Решу огэ с объяснением. Что такое ОГЭ и его значение? Защита персональной информации

ОГЭ по математике – обязательный экзамен для всех выпускников 9-го класса, которые поступают в 10-й класс или покидают школу с целью поступления в другие учебные заведения. Чтобы сдать экзамен ученику, который внимательно и тщательно выполнял все задания на уроках, специфических усилий по подготовке прилагать не приходится. Тем более, если нужен минимальный проходной балл – тройка.

Все задания представлены в 3 направлениях: алгебра, геометрия, реальная математика. Наиболее важная особенность – это ограничение на выполнение заданий в блоках: если решить 2 и менее заданий из части геометрии, оценка будет «2», не играет роли суммарный балл.
Структура не меняется: ученику предлагается выполнить 5 заданий блока геометрии, 8 по алгебре, 7 по реальной математике. Это первая часть испытания – каждый правильный ответ оценивается в 1 балл.
Вторая часть: предполагается решение заданий повышенной сложности, максимальный балл за каждое – 2.

Как эффективно подготовиться к ОГЭ по математике?

• Главное – правильно поставить цель: целью является желаемая оценка.
• Требуется эффективно изучить теорию, пройти программу прошлых классов, ознакомиться с к экзамену.
• Очень важно «набить руку» - имеется в виду регулярная практика в решении заданий по математике разных уровней сложности. Задания одного типа легко научиться решать по образцу – когда доведете процесс до автоматизма, никакой экзамен не будет вызывать трудности.
• Онлайн тестирование поможет погрузиться в атмосферу финального испытания – это просто решение задач, но и тренировка делать это на время. Если имеются систематические ошибки, можно обратиться с ними к репетитору или школьному учителю.
• Если планируется самостоятельная подготовка, стоит начинать ее заранее, дать себе время.
• Учитесь планировать и экономить время.

• Геометрия: требует более тщательной подготовки, поскольку на нее в школе отводится намного меньше времени, чем на алгебру. Чтобы справиться с задачами, изучайте правила, законы, алгоритмы решения.
• Алгебра: часть заданий требуют простого следования алгоритмам, более сложные задачи – на построение сложных графиков функций и текстовые задачи.

Основной государственный экзамен по математике должны сдавать все девятиклассники для перевода в 10 класс и получения аттестата об основном среднем образовании. Для тех, кто хочет продолжить обучение в классе с физико-математическим уклоном, это испытание особенно важно – следует набрать нужное количество баллов.

В 2019 году в содержание экзамена внесены некоторые изменения. Так, решено было исключить модуль «Реальная математика». Это не значит, что соответствующие вопросы просто удалены – их придется решать в разделах «Алгебра» и «Геометрия».

Структура ОГЭ по математике

ОГЭ содержит 26 заданий, которые распределены на два блока.

Первая часть содержит 20 вопросов (базовый уровень), 14 из них по алгебре и 6 – по геометрии. За правильное решение каждого дается 1 балл. Для ответа надо написать число, цифру или последовательность цифр. Ученик должен показать, как он владеет основными алгоритмами, насколько хорошо знает понятия и категории. Проверяется правильность решения компьютерным способом.

Вторая часть – это 6 заданий ОГЭ по математике (повышенный и высокий уровень сложности), 3 вопроса по алгебре и столько же по геометрии, за каждое можно получить 2 балла. Для ответа потребуется предоставить письменное решение. Этот модуль имеет значение для формирования профильной группы, тут придется предоставить подробные описания. Проверку проводят два независимых эксперта, они же составляют протокол.

На экзамен отводится 235 минут. Это не так уж много, если учесть волнение, которое обычно сопутствует подобным мероприятиям.

Что в кармане принести?

Экзаменуемым разрешено пользоваться справочными пособиями с некоторыми математическими формулами. Но, с собой их приносить не нужно – эти книги выдаются каждому школьнику во время испытаний. А вот такие принадлежности, как линейка, циркуль, шаблон для черчения можно смело брать на экзамен. Не разрешается использовать калькулятор.

Чтобы решить все задания ОГЭ 2019 по математике и получить хороший балл, стоит внимательно повторить всю школьную программу. Можно работать самостоятельно или с репетитором, но самые лучшие результаты показывают выпускники, которые при подготовке использовали демонстрационные версии, удобно скомпонованные по предметам. Главное – понять логику, решать вопросы не автоматически запоминая ответы, а стараясь разобраться в структуре и применяя усвоенные ранее знания.

Оценивание

Работа состоит из двух модулей : «Алгебра» и «Геометрия». Всего в работе 26 заданий . Модуль «Алгебра» «Геометрия»

3 часа 55 минут (235 минут).

в виде одной цифры

, угольник циркуль Калькуляторы на экзамене не используются .

паспорт ), пропуск и капиллярную или ! Разрешают брать с собой воду (в прозрачной бутылке) и еду

Работа состоит из двух модулей : «Алгебра» и «Геометрия». Всего в работе 26 заданий . Модуль «Алгебра» содержит семнадцать заданий: в части 1 - четырнадцать заданий; в части 2 - три задания. Модуль «Геометрия» содержит девять заданий: в части 1 - шесть заданий; в части 2 - три задания.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 2, 3, 14 запишите в бланк ответов №1 в виде одной цифры , которая соответствует номеру правильного ответа.

Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр . Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов №1. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите её в десятичную .

При выполнении работы Вы можете воспользоваться , содержащими основные формулы курса математики, выдаваемыми вместе с работой. Разрешается использовать линейку , угольник , иные шаблоны для построения геометрических фигур (циркуль ). Запрещается использовать инструменты с нанесёнными на них справочными материалами. Калькуляторы на экзамене не используются .

На экзамене при себе надо иметь документ удостоверяющий личность (паспорт ), пропуск и капиллярную или гелевую ручку с черными чернилами ! Разрешают брать с собой воду (в прозрачной бутылке) и еду (фрукты, шоколадку, булочки, бутерброды), но могут попросить оставить в коридоре.

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2018. Вариант 1» было использовано пособие «ОГЭ 2018. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»

Показать решение

Чтобы сложить две дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае - это число 100 :

Ответ:

1. В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты.

При подведении итогов баллы каждой команды по всем эстафетам суммируются. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов. Какая команда заняла третье место?

1. «Удар»
2. «Рывок»
3. «Взлёт»
4. «Спурт»

Показать решение

В первую очередь суммируем баллы, набранные каждой командой

«Удар» = 3 + 3 + 2 + 4 = 12
«Рывок» = 1 + 4 + 4 + 2 = 11
«Взлёт » = 4 + 2 + 1 + 3 = 10
«Спурт» = 2 + 1 + 3 + 1 = 7

Судя по результату: первое место у команды «Удар», второе - у команды «Рывок», а третье - у команды «Взлёт».

Ответ:

Третье место заняла команда «Влёт», номер 3.

1. На координатной прямой точки A, B, C и D соответсвуют числам: -0,74; -0,047; 0,07; -0,407 .

Какой точке соответствует число -0,047 ?

Показать решение

На координатной прямой положительные числа находятся справа от начала координат, а отрицательные - слева. Значит единственное положительное число 0,07 соответсвует точке D. Самое большое отрицательное число - это -0,74, а значит оно соответсвует точке А. Учитывая, что оставшееся число -0,047 больше числа -0,407, то и принадлежат они точкам C и D соотвественно. Отобразим это на чертеже:

Ответ:

Число -0,047 соответсвует точке С, номер 3.

1. Найдите значение выражения

Показать решение

В данном примере необходимо проявить смекалку. Если корень из 64 равен 8, поскольку 8 2 = 64, то корень из 6,4 найти простым путём достаточно сложно. Однако, после нахождения корня из числа 6,4 его нужно тут же возвести в квадрат. Таким образом, два действия: нахождение квадратного корня и возведение в квадрат аннулируют друг друга. Поэтому получаем:

Ответ:

1. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной - давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 140 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

Показать решение

Найдем на графике линию соответствующую 140 мм ртутного столба. Далее определим место её пересечения с кривой зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На графике прекрасно видно это место пересечения. Проведем от точки пересечения вниз прямую до шкалы высот. Искомая величина 11 километров.

Ответ:

Атмосферное давление равно 140 миллиметрам ртутного столба на высоте 11 километров.

1. Решите уравнение x 2 + 6 = 5х

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ напишите меньший из корней.

Показать решение

x 2 + 6 = 5х

Перед нами обычное квадратное уравнение:

x 2 + 6 - 5х = 0

Для его решения необходимо найти дискриминант:

Ответ:

Наименьший корень данного уравнения: 2

1. Поступивший в продажу в феврале мобильный телефон стоил 2800 рублей. В сентябре он стал стоить 2520 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с февраля по сентябрь?

Показать решение

Итак, 2800 рублей - 100%

2800 - 2520 = 280 (р) - сумма на которую подешевел телефон

280 / 2800 * 100 = 10 (%)

Ответ:

Цена на мобильный телефон в период с февраля по сентябрь снизилась на 10%

1. На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км 2) стран мира.

Какие из следующих утверждений неверны ?

1) Канада - крупнейшая по площади территории страна мира.
2) Площадь территории Индии составляет 3,3 млн км 2 .
3) Площадь территории Китая больше площади территории Австралии.
4) Площадь территории Канады больше площади территории США на 1,5 млн км 2 .

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать решение

Исходя из графика, Канада уступает по площади России, а значит первое утверждение неверное .

Над гистограммой Индии указана площадь 3,3 млн км 2 , что соответсвует второму утверждению.

Площадь территории Китая согласно графика равна 9,6 млн км 2 , а площадь Австралии - 7,7 млн км 2 , что соответсвует утверждению в третьем пункте.

Площадь территории Канады равна 10,0 млн км 2 , а площадь США - 9,5 млн км 2 , т.е. почти равны. А значить утверждение 4 неверное .

Ответ:

1. В каждом двадцать пятом пакете сока согласно условиям акции под крышкой есть приз. Призы распределены случайно. Вера покупает пакет сока. Найдите вероятность того, что Вера не найдет приз в своём пакете.

Показать решение

Решение данной задачи основано на классической формуле определения вероятности:

где, m - число благоприятных исходов события, а n - общее количество исходов

Получаем

Таким образом, вероятность того, что Вера не найдёт приз составит 24/25 или

Ответ:

Вероятность того, что Вера не найдёт приз составит 0,96

1. Установите соответствие между функциями и их графиками.

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Показать решение

1. Изображённая на рисунке 1 гипербола расположена во второй и четвёртой четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сво­вать функция А. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(12/-6) = 2; б) при х = -2, y = -(12/-2) = 6; в) при х = 2, y = -(12/2) = -6; г) при х = 6, y = -(12/6) = -2. Что и требовалось доказать.
2. Изображённая на рисунке 2 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сво­вать функция Б. Выполнение проверки проведите самостоятельно, по аналогии с первым примером.
3. Изображённая на рисунке 3 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сво­вать функция В. Выполним проверку: a) при х = -6, y = (12/-6) = -2; б) при х = -2, y = (12/-2) = -6; в) при х = 2, y = (12/2) = 6; г) при х = 6, y = (12/6) = 2. Что и требовалось доказать.

Ответ:

А - 1 ; Б - 2 ; В - 3

1. Арифметическая прогрессия (a n) задана условиями:

a 1 = -9, a n+1 = a n + 4.

Найдите сумму первых шести её членов.

Показать решение

a 1 = -9, a n+1 = a n + 4.

a n + 1 =a n + 4 ⇒ d = 4

a n = a 1 + d(n-1)

a 6 = a 1 + d(n-1) = –9 + 4(6 – 1) = –9 + 20 = 11

S 6 = (a 1 + a 6)∙6 / 2

S 6 = (a 1 + a 6)∙3

S 6 = (–9 + 11)∙3 = 6

Ответ:

1. Найдите значение выражения

Показать решение

Раскрываем скобки. Не забываем, что первая скобка - это квадрат суммы.

Ответ:

1. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

где d 1 и d 2 - длины диагоналей четырёхугольника, a - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 2 , если

Показать решение

Помните правило, если у нас трёх-этажная дробь, то нижнее значение переносится наверх

Ответ:

1. Укажите решение неравенства

Показать решение

Для решения данного неравенства необходимо сделать следующее:

а) перенесём член 3х в левую часть неравенства, а 6 - в правую часть, не забыв поменять знаки на противоположные. Получим:

б) Умножим обе части неравенства на отрицательное число -1 и заменим знак неравенства на противоположный.

в) найдём значение х

г) множеством решений данного неравенства будет числовой промежуток от 1,3 до +∞, что соответсвует ответу 3)

Ответ:
3

Модуль «Геометрия»

1. Пожарную лестницу длиной 17 м приставили к окну шестого этажа дома. Нижний конец лестницы стоит от стены на 8 м. На какой высоте расположено окно? ответ дайте в метрах.

Показать решение

На рисунке мы видим обычный прямоугольный треугольник состоящий из гипотенузы (лестница) и двух катетов (стена дома и земля. Для нахождения длины катета воспользуемся теоремой Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c 2 = a 2 + b 2

Итак, окно расположено на высоте 15 метров

Ответ:

1. В треугольнике ∆ABC известно, что AB = 8, BC = 10, AC = 14. Найдите cos∠ABC

Показать решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cosα

АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·cos∠ABC
14² = 8² + 10² - 2·8·10·cos∠ABC
196 = 64 + 100 - 160·cos∠ABC

160·cos∠ABC = 164 - 196
160·cos∠ABC = - 32
cos∠ABC = - 32 / 160 = -0,2

Ответ:

cos∠ABC = -0,2

1. На окружности с центром в точке О отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 15 о. Длина меньшей дуги AB равна 48. Найдите длину большей дуги AB .

Показать решение

Известно, что круг составляет 360 о. Исходя из этого, 15 о составляет:

360 о / 15 о = 24 - кол-во сегментов в круге по 15 о

Итак, 15 о составляют 1/24 часть всей окружности, значит оставшаяся часть круга:

т.е. оставшиеся 345 о (360 о - 15 о = 345 о) составляют 23-ю часть всей окружности

Если длина меньшей дуги AB равна 48, то длина большей дуги AB составит:

Ответ:

1. В трапеции ABCD известно, что AB = CD , ∠BDA = 35 о и ∠BDC = 58 о. Найдите угол ∠ABD . Ответ дайте в градусах.

Показать решение

По условию задачи перед нами равнобедренная трапеция. Углы в основании равнобедренной трапеции (верхнем и нижним) равны.

∠ADC = 35 + 58 = 93°
∠DAB = ∠ADC = 93°

Теперь рассмотрим треугольник ∆ABD в целом. Нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 °. Отсюда:

∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 35 – 93 = 52 °.

Ответ:

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Показать решение

Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h):

a - длина основания треугольника

h - высота треугольника.

Из рисунка мы видим, что основание треугольника равно 6 (клеткам), а высота - 3 (клеткам). Исходя из чего получаем:

Ответ:

1. Какое из следующих утверждений верно?

1. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
2. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
3. Сумма углов любого треугольника равна 360 о.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Показать решение

Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.

1. Это утверждение абсолютно верно .
2. Неверно , поскольку согласно свойствам равнобедренного треугольника у него может быть только одна медиана - это биссектриса, проведенная к основанию. Она же является и высотой треугольника.
3. Неверно , поскольку сумма углов любого треугольника равна 180 о.

Ответ:

Часть 2

Модуль «Алгебра»

1. Решите уравнение

Показать решение

Перенесем выражение √6-x с правой стороны в левую

Сократим оба выражения √6-x

Перенесём 28 в левую часть уравнения

Перед нами обычное квадратное уравнение.

Область допустимых значений в данном случае составляет: 6 - х ≥ 0 ⇒ x ≤ 6

Для решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

D = 9 + 112 = 121 = 11 2

х 1 = (3 + 11)/2 = 14/2 = 7 - не является решением

х 2 = (3 - 11)/2 = -8/2 = -4

Ответ:

1. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.

Показать решение

х - это собственная скорость теплохода, тогда

х + 4 - скорость теплохода по течению

х - 4 - скорость теплохода против течения

27 - 9 = 18 (ч) - время движения теплохода из пункта отправления в пункт назначения и обратно без учета стоянки

210 * 2 = 420 (км) - общее расстояние, пройденное теплоходом

Исходя из выше сказанного получим уравнение:

приводим к общему знаменателю и решаем:

Для дальнейшего решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

y = x 2 + 4x +4 (график, изображенный красной линией)

y = -45/x (график, изображенный синий линией)

Рассмотрим обе функции:

1. y=x 2 +4x+4 на промежутке [–5;+∞) – это квадратичная функция, графиком является парабола, а=1 > 0 – ветви направлены вверх. Если мы её сократим по формуле квадрата суммы двух чисел, то получим: у=(х+2) 2 – сдвиг графика влево на 2 единицы, что и видно из графика.
2. у=–45/х – это обратная пропорциональность, график гипербола, ветви расположены во 2 и 4 четвертях.

На графике хорошо видно, что прямая у=m имеет с графиком одну общую точку при m=0 и m > 9 и две общие точки при m=9, т.е. ответ: m=0 и m≥9, проверяем:
Одна общая точка в вершине параболы y = x 2 + 4x +4

x 0 = -b/2a = -4/2 = -2

y 0 = -2 2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 +4 = 0 ⇒ с = 0

Две общие точки при х = – 5 ; у = 9 ⇒ с = 9

Ответ:

1. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD , если AB = 24 , а расстояние от центра окружности до хорд AB и CD равны соответсвенно 16 и 12.

Показать решение

Треугольники ∆АОВ и ∆СОD являются равнобедренными.

AK = BK = AB / 2 = 24 / 2 = 12

Отрезки ОК и ОМ являются высотами и медианами.

По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, имеем

OB 2 = OK 2 + BK 2

OB 2 = 16 2 + 12 2 = 256 + 144 = 400

Учитывая, что OB - это радиус, имеем:

OB = OA = OC = OD = 20

Из треугольника ∆СОМ по теореме Пифагора получаем:

CM 2 = OC 2 – OM 2

CM 2 = 20 2 – 12 2 = 400 – 144 = 256

CD = CM * 2 = 16 * 2 = 32

Длина хорды CD равна 32.

Ответ:

1. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников ∆AOB и ∆COD равны

Показать решение

Пусть AD - нижнее основание трапеции, а BC - верхнее, тогда AD>BC.

Найдем площади треугольников ∆ABD и ∆DCA:

S ∆ABD = 1/2 AD ∙ h1

S ∆DCA = 1/2 AD ∙ h2

Учитывая, что величина основания AD и высота обоих треугольников одинаковые, заключаем, что площади этих треугольников равны:

S ∆ABD = S ∆DCA

Каждый из треугольников ∆ABD и ∆DCA состоят из двух других треугольников:

S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆ABD (сумма площадей внутренних треугольников S ∆ABO и S ∆AOD равна площади треугольника S ∆ABD)

S ∆DCO + S ∆AOD = S ∆DCA (сумма площадей внутренних треугольников S ∆DCO и S ∆AOD равна площади треугольника S ∆DCA)

Если площади треугольников S ∆ABD и S ∆DCA равны, то и сумма площадей их внутренних треугольников также равны. Отсюда получаем,:

S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆DCO + S ∆AOD

в данном равенстве с обеих сторон фигурирует один и тот же треугольник - S ∆AOD, что позволяет нам сократить его. Получаем следующее равенство:

S ∆ABO = S ∆DCO

Что и требовалось доказать.

Ответ:

S ∆ABO = S ∆DCO

1. На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 9 , MD = 6 , H - точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .

Показать решение

Для начала начертим треугольник и полуокружность, как сказано в условии задачи (рис.1).

Отметим точку пересечения окружности со стороной АС буквой F (рис.2)

BF - является высотой треугольника ∆ABC, так как для окружности ∠BFC - это вписанный угол, который опирается на дугу в 180° (BC - диаметр), следовательно:

∠BFC=180°/2=90°

Согласно теореме «о двух секущих», имеем: AF * AC = AM * AK

Теперь рассмотрим хорду MK.

Отрезок BC - это перпендикуляр к отрезку MK, проходящий через центр окружности, следовательно BC - это серединный перпендикуляр.

Это значит, BC делит хорду MK пополам, т.е. MD = KD = 6 (см. условие задачи)

Рассмотрим треугольники ∆AHF и ∆ACD.

Угол ∠DAC для обоих треугольников является общим.

А углы ∠AFH и ∠ADC равны, кроме того - это прямые углы.

Следовательно, согласно первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.

Отсюда, по определению подобия, мы можем записать: AC / AH = AD / AF => AC * AF = AD * AH

Ранее мы рассматривали равенство (по теореме двух секущих) AF * AC = AM * AK, из которой получаем

AM * AK = AD * AH

AH = (AM * AK) / AD

Из рисунка находим:

AM = AD - MD = 9 - 6 = 3

AK = AD + KD = 9 + 6 =15

AH = 3 * 15 / 9 = 45 / 9 = 5

Ответ: AH = 5

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2018. Вариант 2» было использовано пособие «ОГЭ 2018. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»

Показать решение

Чтобы сложить две дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае - это число 20 :

Ответ:
5,45

1. В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты.

При подведении итогов баллы каждой команды по всем эстафетам суммируются. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов. Какая команда заняла первое место?

1. «Удар»
2. «Рывок»
3. «Взлёт»
4. «Спурт»

Показать решение

В первую очередь суммируем баллы, набранные каждой командой

«Удар» = 3 + 3 + 2 + 1 = 9
«Рывок» = 4 + 1 + 4 + 2 = 11
«Взлёт» = 1 + 2 + 1 + 4 = 8
«Спурт » = 2 + 4 + 3 + 3 = 12

Судя по результату: первое место у команды «Спрут».
Ответ:
Первое место заняла команда «Спрут», номер 4.

1. На координатной прямой точки A, B, C и D соответсвуют числам: 0,098; -0,02; 0,09; 0,11.

Какой точке соответствует число 0,09 ?

Показать решение

На координатной прямой положительные числа находятся справа от начала координат, а отрицательные - слева. Значит единственное отрицательное число -0,02 соответсвует точке A. Самое большое положительное число - это 0,11, а значит оно соответсвует точке D (крайней справа). Учитывая, что оставшееся число 0,098 больше числа 0,09, то и принадлежат они точкам C и B соотвественно. Отобразим это на чертеже:

Ответ:
Число 0,09 соответсвует точке B, номер 2.

1. Найдите значение выражения

Показать решение

В данном примере необходимо проявить смекалку. Если корень из 36 равен 6, поскольку 6 2 = 36, то корень из 3,6 найти простым путём достаточно сложно. Однако, после нахождения корня из числа 3,6 его нужно тут же возвести в квадрат. Таким образом, два действия: нахождение квадратного корня и возведение в квадрат аннулируют друг друга. Поэтому получаем:

Ответ:
2,4

1. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной - давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 360 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

Показать решение

Найдем на графике линию соответствующую 360 мм ртутного столба. Далее определим место её пересечения с кривой зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На графике прекрасно видно это место пересечения. Проведем от точки пересечения вниз прямую до шкалы высот. Искомая величина 5,5 километров.

Ответ:
Атмосферное давление равно 360 миллиметрам ртутного столба на высоте 5,5 километров.

1. Решите уравнение x 2 - 6x = 16

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ напишите меньший из корней.

Показать решение

x 2 - 6x = 16

Перед нами обычное квадратное уравнение:

x 2 + 6x - 16 = 0

Для его решения необходимо найти дискриминант:

D = (-6) 2 - 4 * 1 * (-16) = 36 + 64 = 100

Так как D > 0, то уравнение иеет два корня

х1 = (-(-6) + √100) / 2 * 1 = (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8

х2 = (-(-6) - √100) / 2 * 1 = (6 - 10) / 2 = -4 / 2 = -2

Выполним проверку:

8 2 - 6 * 8 - 16 =0

64 - 48 - 16 = 0

(-2) 2 - 6 * (-2) - 16 =0

Следовательно, х1 = 8 и х2 = -2 - корни заданного квадратного уравнения.

х1 = -2 - меньший корень уравнения.
Ответ:
Наименьший корень данного уравнения: -2

1. Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 1600 рублей. В мае он стал стоить 1440 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по май?

Показать решение

Итак, 1600 рублей - 100%

1600 - 1440 = 160 (р) - сумма на которую подешевел телефон

160 / 1600 * 100 = 10 (%)
Ответ:
Цена на мобильный телефон в период с января по май снизилась на 10%

1. На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км 2) стран мира.

Какие из следующих утверждений верны ?

1) Афганистан входит в семёрку крупнейших по площади территории страна мира.
2) Площадь территории Бразилии составляет 8,5 млн км 2 .
3) Площадь территории Индии больше площади территории Австралии.
4) Площадь территории России больше площади территории США на 7,6 млн км 2 .

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать решение

Исходя из графика, Афганистан отсутсвует в списке представленных стран, а значит первое утверждение неверное .

Над гистограммой Бразилии указана площадь 8,5 млн км 2 , что соответсвует второму утверждению, верное .

Площадь территории Индии согласно графика равна 3,3 млн км 2 , а площадь Австралии - 7,7 млн км 2 , что не соответсвует утверждению в третьем пункте, неверное .

Площадь территории России равна 17,1 млн км 2 , а площадь США - 9,5 млн км 2 , получаем 17,1 - 9,5 = 7,6 млн км 2 . А значить утверждение 4 верное .
Ответ:
24

1. В каждой восьмой бутылке газировки согласно условиям акции под крышкой есть приз. Призы распределены случайно. Вася покупает бутылку газировки. Найдите вероятность того, что Вася не найдет приз.

Показать решение

Решение данной задачи основано на классической формуле определения вероятности:

где, m - число благоприятных исходов события, а n - общее количество исходов

Получаем

Таким образом, вероятность того, что Вася не найдёт приз составит 7/8 или

Ответ:
Вероятность того, что Вася не найдёт приз составит 0,875

1. Установите соответствие между функциями и их графиками.

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Показать решение

1. Изображённая на рисунке 1 гипербола расположена второй и четвертой четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­ство­вать функция В. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(1/-6*3) = 0,05; б) при х = -2, y = -(1/-2*3) = 0,17; в) при х = 2, y = -(1/2*3) = -0,17; г) при х = 6, y = -(1/6*3) = -0,05. Что и требовалось доказать.
2. Изображённая на рисунке 2 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сnво­вать функция А. Выполнение проверки проведите самостоятельно, по аналогии с первым примером.
3. Изображённая на рисунке 3 гипербола расположена во второй и четвертой четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­ство­вать функция Б. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(3/-6) = 0,5; б) при х = -2, y = -(3/-2) = 1,5; в) при х = 2, y = -(3/2) = -1,5; г) при х = 6, y = -(3/6) = -0,5. Что и требовалось доказать.

Ответ:
А - 2 ; Б - 3 ; В - 1

1. Арифметическая прогрессия (a n) задана условиями:

a 1 = 48, a n+1 = a n - 17.

Найдите сумму первых семи её членов.

Показать решение

a 1 = 48, a n+1 = a n - 17

a n + 1 =a n - 17 ⇒ d = -17

a n = a 1 + d(n-1)

a 7 = a 1 + d(n-1) = 48 - 17 (7 - 1) = 48 - 102 = -54

S 7 = (a 1 + a 7)∙7 / 2

S 7 = (a 1 + a 7)∙3.5

S 7 = (48 - 54)∙3.5 = -21
Ответ:
-21

1. Найдите значение выражения

Показать решение

Раскрываем скобки. Не забываем, что первая скобка - это квадрат разницы.

Ответ:
50

1. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

где d 1 и d 2 - длины диагоналей четырёхугольника, a - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 2 , если

Показать решение

Помните правило, если у нас трёх-этажная дробь, то нижнее значение переносится наверх

Ответ:
17

1. Укажите решение неравенства

3 - x > 4x + 7

Показать решение

Для решения данного неравенства необходимо сделать следующее:

а) перенесём член 4х в левую часть неравенства, а -3 - в правую часть, не забыв поменять знаки на противоположные. Получим:

б) Умножим обе части неравенства на отрицательное число -1 и заменим знак неравенства на противоположный.

в) найдём значение х

г) множеством решений данного неравенства будет числовой промежуток от -∞ до -2, что соответсвует ответу 2
Ответ:
2

Модуль «Геометрия»

1. Две сосны растут на расстоянии 30 м одна от другой. Высота одной сосны 26 м, а другой - 10м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Показать решение

Решение

На рисунке мы изобразили две сосны. Расстояние между ними - а = 30 м; разницу в высоте мы обозначили, как b; ну и расстояние между верхушками - это c.

Как видите, у нас получился обычный прямоугольный треугольник состоящий из гипотенузы (c) и двух катетов (a и b). Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c 2 = a 2 + b 2

b = 26 - 10 = 16 (м)

Итак, расстояние между верхушками сосен 34 метра
Ответ:
34

1. В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6, AC = 4. Найдите cos∠ABC

Показать решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cosα

АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·cos∠ABC
4² = 5² + 6² - 2·5·6·cos∠ABC
16 = 25 + 36 - 60·cos∠ABC

60·cos∠ABC = 25 + 36 - 16
60·cos∠ABC = 45
cos∠ABC = 45 / 60 = 3/4 = 0,75
Ответ:
cos∠ABC = 0,75

1. На окружности с центром в точке О отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 18 о. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги AB .

Показать решение

Известно, что круг составляет 360 о. Исходя из этого, 18 о составляет:

360 о / 18 о = 20 - кол-во сегментов в круге по 18 о

Итак, 18 о составляют 1/20 часть всей окружности, значит оставшаяся часть круга:

т.е. оставшиеся 342 о (360 о - 18 о = 342 о) составляют 19-ю часть всей окружности

Если длина меньшей дуги AB равна 5, то длина большей дуги AB составит:

5 * 19 = 95
Ответ:
95

1. В трапеции ABCD известно, что AB = CD , ∠BDA = 18 о и ∠BDC = 97 о. Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Показать решение

По условию задачи перед нами равнобедренная трапеция. Углы в основании равнобедренной трапеции (верхнем и нижним) равны.

∠ADC = 18 + 97 = 115°
∠DAB = ∠ADC = 115°

Теперь рассмотрим треугольник ABD в целом. Нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 °. Отсюда:

∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 18 – 115 = 47°.
Ответ:
47°

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Показать решение

Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h):

a - длина основания треугольника

h - высота треугольника.

Из рисунка мы видим, что основание треугольника равно 6 (клеткам), а высота - 5 (клеткам). Исходя из чего получаем:

Ответ:
15

1. Какое из следующих утверждений верно?

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
3. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Часть 2

Модуль «Алгебра»

1. Решите уравнение

Показать решение

Перенесем выражение √5-x с правой стороны в левую

Сократим оба выражения √5-x

Перенесём 18 в левую часть уравнения

Перед нами обычное квадратное уравнение.

Область допустимых значений в данном случае составляет: 5 - х ≥ 0 ⇒ x ≤ 5

Для решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

D = 9 + 72 = 81 = 9 2

х 1 = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6 - не является решением

х 2 = (3 - 9)/2 = -6/2 = -3

х = -3
Ответ:
-3

1. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

Показать решение

х - это собственная скорость теплохода, тогда

х + 5 - скорость теплохода по течению

х - 5 - скорость теплохода против течения

35 - 23 = 12 (ч) - время движения теплохода из пункта отправления в пункт назначения и обратно без учета стоянки

80 * 2 = 160 (км) - общее расстояние, пройденное теплоходом

Исходя из выше сказанного получим уравнение:

приводим к общему знаменателю и решаем:

Для дальнейшего решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

Собственная скорость теплохода составляет 15 км/ч
Ответ:

y = x 2 + 2x + 1 (график, изображенный красной линией)

y = -36/x (график, изображенный синий линией)

Рассмотрим обе функции:

1. y=x 2 +2x+1 на промежутке [–4;+∞) – это квадратичная функция, графиком является парабола, а=1 > 0 – ветви направлены вверх. Если мы её сократим по формуле квадрата суммы двух чисел, то получим: у=(х+1) 2 – сдвиг графика влево на 1 единицу, что и видно из графика.
2. у=–36/х – это обратная пропорциональность, график гипербола, ветви расположены во 2 и 4 четвертях.

На графике хорошо видно, что прямая у=m имеет с графиком одну общую точку при m=0 и m > 9 и две общие точки при m=9, т.е. ответ: m=0 и m≥9, проверяем:
Одна общая точка в вершине параболы y = x 2 + 2x + 1

x 0 = -b/2a = -2/2 = -1

y 0 = -1 2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 ⇒ с = 0

Две общие точки при х = – 4 ; у = 9 ⇒ с = 9
Ответ:
0; }

Главная » Обучение за рубежом » Решу огэ с объяснением. Что такое ОГЭ и его значение? Защита персональной информации