Прямолинейное движение постоянным ускорением. Вывод уравнения движения точки с постоянным ускорением
«Класс!ная физика» переезжает с "народа"!
«Класс!ная физика» - это сайт для тех, кто любит физику, учится сам и учит других.
«Класс!ная физика» - всегда рядом!
Интересные материалы по физике для школьников, учителей и всех любознательных.
Исходный сайт "Класс!ная физика" (class-fizika.narod.ru) с 2006 года входит в выпуски каталога «Образовательные ресурсы сети-интернет для основного общего и среднего (полного) общего образования», одобрено Министерством образования и науки РФ, Москва.
Читай, познавай, исследуй!
Мир физики интересен и увлекателен, он приглашает всех любознательных
в путешествие по страницам сайта «Класс!ная физика».
А для начала - наглядная карта физики, которая показывает, откуда берут начало и как связаны между собой различные области физики, что они изучают, и для чего они нужны.
Карта Физики создана по видеоролику The Map of Physics от Доминика Вилиммана канала Domain of Science.
Физика и секреты художников
Тайны мумий фараонов и изобретения Ребрандта, подделки шедевров и секреты папирусов Древнего Египта - искусство скрывает в себе много тайн, но современные физики с помощью новых методов и приборов находят объяснения все большему числу удивительных секретов прошлого......... читать
Азбука физики
Всемогущее трение
Оно - всюду, да куда без него и денешься?
А вот три помощника-богатыря: графит, молебденит и тефлон. Эти удивительные вещества, обладающие очень высокой подвижностью частиц, применяются в настоящее время в качестве великолепной твердой смазки......... читать
Воздухоплавание
"Так поднимаются к звездам!" - начертано на гербе основателей воздухоплавания братьев Монгольфье.
Известный писатель Жюль Верн летал на воздушном шаре всего лишь 24 минуты, но это помогло ему создать увлекательнейшие художественные произведения......... читать
Паровые двигатели
"Этот могучий исполин был трёхметрового роста: гигант с лёгкостью тянул фургон с пятерыми пассажирами. На голове у Парового Человека была труба дымохода, откуда валил густой чёрный дым... всё, даже лицо, было сделано из железа, и все это непрерывно скрежетало и грохотало..." О ком это? Кому эти дифирамбы? ......... читать
Тайны магнита
Фалес Милетский наделял его душой, Платон сравнивал его с поэтом, Орфей находил его подобным жениху... В эпоху Возрождения магнит считали отображением неба и приписывали ему способность искривлять пространство. Японцы считали, что магнит - это сила, которая поможет повернуть к вам фортуну......... читать
По ту сторону зеркала
Знаете ли Вы, сколько интересных открытий может подарить "зазеркалье"? У изображения Вашего лица в зеркале правая и левая половины переставлены местами. А ведь лица редко бывают полностью симметричными, поэтому окружающие видят Вас совершенно иным. Задумывались ли Вы над этим? ......... читать
Секреты обыкновенного волчка
"Сознание того, что чудесное было рядом с нами, приходит слишком поздно." - А.Блок.
Знаете ли Вы, что малайцы могут часами завороженно наблюдать за вращением волчка. Однако, требуется немалое умение, чтобы правильно раскрутить его, ведь вес малайского волчка может достигать нескольких килограммов......... читать
Изобретения Леонардо да Винчи
" Я хочу создавать чудеса!"-говорил он и спрашивал себя: "Но скажи мне, сделано ли тобою хоть что-нибудь?" Леонардо да Винчи писал свои трактаты тайнописью с помощью обыкновенного зеркала, поэтому его зашифрованные рукописи впервые смогли прочитать лишь три столетия спустя.........
План-конспект урока по теме «Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением»
Дата :
Тема: «Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением»
Цели:
Образовательная : Обеспечить и сформировать осознанное усвоение знаний о скорости при прямолинейном движении с постоянным ускорением;
Развивающая : Продолжить развитие навыков самостоятельной деятельности, навыков работы в группах.
Воспитательная : Формировать познавательный интерес к новым знаниям; воспитывать дисциплину поведения.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Оборудование и источники информации:
Исаченкова, Л. А. Физика: учеб. для 9 кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Сокольский; под ред. А. А. Сокольского. Минск: Народная асвета, 2015
Исаченкова, Л. А. Сборник задач по физике. 9 класс: пособие для учащихся учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, В. В. Дорофейчик. Минск: Аверсэв, 2016, 2017.
Структура урока:
Организационный момент(5 мин)
Актуализация опорных знаний(5мин)
Изучение нового материала (15 мин)
Физкультминутка (2 мин)
Закрепление знаний (13мин)
Итоги урока(5 мин)
Организационный момент
Здравствуйте, садитесь! (Проверка присутствующих). Сегодня на уроке мы должны разобраться со скоростью при прямолинейном движении с постоянным ускорением. А это значит, что Тема урока : Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением
Актуализация опорных знаний
Самое простое из всех неравномерных движении - прямолинейное движение с постоянным ускорением. Его называют равнопеременным.
Как изменяется скорость тела при равнопеременном движении?
Изучение нового материала
Рассмотрим движение стального шарика по наклонному желобу. Опыт показывает, что его ускорение практически постоянно:
Пусть в момент времени t = 0 шарик имел начальную скорость (рис. 83).
Как найти зависимость скорости шарика от времени?
Ускорение шарика а = . В нашем примере Δt = t , Δ - . Значит,
, откуда
При движении с постоянным ускорением скорость тела линейно зависит от времени.
Из равенств (1 ) и (2) следуют формулы для проекций:
Построим графики зависимости a x ( t ) и v x ( t ) (рис. 84, а, б).
Рис. 84
Согласно рисунку 83 а х = а > 0, = v 0 > 0.
Тогда зависимости a x ( t ) соответствует график 1 (см. рис. 84, а). Это прямая, параллельная оси времени. Зависимости v x ( t ) соответствует график , описывающий возрастание проекции ско рости (см. рис. 84, б). Понятно, что растет и модуль скорости. Шарик движется равноускоренно.
Рассмотрим второй пример (рис. 85). Теперь начальная скорость шарика направлена вдоль желоба вверх. Двигаясь вверх, шарик будет постепенно терять скорость. В точке А он на мгновение остановится и начнет скатываться вниз. Точку A называют точкой поворота.
Согласно рисунку 85 а х = - а < 0, = v 0 > 0, и формулам (3) и (4) соответствуют графики 2 и 2" (см. рис. 84, а , б).
График 2" показывает, что вначале, пока шарик двигался вверх, проекция скорости v x была положительна. Она уменьшалась и в момент времени t = стала равной нулю. В этот момент шарик достиг точки поворота A (см. рис. 85). В данной точке направление скорости шарика изменилось на противоположное и при t > проекция скорости стала отрицательной.
Из графика 2" (см. рис. 84, б) видно также, что до момента поворота модуль скорости уменьшался - шарик двигался вверх равнозамедленно. При t > t n модуль скорости растет - шарик движется вниз равноускоренно.
Постройте самостоятельно графики зависимости модуля скорости от времени для обоих примеров.
Какие еще закономерности равнопеременного движения необходимо знать?
В § 8 мы доказали, что для равномерного прямолинейного движения площадь фигуры между графиком v x и осью времени (см. рис. 57) численно равна проекции перемещения Δ r х . Можно доказать, что это правило применимо и для неравномерного движения. Тогда согласно рисунку 86 проекция перемещения Δ r х при равнопеременном движении определяется площадью трапеции ABCD . Эта площадь равна полусумме оснований трапеции умноженной на ее высоту AD .
В результате:
Так как среднее значение проекции скорости формулы (5)
следует:
При движении с постоянным ускорением соотношение (6) выполняется не только для проекции, но и для векторов скорости:
Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме начальной и конечной скоростей.
Формулы (5), (6) и (7) нельзя использовать для движения с непостоянным ускорением. Это может привести к грубым ошибкам.
Закрепление знаний
Разберем пример решения задачи со страницы 57:
Автомобиль двигался со скоростью, модуль которой = 72 . Увидев красный свет светофора, водитель на участке пути s = 50 м равномерно снизил скорость до = 18 . Определите характер движения автомобиля. Найдите направление и модуль ускорения, с которым двигался автомобиль при торможении.
Дано: Реше ние:
72 = 20 Движение автомобиля было равнозамедленным. Уско-
рение автомобиля направлено противоположно
18 = 5 скорости его движения.
Модуль ускорения:
s = 50 м
Время торможения:
а - ? Δ t =
Тогда
Ответ:
Итоги урока
При движении с постоянным ускорением скорость линейно зависит от времени.
При равноускоренном движении направления мгновенной скорости и ускорения совпадают, при равнозамедленном - они противоположны.
Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме начальной и конечной скоростей.
Организация домашнего задания
§ 12, упр. 7 № 1, 5
Рефлексия.
Продолжите фразы:
Сегодня на уроке я узнал…
Было интересно…
Знания, которые я получил на уроке, пригодятся
На данном уроке, тема которого: «Уравнение движения с постоянным ускорением. Поступательное движение», мы вспомним, что такое движение, каким оно бывает. Также вспомним, что такое ускорение, рассмотрим уравнение движения с постоянным ускорением и как им пользоваться для определения координаты движущегося тела. Рассмотрим пример задачи для закрепления материала.
Главная задача кинематики - определить положение тела в любой момент времени. Тело может покоиться, тогда его положение меняться не будет (см. рис. 1).
Рис. 1. Покоящееся тело
Тело может двигаться прямолинейно с постоянной скоростью. Тогда его перемещение будет изменяться равномерно, то есть одинаково за равные промежутки времени (см. рис. 2).
Рис. 2. Перемещение тела при движении с постоянной скоростью
Перемещение , скорость, умноженная на время, это мы давно умеем делать. Тело может двигаться с постоянным ускорением, рассмотрим такой случай (см. рис. 3).
Рис. 3. Движение тела с постоянным ускорением
Ускорение
|
Ускорение - это изменение скорости за единицу времени (см. рис. 4):
Рис. 4. Ускорение Скорость - векторная величина, поэтому и изменение скорости, т. е. разность векторов конечной и начальной скорости, является вектором. Ускорение - тоже вектор, направленный туда же, куда и вектор разности скоростей (см. рис. 5).
Мы рассматриваем прямолинейное движение, поэтому можно выбрать координатную ось вдоль прямой, вдоль которой происходит движение, и рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:
|
Тогда равномерно изменяется его скорость: (если его начальная скорость была равна нулю). Как теперь найти перемещение? Скорость умножить на время - нельзя : скорость постоянно менялась; какую брать? Как определить, где при таком движении будет находиться тело в любой момент времени - сегодня мы эту проблему решим.
Сразу определимся с моделью: мы рассматриваем прямолинейное поступательное движение тела. В таком случае можем применять модель материальной точки. Ускорение направлено вдоль той же прямой, вдоль которой материальная точка движется (см. рис. 6).
Поступательное движение
|
Поступательное движение - это такое движение, при котором все точки тела движутся одинаково: с одинаковой скоростью, совершая одинаковое перемещение (см. рис. 7).
Рис. 7. Поступательное движение А как еще может быть? Взмахните рукой и проследите: понятно, что ладонь и плечо двигались по-разному. Посмотрите на колесо обозрения: точки вблизи оси почти не движутся, а кабинки движутся с другой скоростью и по другим траекториям (см. рис. 8).
Рис. 8. Движение выбранных точек на колесе обозрения Посмотрите на движущийся автомобиль: если не учитывать вращение колес и движение частей мотора, все точки автомобиля движутся одинаково, движение автомобиля считаем поступательным (см. рис. 9).
Рис. 9. Движение автомобиля Тогда нет смысла описывать движение каждой точки, можно описать движение одной. Автомобиль считаем материальной точкой. Обратите внимание, что при поступательном движении линия, соединяющая любые две точки тела при движении, остается параллельной сама себе (см. рис. 10).
Рис. 10. Положение линии, соединяющей две точки |
Автомобиль ехал прямолинейно в течение часа. В начале часа его скорость была 10 км/ч, а в конце - 100 км/ч (см. рис. 11).
Рис. 11. Рисунок к задаче
Скорость изменялась равномерно. Сколько километров проехал автомобиль?
Проанализируем условие задачи.
Скорость автомобиля изменялась равномерно, то есть всё время пути его ускорение было постоянным. Ускорение по определению равно:
Автомобиль ехал прямолинейно, поэтому мы можем рассматривать его движение в проекции на одну ось координат:
Найдем перемещение.
Пример возрастающей скорости
|
На стол кладут орехи, по одному ореху в минуту. Понятно: сколько минут пройдет, столько орехов на столе окажется. А теперь представим, что скорость накладывания орехов равномерно возрастает с нуля: первую минуту орехов не кладут, во вторую кладут один орех, потом два, три и так далее. Сколько орехов окажется на столе через какое-то время? Понятно, что меньше, чем если бы максимальная скорость поддерживалась всегда. Причем хорошо видно, что меньше в 2 раза (см. рис. 12).
Рис. 12. Количество орехов при разной их скорости выкладывании Так же и с равноускоренным движением: допустим, сначала скорость была равна нулю, в конце стала равна (см. рис. 13).
Рис. 13. Изменение скорости Если бы тело постоянно двигалось с такой скоростью, его перемещение было бы равно , но поскольку скорость равномерно возрастала - то в 2 раза меньше. |
Мы умеем находить перемещение при РАВНОМЕРНОМ движении: . Как обойти эту проблему? Если скорость изменяется не на много, то движение можно приближенно считать равномерным. Изменение скорости будет небольшим за небольшой интервал времени (см. рис. 14).
Рис. 14. Изменение скорости
Поэтому разобьем время в пути T на N небольших отрезков длительностью (см. рис. 15).
Рис. 15. Разбиение отрезка времени
Подсчитаем перемещение на каждом отрезке времени. Скорость прирастает на каждом интервале на:
На каждом отрезке мы будем считать движение равномерным и скорость приближенно равной начальной скорости на данном отрезке времени. Посмотрим, не приведет ли к ошибке наше приближение, если на небольшом промежутке движение будем считать равномерным. Максимальная ошибка будет равна:
и суммарная ошибка за всё время пути -> . При больших N принимаем ошибка близка к нулю. Это мы увидим и на графике (см. рис. 16): на каждом интервале будет ошибка, но суммарная ошибка при достаточно большом количестве интервалов будет пренебрежимо мала.
Рис. 16. Ошибка на интервалах
Итак, каждое следующее значение скорости на одну и ту же величину больше предыдущего. Из алгебры мы знаем, что это арифметическая прогрессия с разностью прогрессии :
Путь на участках (при равномерном прямолинейном движении (см. рис. 17) равен:
Рис. 17. Рассмотрение участков движения тела
На втором участке:
На n-м участке путь равен:
Арифметическая прогрессия
|
Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Арифметическая прогрессия задается двумя параметрами: начальный член прогрессии и разность прогрессии . Тогда последовательность записывается так: Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
|
Просуммируем все пути. Это будет сумма первых N членов арифметической прогрессии:
Т. к. мы разбили движение на много интервалов, то можно считать, что , тогда:
У нас было множество формул, и, чтобы не запутаться, мы не писали каждый раз индексы х, но рассматривали всё в проекции на координатную ось.
Итак, мы получили главную формулу равноускоренного движения: перемещение при равноускоренном движении за время T, которую мы наряду с определением ускорения (изменение скорости за единицу времени) будем использовать для решения задач:
Мы занимались решением задачи об автомобиле. Подставим в решение числа и получим ответ: автомобиль проехал 55,4 км.
Математическая часть решения задачи
С перемещением мы разобрались. А как определить координату тела в любой момент времени?
По определению перемещение тела за время - это вектор, начало которого находится в начальной точке движения, а конец - в конечной точке, в которой тело будет через время . Нам нужно найти координату тела, поэтому запишем выражение для проекции перемещения на ось координат (см. рис. 18):
Рис. 18. Проекция перемещения
Выразим координату :
То есть координата тела в момент времени равна начальной координате плюс проекция перемещения, которое совершило тело за время . Проекцию перемещения при равноускоренном движении мы уже нашли, осталось подставить и записать:
Это и есть уравнение движения с постоянным ускорением. Оно позволяет узнать координату движущейся материальной точки в любой момент времени. Понятно, что момент времени мы выбираем в пределах промежутка, когда работает модель: ускорение постоянное, движение прямолинейное.
Почему уравнение движения нельзя применять для нахождения пути
|
В каких случаях мы можем считать перемещение по модулю равным пути? Когда тело движется вдоль прямой и не меняет направления. Например, при равномерном прямолинейном движении мы не всегда четко оговариваем, путь мы находим или перемещение, всё равно они совпадают. При равноускоренном движении скорость изменяется. Если скорость и ускорение направлены в противоположные стороны (см. рис. 19), то модуль скорости убывает, и в какой-то момент он станет равен нулю и скорость поменяет направление, то есть тело начнет двигаться в противоположную сторону.
Рис. 19. Модуль скорости убывает И тогда, если в данный момент времени тело находится на расстоянии 3 м от начала наблюдения, то его перемещение равно 3 м, но если тело сначала прошло 5 м, затем развернулось и прошло еще 2 м, то путь будет равен 7 м. И как же его найти, если не знать этих чисел? Просто надо найти момент, когда скорость равна нулю, то есть когда тело развернется, и найти путь к этой точке и от нее (см. рис. 20).
Рис. 20. Момент, когда скорость равна 0 |
Список литературы
- Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. - 2-е издание передел. - X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. - 464 с.
- Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики; т.1. Механика. Теплота. Молекулярная физика - М.: Издательство «Наука», 1985.
- Интернет портал «kaf-fiz-1586.narod.ru» ()
- Интернет портал «Учеба - Легко» ()
- Интернет портал «Гипермаркет знаний» ()
Домашнее задание
- Что такое арифметическая прогрессия?
- Какое движение называется поступательным?
- Чем характеризуется векторная величина?
- Запишите формулу для ускорения через изменение скорости.
- Какой вид имеет уравнение движения с постоянным ускорением?
- Вектор ускорения направлен в сторону движения тела. Как будет изменять свою скорость тело?
При равноускоренном движении справедливы следующие уравнения, которые мы приводим без вывода:
Как вы понимаете, векторная формула слева и две скалярные формулы справа равноправны. С точки зрения алгебры, скалярные формулы означают, что при равноускоренном движении проекции перемещения зависят от времени по квадратичному закону. Сравните это с характером проекций мгновенной скорости (см. § 12-з).
Зная, что sx = x – xo и sy = y – yo (см. § 12-е), из двух скалярных формул из правой верхней колонки получим уравнения для координат:
Поскольку ускорение при равноускоренном движении тела постоянно, то координатные оси всегда можно расположить так, чтобы вектор ускорения был направлен параллельно одной оси, например оси Y. Следовательно, уравнение движения вдоль оси X заметно упростится:
x = xo + υox t + (0) и y = yo + υoy t + ½ ay t²
Обратите внимание, что левое уравнение совпадает с уравнением равномерного прямолинейного движения (см. § 12-ж). Это означает, что равноускоренное движение может «складываться» из равномерного движения вдоль одной оси и равноускоренного движения вдоль другой. Подтверждением этому служит опыт с ядром на яхте (см. § 12-б).
Задача . Вытянув руки, девочка подбросила шар. Он поднялся на 80 cм и вскоре упал к ногам девочки, пролетев 180 cм. С какой скоростью шар был подброшен и какую скорость шар имел при ударе о землю?
Возведём в квадрат обе части уравнения для проекции на ось Y мгновенной скорости: υy = υoy + ay t (см. § 12-и). Получим равенство:
υy² = ( υoy + ay t )² = υoy² + 2 υoy ay t + ay² t²
Вынесем за скобки множитель 2 ay только для двух правых слагаемых:
υy² = υoy² + 2 ay ( υoy t + ½ ay t² )
Заметим, что в скобках получилась формула для вычисления проекции перемещения: sy = υoy t + ½ ay t². Заменяя её на sy , получим:
Решение. Сделаем чертёж: ось Y направим вверх, а начало координат поместим на земле у ног девочки. Применим выведенную нами формулу для квадрата проекции скорости сначала в верхней точке подъёма шара:
0 = υoy² + 2·(–g)·(+h) ⇒ υoy = ±√¯2gh = +4 м/с
Затем при начале движения из верхней точки вниз:
υy² = 0 + 2·(–g)·(–H) ⇒ υy = ±√¯2gh = –6 м/с
Ответ: шар был брошен вверх со скоростью 4 м/с, а в момент приземления имел скорость 6 м/с, направленную против оси Y.
Примечание. Надеемся, вы понимаете, что формула для квадрата проекции мгновенной скорости будет верна по аналогии и для оси X:
Если движение одномерное, то есть происходит только вдоль одной оси, можно пользоваться любой из двух формул в рамках.
Ускорение. Прямолинейное движение с постоянным ускорением. Мгновеннная скорость.
Ускорение показывает, как быстро меняется скорость тела.
t 0 = 0c v 0 = 0 м/с Скорость изменилась на v = v 2 - v 1 в течение
t 1 = 5c v 1 = 2 м/ с промежутка времени = t 2 - t 1 . Значит за 1 с скорость
t 2 = 10c v 2 = 4 м/с тела увеличится на = .
t 3 = 15c v 3 = 6 м/с = или = . (1 м/с 2)
Ускорение – векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.
Физический смысл : а = 3 м/с 2 – это значит, что за 1 с модуль скорости меняется на 3 м/с.
Если тело разгоняется а>0, если тормозит а
Аt = ; = + аt мгновенная скорость тела в любой момент времени. (Функция v(t)).
Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение движения
Д
ля
равномерного движения S=v*t,
где v
и t
являются сторонами прямоугольника под
графиком скорости. Т.е. перемещение =
площади фигуры под графиком скорости.
Аналогично
можно найти перемещение при равноускоренном
движении. Нужно всего лишь найти отдельно
площадь прямоугольника, треугольника
и сложить их. Площадь прямоугольника
v 0 t,
площадь треугольника (v-v 0)t/2,
где мы делаем замену v
– v 0 =
аt . Получим s
= v 0 t
+ аt 2 /2
s = v 0 t + аt 2 /2
Формула перемещения при равноускоренном движении
Учитывая, что вектор s = х-х 0 , получим х-х 0 = v 0 t + аt 2 /2 или вынесем начальную координату вправо х = х 0 + v 0 t + аt 2 /2
х = х 0 + v 0 t + аt 2 /2
По этой формуле можно найти координату ускоренно движущегося тела в любой момент времени
При равнозамедленном движении перед буквой «а» в формулах знак + можно заменить на -
