
Задание по квадратным уравнениям может звучать и другим образом: разложить квадратный трехчлен на множители. Это возможно осуществить, воспользовавшись следующей формулой: а(х-х 1)(х-х 2). Для этого, как и в другом варианте задания, необходимо найти дискриминант.
Рассмотрим следующий пример: 3х 2 -14х-5, разложите трехчлен на множетели. Находим дискриминант, пользуясь уже известной нам формулой, он получается равным 256. Сразу отмечаем, что 256 больше нуля, следовательно, уравнение будет иметь два корня. Находим их, как в предыдущем пункте, мы имеем: х= пять и минус одна третья. Воспользуемся формулой для разложения трехчлена на множетели: 3(х-5)(х+1/3). Во второй скобке мы получили знак равно, потому что в формуле стоит знак минуса, а корень тоже отрицательный, пользуясь элементарными знаниями математики, в сумме мы имеем знак плюса. Для упрощения, перемножим первый и третий член уравнения, чтобы избавиться от дроби: (х-5)(х+1).
Уравнения сводящиеся к квадратному
В данном пункте научимся решать более сложные уравнения. Начнем сразу с примера:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Можем заметить повторяющиеся элементы: (x 2 - 2x), нам для решения удобно заменить его на другую переменную, а далее решать обычное квадратное уравнение, сразу отмечаем, что в таком задании мы получим четыре корня, это не должно вас пугать. Обозначаем повторение переменной а. Мы получаем: а 2 -2а-3=0. Наш следующий шаг - это нахождение дискриминанта нового уравнения. Мы получаем 16, находим два корня: минус один и три. Вспоминаем, что мы делали замену, подставляем эти значения, в итоге мы имеем уравнения: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Решаем их в первом ответ: х равен единице, во втором: х равен минусу одному и трем. Записываем ответ следующим образом: плюс/минус один и три. Как правило, ответ записывают в порядке возрастания.
Кубические уравнения
Рассмотрим еще один возможный вариант. Речь пойдет о кубических уравнениях. Они имеют вид: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Примеры уравнений мы рассмотрим далее, а для начала немного теории. Они могут иметь три корня, так же существует формула для нахождения дискриминанта для кубического уравнения.
Рассмотрим пример: 3х 3 +4х 2 +2х=0. Как его решить? Для этого мы просто выносим х за скобки: х(3х 2 +4х+2)=0. Все что нам остается сделать - это вычислить корни уравнения в скобках. Дискриминант квадратного уравнения в скобках меньше нуля, исходя из этого, выражение имеет корень: х=0.
Алгебра. Уравнения
Переходим к следующему виду. Сейчас мы кратко рассмотрим алгебраические уравнения. Одно из заданий звучит следующим образом: разложить на множетели 3х 4 +2х 3 +8х 2 +2х+5. Самым удобным способом будет следующая группировка: (3х 4 +3х 2)+(2х 3 +2х)+(5х 2 +5). Заметим, что 8х 2 из первого выражения мы представили в виде суммы 3х 2 и 5х 2 . Теперь выносим из каждой скобки общий множитель 3х 2 (х2+1)+2х(х 2 +1)+5(х 2 +1). Мы видим, что у нас есть общий множитель: икс в квадрате плюс один, выносим его за скобки: (х 2 +1)(3х 2 +2х+5). Дальнейшее разложение невозможно, так как оба уравнения имеют отрицательный дискриминант.
Трансцендентные уравнения
Предлагаем разобраться со следующим типом. Это уравнения, которые содержат трансцендентные функции, а именно логарифмические, тригонометрические или показательные. Примеры: 6sin 2 x+tgx-1=0, х+5lgx=3 и так далее. Как они решаются вы узнаете из курса тригонометрии.
Функция
Завершающим этапом рассмотрим понятие уравнение функции. В отличии от предыдущих вариантов, данный тип не решается, а по нему строится график. Для этого уравнение стоит хорошо проанализировать, найти все необходимые точки для построения, вычислить точку минимума и максимума.
Равенство с неизвестным числом называют уравнением.
Например:х + 23 = 45; 65 -х = 13; 12 -дг = 48;45:х= 3.
Решить уравнение - значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным.
Это число называют корнем уравнения.
Например:
х+ 23 = 45; х= 22, так как 22 + 23 = 45.
Таким образом, данное определение задает также способ проверки уравнения: подстановка найденного значения неизвестного числа в выражение, вычисление его значения и сравнение полученного результата с заданным числом (ответом).
Если значение неизвестного числа найдено верно, то получается верное равенство.
Способы решения уравнений.
Изучение простейших уравнений и способов их решений прочно вошло в систему начальной математической подготовки. Уравнения являются одним из средств моделирования изучаемых фрагментов реальности, и знакомство с ними является существенной частью математического образования. В то же время, знакомство младших школьников с уравнениями подготавливает их к изучению математики в основной школе.
В математике под уравнением принято понимать «аналитическую запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения данных двух функций равны. Аргументы, от которых эти функции зависят, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, - решениями - корнями уравнения». Это значит, что понятие уравнения, во-первых, связано с аналитическим выражением (в нашем случае с арифметическим), а во-вторых, - с понятием переменной, принимающей значения из определенного множества.
В начальной школе рассматриваются два способа решения уравнения.
Способ подбора
Подбирается подходящее значение неизвестного числа либо из заданных значений, либо из произвольного множества чисел.
Выбранное число должно при подстановке в выражение превращать его в верное равенство. Например:
Из чисел 7, 10, 5, 4, 1, 3 подбери для каждого уравнения такое значение х, при котором получится верное равенство: 9 + х=14 7-х=2 х-1 = 9 х+5 = б
Каждое из предложенных чисел проверяется подстановкой в выражение и сравнением полученного значения с ответом.
При большом количестве предложенных значений этот способ отнимает много времени и сил. При самостоятельном подборе значений выражений ребенок может не найти самостоятельно возможное значение неизвестного.
Способ использования взаимосвязи компонентов действий.
Используются правила взаимосвязи компонентов действий.
Например:
Реши уравнение: 9 + х=14
Неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Значит, х = 14 - 9; х = 5.
Реши уравнение: 7 -х=2
Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое нужно из уменьшаемого вычесть разность. Значит, х = 1 - 2; х = 5.
Реши уравнение: х-1 = 9
Неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Значит, х = 9 + 1; х = 10.
Для решения уравнений с действиями умножения и деления используются правила зависимости компонентов умножения и деления.
Например:
Реши уравнение: 96:х=24
Неизвестен делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное. Значит, х = 96: 24; х = 4. Проверим решение: 24 4 = 96.
Реши уравнение: х:23 = 4
Неизвестно делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное. Значит, х = 23 4; х = 92. Проверим решение: 92: 23 = 4.
Реши уравнение: о:- 14 = 84
Неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Значит,х= 84:14;х=6. Проверим решение: х 14 = 84.
Использование данных правил дает более быстрый способ решения уравнений. Трудность заключается в том, что многие дети путают правила взаимосвязи компонентов действий и названия компонентов (необходимо хорошо знать 6 правил и названия 10 компонентов).
Для более трудных уравнений используется метод подбора, например:
35 + х + х + х= 35 - очевидно, что неизвестное может принимать только нулевое значение;
78-х-х = 76 - очевидно, что х = 1, поскольку 78 - 1 - 1 = 76.
Для уравнений со скобками вида (6 + х) - 5 = 38 используется правило взаимосвязи компонентов действий. Левую часть уравнения рассматривают сначала как разность, считая выражение в скобках единым неизвестным компонентом. Этот единый неизвестный компонент - уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:
Таким образом уравнение приобретает привычный вид. В этом уравнении требуется найти неизвестное слагаемое: х = 43-6;х=37.
Проверим решение (подставим найденное значение неизвестного в первоначальное выражение): (6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38.
Ряд альтернативных учебников математики для начальных классов практикует знакомство детей с более сложными уравнениями (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон), для решения которых правила взаимосвязи компонентов действий рекомендуется применять многократно.
Например:
Реши уравнение: (у-3)-5-875 = 210
Рассмотрим левую часть уравнения и определим порядок действий.
(у- 3)- 5 -875 = 210
Вид выражения в левой части определяем по последнему действию: последнее действие - вычитание, значит, начинаем рассматривать выражение как разность.
Уменьшаемое (у - 3) 5, вычитаемое 875, значение разности 210.
Неизвестное содержится в уменьшаемом. Найдем уменьшаемое (рассматриваем все это выражение как единое уменьшаемое): чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
(у- 3)- 5 = 210 + 875;
(у - 3) 5 = 1085: у
Снова определим порядок действий: (у - 3) ·5 = 1085.
По последнему действию считаем выражение в левой части произведением. Первый множитель (у - 3), второй множитель 5, значение произведения 1085. Неизвестное содержится в первом множителе. Найдем его (считаем все выражение у - 3 неизвестным). Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
у - 3 = 1085: 5;
Получили уравнение, в котором неизвестно уменьшаемое. Найдем его:
Проверим решение, подставив найденное значение неизвестного в первоначальное уравнение:
(218-3)-5-875 = 210.
Вычислив значение левой части, убеждаемся в том, что получено верное равенство. Значит, уравнение решено верно.
Анализ приведенного способа решения показывает, что это длительный трудоемкий процесс, требующий от ребенка четкого знания всех правил, высокого уровня анализа и умения воспринимать комплексную структуру переменного, получаемую при пошаговом решении, как единое целое (высокий уровень синтеза и абстрагирования).
Взрослый, знакомый с универсальным методом решения подобных уравнений, применяемым в старших классах (раскрытие скобок, перенос компонентов уравнения слева направо) хорошо видит несовершенство и излишнюю трудоемкость этого метода. В связи с этим рядом методистов справедливо высказываются сомнения в целесообразности активного внедрения уравнений такой сложной структуры в курс математики начальной школы. Этот способ решения является нерациональным с математической точки зрения и будет забыт и отброшен, как только учитель математики в 5-7 классах познакомит ребенка с общими приемами решения уравнений подобного вида.
