Прямая на плоскости – необходимые сведения. Взаимное расположение двух прямых
Британская супермодель, дизайнер и фэшн икона. Несмотря на свою чрезмерную худобу и невысокий рост является одной из самых известных и высокооплачиваемых топ-моделей мира. Бывшая подруга звезды Голливуда Джонни Деппа / Johnny Depp и британского рокера Пита Доэрти / Pete Doherty, супруга музыканта группы The Kills Джейми Хинса / Jamie Hince.
Кэтрин Энн Мосс / Katherine Ann Moss родилась 16 января 1974 года в английском Кройдоне в семье барменши Линды Розины / Linda Rosina и турагента Питера Эдварда Мосса / Peter Edward Moss. Когда ей было 13 лет, ее родители развелись. У Кейт есть младший брат Ник / Nick, сводная сестра Шарлотта / Charlotte и сводный брат.
14-летняя Кейт Мосс летела домой после каникул на Багамах, когда в аэропорту Нью-Йорка на нее обратила внимание основательница модельного агентства Storm Model Management Сара Дукас / Sarah Doukas. Слава пришла к Кейт Мосс спустя два года, в 1990 году, когда она появилась на обложке британского журнала The Face.
Модельная карьера Кейт Мосс / Kate Moss
В 1993 году Кейт Мосс получила мировую известность, снявшись в рекламной кампании Calvin Klein. Ее «героиновый шик» вызвал много споров, негативную оценку ему дал даже тогдашний президент США Билл Клинтон . В ответ на упреки в нездоровой худобе Мосс заявляла, что не страдает от анорексии.
Несмотря на то, что Кейт Мосс внешне сильно выделялась на фоне других супермоделей: Синди Кроуфорд / Cindy Crawford, Эль Макферсон / Elle Macpherson, Клаудии Шиффер / Claudia Schiffer и Наоми Кэмпбелл / Naomi Campbell, - она не уступала им в популярности и уровне доходов.
Кейт Мосс участвовала в показах и рекламных кампаниях таких марок, как Gucci, Dolce & Gabbana, Calvin Klein, Chanel, Rimmel, Bulgari. Она появлялась на обложках Vanity Fair, Face, W, а также британского, американского и французского Vogue, причем для обложки британского издания она снималась 30 раз.
Больше 10 лет Кейт Мосс является лицом косметической марки Rimmel London. Она рекламировала парфюмы Coco Mademoiselle и Yves Saint-Laurent Opium.
Влияние Кейт Мосс на современную моду было отмечено Советом модных дизайнеров Америки, вручившим ей свою премию. За свое пристрастие к мехам Кейт Мосс в 2008 году попала в список «Самых плохо одетых знаменитостей» PETA.
Кейт Мосс / Kate Moss и скандал с наркотиками
В сентябре 2005 года газета Daily Mirror опубликовала на первой странице фото, на котором видно, как Кейт Мосс принимает кокаин. Фотография была сделана менеджером группы Babyshambles Джеймсом Маллордом / James Mullord, продавшим снимок за 150 тысяч фунтов.
В результате разразившегося скандала Мосс потеряла контракт с сетью H&M, который должен был принести ей 4 миллиона фунтов за год, а также с Chanel и Burberry. В этот период модель поддержали Dior, Alexander McQueen и журнал W, не прекратившие свое сотрудничество с ней.
В октябре 2005 года Кейт Мосс прошла курс реабилитации в клинике в Аризоне.
Спустя год после скандала на счету Кейт Мосс вновь было 18 контрактов, в том числе с Rimmel, Agent Provocateur, Virgin Mobile, Calvin Klein Jeans и Burberry. В 2006 году она получила британскую премию «Модель года».
В 2007 году Кейт Мосс выпустила совместно с Кэти Ингланд / Katy England коллекцию для Topshop. Вместе с компанией Coty она запустила четыре парфюма. В 2010 она стала автором дизайна сумочек Longchamp. С осени 2011 года до зимы 2012 года Кейт являлась лицом испанской сети Mango.
В итоге после скандала супермодель стала зарабатывать еще больше – около 9 миллионов фунтов в год. В 2007 газета Sunday Times оценила ее состояние в 45 миллионов фунтов стерлингов, что поставило ее на 99-е место в списке самых богатых женщин Великобритании. В том же году журнал Forbes поставил ее на второе место в рейтинге самых высокооплачиваемых моделей в мире.
Кейт Мосс / Kate Moss вне подиума
Кейт Мосс появлялась в музыкальных клипах групп Primal Scream , White Stripes , Stage Dolls , Элтона Джона / Elton John, Марианны Фейтфул / Marianne Faithfull, Джонни Кэша / Johnny Cash и Джорджа Майкла / George Michael.
Ее голос можно услышать на дисках Primal Scream , Babyshambles , The Lemonheads . Вместе со своим экс-бойфрендом Питом Доэрти она написала четыре песни для второго альбома Babyshambles «Shotter"s Nation».
В 1992 вместе с другими топ-моделями Кейт Мосс снялась в британской комедии «Инферно ». В 1999 она появилась в британском комедийном сериале «Черная гадюка туда-сюда ».
В 2012 Кейт Мосс вместе с другими британскими топ-моделями участвовала в церемонии открытия Олимпийских игр в Лондоне.
Кейт Мосс поддерживает фонды по борьбе с раком, в том числе раком груди, фонд War Child, фонд SamandRuby, созданный после гибели ее подруги Саманты Арчер Файет / Samantha Archer Fayet и ее шестимесячной дочери Руби Роуз / Ruby Rose во время цунами 2004 года. Также Кейт Мосс поддерживает фонд Элтона Джона по борьбе со СПИДом, Hoping Foundation, Lucie Blackman Trust, Make Poverty History, Comic Relief и Homes of Hope.
Личная жизнь Кейт Мосс / Kate Moss
В 1994 год у Кейт Мосс начался роман с актером Джонни Деппом . В 1998 пара объявила о помолвке, но через несколько месяцев звезды расстались.
В 2002 году Кейт Мосс родила дочь Лилу Грейс Мосс Хэк / Lila Grace Moss Hack от главного редактора журнала Dazed & Confused Джефферсона Хэка / Jefferson Hack.
В 2005 году на своем дне рождения Кейт Мосс познакомилась с фронтменом группы Libertines Питом Доэрти . В апреле 2007 Доэрти объявил об их помолвке, однако они расстались в том же году.
В конце 2007 года Кейт Мосс начала встречаться с гитаристом группы The Kills Джейми Хинсом / Jamie Hince. В июле 2011 года они поженились, венчание состоялось в Глостершире. Невеста была в платье от John Galliano.
Интересные факты о Кейт Мосс / Kate Moss
Кейт Мосс – крестная мать дочери Джуда Лоу / Jude Law и Сэди Фрост / Sadie Frost Айрис / Iris. Сэди, в свою очередь, является крестной Лилы Мосс.
В 2005 году портрет Кейт Мосс , созданный Люсьеном Фрейдом / Lucian Freud был продан на аукционе Christie`s почти за 4 миллиона фунтов.
В январе 2012 Кейт Мосс планировала выступить в качестве ассистентки фокусника на показе своей подруги Стеллы МакКартни / Stella McCartney, но была вынуждена прекратить репетиции из-за временного онемения правой руки.
В 1995 году она стала 22-ой в списке «100 самых сексуальных женщин» по версии журнала FHM, а в 1999 заняла 9-е место в рейтинге «50 самых сексуальных женщин» журнала Maxim. В 1999 году американский Vogue включил ее в число «Современных Муз». В 2007 Мосс получила титул «Самой сексуальной женщиной» от журнала NME.
Фильмография Кейт Мосс / Kate Moss
- The 4 Dreams of Miss X (2007)
- Черная Гадюка туда-сюда / Blackadder Back & Forth (1999)
- Inferno / Inferno (1992)
Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай:
1. Параллельные прямые линии.
· Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
· Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны.
Это свойство параллельного проецирования остается справедливым и для ортогональных проекций, то есть если AB//CD то A1B1//C1D1; A2B2//C2D2; A3B3//C3D3 (рис.3.19). В общем случае справедливо и обратное утверждение.
А) модель
Б) эпюр
Рисунок 3.19. Параллельные прямые
Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 3.20). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П3 пересекаются, следовательно, они не параллельны.
Решение этого вопроса можно получить сравнением двух соотношений если:
А2В2/ А1В1= С2Д2/ С1 Д1Þ АВ//СД
А2В2/ А1В1¹ С2Д2/ С1Д1Þ АВ#СД
А) модель
Б) эпюр
Рисунок 3.20. Прямые параллельные профильной плоскости проекций
Пересекающиеся прямые.
Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.
Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рис. 3.21).
А) модель
Б) эпюр
Рисунок 3.22.Одна из прямых параллельна профильной плоскости проекций
2. Пересекающие прямые расположены в общей для них проекционной плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 3.23). О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной проекции, например, на горизонтальную плоскость проекций (А1В1∩С1D1ÞАВ∩СD)
А) модель
Б) эпюр
Рисунок 3.23. Пересекающиеся прямые расположены в фронтально проецирующей плоскости
Скрещивающиеся прямые
Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.
Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.
Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рис. 3.24) соответствуют две точки А и В, из которых одна принадлежит прямой а, другая в. Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. На предложенном примере ближе точка В лежащая на прямой в, следовательно, прямая в проходит в этом месте ближе прямой а и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. (Для точек С и Д решение аналогично).
Этот способ определения видимости по конкурентным точкам. В данном случае точки А и В - фронтально конкурирующие, а С и Д -горизонтально конкурирующие.
А) модель
Б) эпюр
Рисунок 3.24. Скрещивающиеся прямые
Проекции плоских углов
Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Углом между прямыми называется меньший из двух углов между лучами, параллельными этим прямым. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.
Рассмотрим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов:
1. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (Теорема о проецировании прямого угла)
Рисунок 3.25. Теорема о проецировании прямого угла
Рисунок 3.26. Обратная теорема о проецировании прямого угла
Дано: АВС = 90 о; [ВС] // П1; [АС] # П1.
Для доказательства теоремы продлим отрезок АС до пересечения с плоскостью П1 (рис. 3.25) получим горизонтальный след прямой - точку М º М1, одновременно принадлежащую прямой и ее проекции. Из свойства ортогонального проецирования следует, что [ВС] // [В1С1]. Если через точку М проведем прямую МD параллельную С1В1 , то она будет параллельна и СВ, а следовательно ÐСМD= 90о. Согласно теореме о трех перпендикулярах ÐС1МD=90о. Таким образом, ^[А1С1] и //[В1С1], следовательно, ÐА1С1В1= 90о, что и требовалось доказать. В случае когда [АС]^П1 проекцией угла, согласно свойствам ортогонального проецирования, будет прямая линия.
2. Если проекция угла представляет угол 900, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 3.26).
3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.
4. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.
5. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением.
Лекция №4
Типы задач начертательной геометрии
Решение многих задач способами начертательной геометрии, в конечном счете, сводится к определению позиционных и метрических характеристик геометрических объектов. В связи с этим все многообразие задач может быть отнесено к двум группам:
1.Задачи позиционные – решение, которых должно давать ответ на вопрос о взаимном расположении геометрических объектов (в частном случае, выяснить их взаимную принадлежность) как по отношению друг к другу, так и относительно системы координатных плоскостей проекций.
2.Задачи метрические – при решении задач этой группы появляется возможность ответить на вопросы, касающиеся как внутренней метрики заданных геометрических объектов (определение расстояния между различными точками объекта и нахождения углов между линиями и поверхностями, принадлежащими этому объекту), так и определение расстояний между точками и величин углов между линиями и поверхностями, принадлежащими различным объектам.
В начертательной геометрии задачи решаются графически. Количество и характер геометрических построений при этом определяются не только сложностью задачи, но и в значительной степени зависит от того, с какими проекциями (удобными или неудобными) приходится иметь дело. При этом наиболее выгодным частным положением геометрического объекта следует считать:
· Положение, перпендикулярное к плоскости проекций (для решения позиционных, а в ряде случаев, и метрических задач);
· Положение, параллельное по отношению к плоскости проекций (при решении метрических задач).
При решении метрических задач, связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям.
Рассмотрим на примере:
Определить расстояние от точки А до прямой m.
Расстояние от точки до прямой - это натуральная величина перпендикуляра восстановленного из точки к прямой линии. Простейшим условием такой задачи является случай, когда прямая является проецирующей. Определим расстояние от точки А до прямой m, когда прямая является горизонтально проецирующей линией (рис. 4.1), т.е. m^П1, m \\ П2, m \\ П3. Согласно, теореме о проецировании прямого угла, перпендикуляр из проекций точки А можно проводить к фронтальной и профильной проекции прямой m, при этом полученный отрезок АК- горизонталь, т.е. параллелен горизонтальной плоскости проекций и на эту плоскость проецируется в натуральную величину.
А) модель
Б) эпюр
Рисунок 4.1. Расстояние от точки до горизонтально проецирующей прямой
Похожая информация.
Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Прямая на плоскости – понятие
Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.
Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.
Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.
Имеем аксиому:
Определение 1
На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.
Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d .
Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.
Чтобы обозначить, принадлежит точка плоскости или точка прямой, используют знак « ∈ ». Если в условии дано, что точка A лежит на прямой a , тогда это имеет такую форму записи A ∈ a . В случае, когда точка А не принадлежит, тогда другая запись A ∉ a .
Справедливо суждение:
Определение 2
Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.
Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В, то прямую, проходящую через них можно назвать данными буквами, например, прямая А В. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:
Определение 3
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.
Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.
Если дано, что точки А и Р – концы отрезка, значит, его обозначение примет вид Р А или А Р. Так как обозначения отрезка и прямой совпадают, рекомендовано дописывать или договаривать слова «отрезок», «прямая».
Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉ . Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂ . Если в условии дано, что отрезок А Р принадлежит прямой b , значит, и запись будет выглядеть следующим образом: А Р ⊂ b .
Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А, В, С, которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С, следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .
Точка делит прямую на две части, называемые лучами.Имеем аксиому:
Определение 4
Любая точка O , находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O , а другие – по другую сторону луча.
Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.
Определение 5
совпадать .
Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.
Определение 6
Две прямые на плоскости могут пересекаться .
Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩ . Если имеется форма записи a ∩ b = M , то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M .
При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными.Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a ⊥ b , а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b .
Определение 7
Две прямые на плоскости могут быть параллельны .
Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b: a ∥ b .
Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.
Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.
Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.
Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:
- если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
- если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
- если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.
Рассмотрим это на рисунках.
Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.
Определение 8
Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.
Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки. 
Определение 9
Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.
Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.
Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.
Определение 10
Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.
Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.
Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:
Определение 11
Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.
И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
