Чтобы умножить числа с разными знаками. “Умножение и деление чисел с разными знаками”

В этой статье мы разберемся с умножением чисел с разными знаками . Здесь мы сначала сформулируем правило умножения положительного и отрицательного числа, обоснуем его, а после этого рассмотрим применение данного правила при решении примеров.

Навигация по странице.

Правило умножения чисел с разными знаками

Умножение положительного числа на отрицательное, а также отрицательного на положительное, проводится по следующему правилу умножения чисел с разными знаками : чтобы умножить числа с разными знаками, надо умножить , и перед полученным произведением поставить знак минус.

Запишем данное правило в буквенном виде. Для любого положительного действительного числа a и действительного отрицательного числа −b справедливо равенство a·(−b)=−(|a|·|b|) , а также для отрицательного числа −a и положительного числа b справедливо равенство (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Правило умножения чисел с разными знаками полностью согласуется со свойствами действий с действительными числами . Действительно, на их основе несложно показать, что для действительных и положительных чисел a и b справедлива цепочка равенств вида a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0 , которая доказывает, что a·(−b) и a·b – противоположные числа, откуда следует равенство a·(−b)=−(a·b) . А из него следует справедливость рассматриваемого правила умножения.

Следует отметить, что озвученное правило умножения чисел с разными знаками справедливо как для действительных чисел, так и для рациональных чисел и для целых чисел . Это следует из того, что действия с рациональными и целыми числами обладают теми же свойствами, которые использовались при доказательстве выше.

Понятно, что умножение чисел с разными знаками по полученному правилу сводится к умножению положительных чисел.

Осталось лишь рассмотреть примеры применения разобранного правила умножения при умножении чисел с разными знаками.

Примеры умножения чисел с разными знаками

Разберем решения нескольких примеров умножения чисел с разными знаками . Начнем с простого случая, чтобы сосредоточиться на шагах правила, а не на вычислительных сложностях.

Пример.

Выполните умножение отрицательного числа −4 на положительное число 5 .

Решение.

По правилу умножения чисел с разными знаками нам сначала нужно перемножить модули исходных множителей. Модуль −4 равен 4 , а модуль 5 равен 5 , а умножение натуральных чисел 4 и 5 дает 20 . Наконец, осталось поставить знак минус перед полученным числом, имеем −20 . На этом умножение завершено.

Кратко решение можно записать так: (−4)·5=−(4·5)=−20 .

Ответ:

(−4)·5=−20 .

При умножении дробных чисел с разными знаками нужно уметь выполнять умножение обыкновенных дробей , умножение десятичных дробей и их комбинаций с натуральными и смешанными числами.

Пример.

Проведите умножение чисел с разными знаками 0,(2) и .

Решение.

Выполнив перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь , а также выполнив переход от смешанного числа к неправильной дроби , от исходного произведения мы придем к произведению обыкновенных дробей с разными знаками вида . Это произведение по правилу умножения чисел с разными знаками равно . Осталось лишь перемножить обыкновенные дроби в скобках, имеем .

Воспитательные:

Воспитание активности;

Тип урока

Оборудование:

Проектор и компьютер.

План урока

1.Организационный момент

2. Актуализация знаний

3. Математический диктант

4.Выполнение теста

5. Решение упражнений

6. Итог урока

7. Домашнее задание.

Ход урока

1. Оргмомент

Сегодня мы продолжим работать над умножением и делением положительных и отрицательных чисел. Задача каждого из вас - разобраться в том, как он освоил эту тему, и если потребуется- доработать то, что еще не совсем получается. Кроме того вы узнаете много интересного о первом месяце весны - марте. (Слайд1)

2. Актуализация знаний.

3x=27; -5 x=-45; x:(2,5)=5.

3.Математический диктант (слайд 6,7)

Вариант 1

Вариант 2

4. Выполнение теста (слайд 8)

Ответ: Мартиус

5.Решение упражнений

(Слайды с 10 по 19)

4 марта -

2) y×(-2,5)=-15

6 марта

3) -50, 4:x=-4, 2

4) -0,25:5×(-260)

13 марта

5) -29,12: (-2,08)

14 марта

6) (-6-3,6×2,5) ×(-1)

7) -81,6:48×(-10)

17 марта

8) 7,15×(-4): (-1,3)

22 марта

9) -12,5×50: (-25)

10) 100+(-2,1:0,03)

30 марта

6. Итог урока

7. Домашнее задание:

Просмотр содержимого документа
«“Умножение и деление чисел с разными знаками”»

Тема урока: “Умножение и деление чисел с разными знаками”.

Цели урока: повторение изученного материала по теме “Умножение и деление чисел с разными знаками”, отработка навыков применения операций умножения и деления положительного числа на отрицательное число и наоборот, а также отрицательного числа на отрицательное число.

Задачи урока:

Образовательные:

Закрепление правил по данной теме;

Формирование умений и навыков работы с операциями умножения и деления чисел с разными знаками.

Развивающие:

Развитие познавательного интереса;

Развитие логического мышления, памяти, внимания;

Воспитательные:

Воспитание активности;

Привитие учащимся навыков самостоятельной работы;

Воспитание любви к природе, привитие интереса к народным приметам.

Тип урока . Урок-повторения и обобщения.

Оборудование:

Проектор и компьютер.

План урока

1.Организационный момент

2. Актуализация знаний

3. Математический диктант

4.Выполнение теста

5. Решение упражнений

6. Итог урока

7. Домашнее задание.

Ход урока

1. Оргмомент

Здравствуйте, ребята! Чем мы занимались на предыдущих уроках? (Умножением и делением рациональных чисел.)

2. Актуализация знаний.

Повторить правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел.

Вспомнить мнемоническое правило. (Слайд 2)

Выполнить умножение: (слайд 3)

5×3; 9×(-4); -10×(-8); 36×(-0,1); -20×0,5; -13×(-0,2).

2. Выполните деление: (слайд 4)

48:(-8); -24: (-2); -200:4; -4,9:7; -8,4: (-7); 15:(- 0,3).

3. Решите уравнение: (слайд 5)

3x=27; -5 x=-45; x:(2,5)=5.

3.Математический диктант (слайд 6,7)

Вариант 1

Вариант 2

Учащиеся меняются тетрадями, выполняют проверку и ставят оценку.

4. Выполнение теста (слайд 8)

Когда-то в старину на Руси отсчет лет вели с 1 марта, с начала сельскохозяйственной весны, с первой весенней капели. Март был «зачинателем» года. Название месяца «март» идет от римлян. Они назвали этот месяц в честь одного из своих богов, узнать, что это за бог, вам поможет тест.

Ответ: Мартиус

У римлян один месяц года в честь бога войны Марса был назван мартиусом. На Руси это название упростили, взяв лишь первые четыре буквы.(Слайд 9).

В народе говорят: « Март неверен, то плачет, то смеется». С мартом связано много народных примет. Некоторые дни его имеют свои названия. Давайте сейчас все вместе мы составим народный месяцеслов на март.

5.Решение упражнений

Учащиеся у доски решают примеры, ответы которых являются днями месяца. На доске появляется пример, а затем день месяца с названием и народной приметой.

(Слайды с 10 по 19)

4 марта - Архип. На Архипа женщинам полагалось весь день провести на кухне. Чем больше она наготовит всякой еды, тем богаче будет дом.

2) y×(-2,5)=-15

6 марта - Тимофей-весновой. Коли в Тимофеев день снежок задулинами, то урожай на яровые.

3) -50, 4:x=-4, 2

4) -0,25:5×(-260)

13 марта - Василий-капельник: с крыш каплет. Птицы гнезда завивают, а перелетные летят из теплых мест.

5) -29,12: (-2,08)

14 марта - Евдокия (Авдотья-плющиха) - снег плющит настом. Вторая встреча весны (первая на Стретение). Какова Евдокия - таково и лето. Евдокия красна - и весна красна; на Евдокию снег - к урожаю.

6) (-6-3,6×2,5) ×(-1)

7) -81,6:48×(-10)

17 марта - Герасим-грачевник - грачей пригнал. Грачи на пашню садятся, а коли прямо на гнезда летят - дружная весна будет.

8) 7,15×(-4): (-1,3)

22 марта - Сороки - день равен ночи. Зима кончается, весна начинается, прилетают жаворонки. По старинному обычаю из теста пекут жаворонков и куликов.

9) -12,5×50: (-25)

10) 100+(-2,1:0,03)

30 марта - Алексей-теплый. С гор вода, а рыба со стану (с зимовья). Каковы в этот день ручьи (большие или малые), такова и пойма (разлив).

6. Итог урока

Ребята, понравился ли вам сегодняшний урок? Что нового вы сегодня узнали? Что мы повторили? Я предлагаю вам подготовить самим месяцеслов на апрель. Вы должны найти приметы апреля и составить примеры с ответами, соответствующими дню месяца.

7. Домашнее задание: стр. 218 №1174, 1179(1) (Слайд20)

Цели урока:

Обучающие :

формулирование правил умножения чисел с одинаковыми и разными знаками;
овладение и совершенствование навыков умножения чисел с разными знаками.

Развивающие:

развитие мыслительных операций: сравнение, обобщение, анализ, аналогия;
развитие навыков самостоятельной работы;
расширение кругозора учащихся.

Воспитательные :

воспитание культуры оформления записей;
воспитание ответственности, внимания;
воспитание интереса к предмету.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: компьютер, мультимедиапроектор, карточки для игры «Математический бой», тесты, карты учёта знаний.

На стенах плакаты:

Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит.
Ал-Бируни
Во всём мне хочется дойти до самой сути…
Б. Пастернак

План урока

Организационный момент (1 мин).
Вступительное слово учителя (3 мин).
Устная работа (10 мин).
Изложение материала (15 мин).
Математическая цепочка (5 мин).
Домашнее задание (2 мин).
Тест (6 мин).
Итог урока (3 мин).

Ход урока

I. Организационный момент

готовность учащихся к уроку.

II. Вступительное слово учителя

Ребята, мы сегодня с вами встретились не зря, а для плодотворной работы: получения знаний.

С тех пор, как существует мирозданье,
Такого нет, кто б не нуждался в знанье.
Какой мы не возьмём язык и век,
Всегда стремился к знанью человек…
Рудаки

На уроке мы будем изучать новый материал, закреплять его, работать самостоятельно, оценивать себя и своих товарищей. У каждого на столе лежит карта учета знаний, в которой наш урок разделён на этапы. Заработанные вами баллы на разных этапах урока вы сами будете заносить в эту карту. А в конце урока подведём итоги. Положите эти карты на видное место.

III. Устная работа (в виде игры «Математический бой»)

Ребята, прежде чем приступить к новой теме, повторим ранее изученное. У каждого на парте лежит лист с игрой «Математический бой». В вертикальных и горизонтальных столбцах записаны числа, которые необходимо сложить. Эти числа отмечены точками. Ответы запишем в те клеточки на поле, где и стоят точки.

Три минуты на выполнение. Начали работу.

А теперь обменялись работами с соседом по парте и проверяем их друг у друга. Если вы считаете, что ответ неправильный, то аккуратно зачеркните его и рядом впишите правильный. Проверяем.

А сейчас сверим ответы с экраном (на экран проектируются правильные ответы).

За правильно решенные

5 заданий ставим 5 баллов;
4 задания – 4 балла;
3 задания – 3 балла;
2 задания – 2 балла;
1 задание – 1 балл.

Молодцы. Отложили всё в сторону. Ребята, в свои карты учета знаний занесём количество баллов, набранное за «Математический бой» (Приложение 1 ).

IV. Изложение материала

Открываем рабочие тетради. Записываем число, классная работа.

Какие действия над положительными и отрицательными числами вы знаете?
Как сложить два отрицательных числа?
Как сложить два числа с разными знаками?
Как вычесть числа с разными знаками?
Вы всегда употребляете слово «модуль». А что называется модулем числа а ?

Сегодняшняя тема урока также связана с действием над числами разных знаков. Но она спряталась в анаграмме, в которой необходимо поменять местами буквы и получить знакомое слово. Попробуем разгадать.

ЕНОЖЕУМНИ

Записываем тему урока: «Умножение».

Цель нашего урока: познакомиться с умножением положительных и отрицательных чисел и сформулировать правила умножения чисел как с одинаковыми, так и с разными знаками.

Всё внимание на доску. Перед вами таблица с задачами, решив которые мы сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

2*3 = 6°С;
–2*3 = –6°С;
–2*(–3) = 6°С;
2*(–3) = –6°С;

1. Температура воздуха повышается каждый час на 2°С. Сейчас термометр показывает 0°С (Приложение 2 – Градусник) (слайд 1 на компьютере).

Сколько получили? (6 ° С).
Кто-то запишет решение на доске, а мы все в тетрадях.
Давайте посмотрим на термометр, верный мы получили ответ? (слайд 2 на компьютере).

2. Температура воздуха понижается каждый час на 2°С. Сейчас термометр показывает 0°С (слайд 3 на компьютере). Какую температуру воздуха будет показывать термометр через 3 часа?

Сколько получили? (–6 ° С).
Запишем соответствующее решение на доске и в тетрадях. Аналогия с задачей 1.
. (слайд 4 на компьютере).

3. Температура воздуха понижается каждый час на 2°С. Сейчас термометр показывает 0°С (слайд 5 на компьютере).

Сколько получили? (6 ° С).
Запишем соответствующее решение на доске и в тетрадях. Аналогия с задачами 1 и 2.
Сравним результат с показанием термометра . (слайд 6 на компьютере).

4. Температура воздуха повышается каждый час на 2°С. Сейчас термометр показывает 0°С (слайд 7 на компьютере). Какую температуру воздуха показывал термометр 3 часа назад?

Сколько получили? (–6 ° С).
Запишем соответствующее решение на доске и в тетрадях. Аналогия с задачами 1-3.
Сравним результат с показанием термометра . (слайд 8 на компьютере).

Посмотрите на свои результаты. При умножении чисел с одинаковыми знаками (примеры 1 и 3) какой по знаку получили ответ? (положительный).

Хорошо. Но вот в примере 3 оба множителя отрицательные, а ответ получили положительный. Какое математическое понятие позволяет от отрицательных чисел переходить к положительным? (модуль).

Внимание правило: Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками, надо умножить их модули и поставить перед полученным результатом знак «плюс». (2 человека повторяют).

Вернёмся к примеру 3. Чему равны модули (–2) и (–3)? Перемножим эти модули. Сколько получили? С каким знаком?

При умножении чисел с разными знаками (примеры 2 и 4) какой по знаку получили ответ? (отрицательный).

Сформулируйте сами правило умножения чисел с разными знаками.

Правило: При умножении чисел с разными знаками, надо умножить их модули и поставить перед полученным результатом знак «минус». (2 человека повторяют).

Вернёмся к примерам №2 и №4. Чему равны модули их множителей? Перемножим эти модули. Сколько получили? Какой знак необходимо поставить в результате?

С помощью этих двух правил можно умножать и дроби: десятичные, смешанные, обыкновенные.

Перед вами, на доске, несколько примеров. Три решим вместе со мной, а остальные самостоятельно. Обратите внимание на запись и оформление.

Молодцы. Откроем учебники и отметим правила, которые необходимо выучить к следующему уроку (страница 190, §7(пункт 35)). Знание этих правил поможет в дальнейшем быстро освоить деление положительных и отрицательных чисел.

V. Математическая цепочка

А сейчас Незнайка хочет проверить, как вы усвоили новый материал, и задаст вам несколько вопросов. Решение и ответы обязательно записываем в тетрадях (Приложение 3 – Математическая цепочка).

Компьютерная презентация
Здравствуйте ребята. Я вижу вы очень умные и любознательные, поэтому хочу задать вам несколько вопросов. Будьте внимательны, особенно со знаками.
Первый мой вопрос: умножить (–3) на (–13).
Второй вопрос: умножить то, что получили в первом задании на (–0,1).
Третий вопрос: результат второго задания умножить на (–2).
Четвёртый вопрос: умножить (-1/3) на результат третьего задания.
И последний, пятый вопрос: вычислите температуру замерзания ртути, умножив результат четвертого задания на 15.
Спасибо за работу. Желаю успеха.

Ребята, давайте проверим, как мы справились с заданиями. Встали все.

Сколько получили в первом задании?

У кого другой ответ, сели, и кто сел, в карту учета знаний ставим себе за математическую цепочку 0 баллов. Остальные ничего не ставят.

Сколько получили во втором задании?

У кого другой ответ, сели, и ставим себе в карту учета знаний за математическую цепочку 1 балл.

Сколько получили в третьем задании?

У кого другой ответ, сели, и ставим себе в карту учета знаний за математическую цепочку 2 балла.

Сколько получили в четвертом задании?

У кого другой ответ, сели, и ставим себе в карту учета знаний за математическую цепочку 3 балла.

Сколько получили в пятом задании?

У кого другой ответ, сели, и ставим себе в карту учета знаний за математическую цепочку 4 балла. Оставшиеся ребята решили правильно все 5 заданий. Садитесь, вы ставите себе в карту учета знаний 5 баллов за математическую цепочку.

Чему же равна температура замерзания ртути? (–39 °С).

VI. Домашнее задание

§7(пункт 35, страница 190), №1121– учебник: Математика. 6 класс: [Н.Я.Виленкин и др.]

Творческое задание: Составить задачу на умножение положительных и отрицательных чисел.

VII. Тест

Переходим к следующему этапу урока: выполнению теста (Приложение 4 ).

Вам необходимо решить задания и обвести кружком номер правильного ответа. За первые два верновыполненных задания вы получите по 1 баллу, за 3 задание – 2 балла, за 4 задание – 3 балла. Начали работу.

Δ –1 балл;
o –2 балла;
–3 балла.

А теперь номера правильных ответов запишем в таблицу под тестом. Проверим полученные результаты. У вас в пустых клеточках должно получиться число 1418 (записываю на доске) . Кто получил его – ставит в карту учета знаний 7 баллов. Кто допустил ошибки, то в карту учета знаний ставит количество баллов, набранное только за верновыполненные задания.

Именно 1418 дней длилась Великая Отечественная война, победа в которой русскому народу досталась тяжелой ценой. И 9 мая 2010 года мы будем отмечать 65-летие Победы над фашистской Германией.