Что такое экспоненциальный рост. Экспоненциальный рост

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений - число смертей

(Здесь r - так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN - число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N - численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

где N 0 - число особей в популяции на начало отсчета, а t - время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится - теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати - более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую - два, на третью - четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы - пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K. Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Когда N намного меньше K, членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K, значение 1 - (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K. Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий - S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерра, уравнение Лотка-Вольтерра. (Вито Вольтерра (1860–1940) - выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка (1880–1949) - американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это - достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Здравствуйте! Сегодня мы с вами попробуем разобраться, что такое экспоненциальный рост. Экспоненциальный рост - возрастание величины в геометрической прогрессии. Величина растет со скоростью, пропорциональной её значению. Это означает, что для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Разберем это на примере. Может, вы помните из биологии, что бактерии размножаются ОЧЕНЬ быстро. Рост популяции бактерий аналогичен росту непрерывно начисляемых процентов. Я это покажу, когда будем решать задачу. Так, это у нас задача на экспоненциальный рост. Вот условие: на начальной стадии бактериальная колония содержит в себе 100 клеток, и она начинает расти пропорционально своему размеру. Спустя 1 час численность клеток возрастает до 420. Сначала нам нужно найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. Давайте этим и займемся. Количество бактерий – это, можно сказать, функция от времени. Давайте обозначим ее b. Итак, запишем. Количество бактерий как функцию от t можно записать как b(t). Я запишу это вот здесь: b(t). Таким образом, количество бактерий как функция от времени равно: начальное количество бактерий, то есть I нулевое (если проводить аналогию с процентами, то это у нас тело кредита). В данном случае это количество, с которого мы начинаем. Далее у нас идет число е в степени kt, где k – это вид экспоненциального роста. Это у нас I нулевое, другими словами, первоначальное количество. t=0, т.к. в начальный момент времени время равно нулю, а значит, что вся степень равна нулю, а все выражение здесь равно единице. Логично, да?. b(0) должно быть равно I нулевому. Следовательно, если вы знаете, с какого значения начать, а также второе значение, то вы можете найти k. Затем вы подставляете вместо k найденное значение – и вот вы и выполнили первый пункт задания: найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. Итак, мой вопрос: чему равно I нулевое? Нам это количество известно. Вот здесь в задаче: на начальной стадии бактериальная колония содержит в себе 100 клеток. Следовательно, мы знаем, что b(0) равно 100. Давайте я по-другому запишу: b(0)=I нулевое*е в степени 0 =I нулевому. Следовательно, количество бактерий при t=0 равно 100. Вот мы немного продвинулись в решении. Теперь можем сказать, что b(t)=100*е в степени kt. Таким образом, если бы у нас было k, то мы бы могли выполнить первую часть задания: найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. А как же нам найти k? А вот у нас далее идет второе значение количества бактерий: спустя 1 час численность клеток возрастает до 420 штук. О чем это нам говорит? О том, что b(1) т.е. популяция спустя 1 час равна 420 штукам, или это равно 100*е в степени kt. Чему равно t? t=1, следовательно, умножить на е в степени k. Таким образом, 420=100*е в степени k. Теперь мы можем найти k. Давайте для начала разделим обе части равенства на 100. Итак, 4,2…Я, наверное, поменяю местами части равенства. Итак, е в степени k равно 4,2. Теперь, чтобы найти k, нам нужно взять натуральные логарифмы обеих частей. Таким образом, k=ln(4,2). В результате мы получим какое-то число. Мы позже найдем его с помощью калькулятора. Итак, мы сначала подставили в это выражение значение 100, выяснили, чему равно I нулевое и с помощью дополнительных данных мы нашли k: k=ln(4,2). Теперь у нас есть выражение, поскольку k и I нулевое нам известны. Следовательно, вот ответ на первый пункт задания: функция b(t) равна: начальное количество, то есть 100, умножить на е в степени kt, а поскольку k=ln(4,2), то получаем е в степени (ln(4,2))*t. Именно так выглядит наша функция. Теперь приступим к выполнению второго пункта нашего задания. Вот он, второй пункт: найти количество бактерий через 3 часа. Это сделать легко и просто. У нас есть функция, а t=3, следовательно, мы можем найти количество бактерий через 3 часа. Итак, b(3)=100*е в степени (ln(4,2)*3). И мы можем вычислить значение этого выражения, если, конечно, у вас есть калькулятор. Чему равен натуральный логарифм 4,2? Вообще-то, мы можем найти значение аналитическим методом. Итак, это то же самое, что и 100 умножить на е в степени ln(4,2) и все это в третьей степени, поскольку если две степени перемножаются, то это равносильно возведению в степень, значит, мы возводим в 3-ью степень. И если мы упростим здесь, то дальше все понятно. А чему же равно е в степени ln(4,2)? Это равно 4,2, не так ли? Натуральный логарифм говорит нам о том, в какую степень надо возвести число е, чтобы получить 4,2. Посмотрите, я даже обойдусь без калькулятора. Значит, 100*(4,2) в третьей степени. А теперь нам нужно выяснить, сколько будет (4,2) в третьей степени. Это будет около 70-ти. Давайте позже с этим разберемся. Вот ответ на второй пункт нашего задания. А найти значение можно с помощью калькулятора. Вы и сами можете это сделать. Какой же третий пункт? Теперь нам надо найти темп роста спустя 3 часа. Что в этом пункте от нас хотят? Нам надо найти угол наклона вот этой функции. Другими словами, нам надо найти производную этой функции при t=3. Давайте я здесь все удалю, поскольку мы уже выполнили эти пункты задания. Здесь надо только посчитать на калькуляторе. Готово. Итак, переходим к третьему пункту. Нам надо найти темп роста, то есть производную данной функции. Итак, производная функции b’(t) равна…Чему же она равна? Давайте воспользуемся цепным правилом, т.е. принципом дифференцирования сложной функции. Итак, поскольку 100 – это константа, то мы можем 100 написать перед функцией. А производная вот этого выражения равна ln(4,2) умножить на производную е в степени ln(4,2)*t. Это мы нашли темп роста при t, а нам надо выяснить, чему он будет равен при t=3. Следовательно, b’(3)=100*ln(4,2), и все это мы умножаем на е в степени ln(4,2)*t. А мы уже говорили, что это выражение равно просто (4,2) в степени t. Значит, здесь мы умножаем на (4,2) в третьей степени. Как видите, мы здесь затронули и тему логарифмов. Ну, а дальше все легко и просто: мы вместо t подставили значение 3. Надеюсь, вы поняли. Ну, а если нет, то можете просто-напросто воспользоваться калькулятором. Но, по-моему, это надо знать: е в втепени (ln x)=x. Ведь, что такое (ln x)? Это степень, в которую надо возвести е, чтобы получить х. Другими словами, если я возвожу е в степень х, я получаю х. Вот все, что я хотела сказать. Итак, е в степени ((ln(4,2) в степени t)= (4,2) в стпени t. Как видите, я могу переписать наше первоначальное выражение следующим образом: 100*(4,2) в степени t. Мы только что упростили ответ для первого пункта задания. Так будет лучше. Благодаря этому найти решение для второго пункта было бы проще. Ну а что касается третьего пункта, то здесь лучше оставить все, как есть, поскольку найти производную вот этого выражения намного легче. Мы можем переписать вот это выражение как: b’(t)=(100*ln(4,2))*(4,2) в степени t. Таким образом, я просто поменяла вот это выражение на это. Извините, я тут уже так начёркала. И наконец-то, мы подошли к последнему пункту нашего задания: найти время, через которое количество бактерий достигнет 10.000. Давайте я, наверное, сотру решение к третьему пункту. Через какое время количество бактерий достигнет 10.000? Давайте сначала запишем наше выражение немного проще. Итак, b(t)=100*е в степени (ln(4,2)*t). А это равно, как я уже говорила, 100*(4,2)^t. У нас спрашивают, когда количество бактерий достигнет 10.000. Другими словами, при каком значении t функция b(t) равно 10.000. Итак, 10.000=100*е в степени ln(4,2)*t. Давайте посмотрим, что у нас здесь. Мы можем разделить обе части равенства на 100. Следовательно, 100=е в степени (ln(4,2)*t). А теперь мы можем записать обе части в виде натуральных логарифмов. Что у нас здесь получится? Возьму другой цвет, ln100 равен..., а если мы берем натуральный логарифм е в какой-то степени, то мы получаем просто натуральный логарифм значения этой степени. Другими словами, у нас остается только логарифм выражения, которое находится в степени. Итак, давайте это запишем: ln100=ln(4,2)*t. А чтобы найти t, нам надо обе части равенства разделить на ln(4,2). Следовательно, t=(ln100)/(ln(4,2)) Таким вот образом мы найдем время, через которое количество бактерий достигнет 10.000. Осталось только взять калькулятор и найти значение этого выражения. А давайте теперь ради интереса, рассмотрим упрощенную версию нашего выражения. Итак, что бы у нас получилось: 100*(4,2) в степени t=10.000. Делим обе части равенства на 100. Значит, (4,2) в степени t=100. А чтобы решить это, нам надо взять логарифм по основанию 4,2. Следовательно, t равно логарифму 100 по основанию 4,2. Мы еще вернемся к этому в видео о свойствах логарифма. Очень важно знать, как можно вычислить логарифм по основанию какого-то числа. Поскольку на калькуляторе вы можете найти логарифм только по основанию е или 10. А как найти логарифм по основанию любого другого числа? Мой ответ – очень просто: надо просто взять натуральный логарифм 100 и разделить его на натуральный логарифм вот этого значения. Либо же десятичный логарифм 100 и разделить на десятичный логарифм 4,2. Все, на этом мы, наверное, закончим, чтобы у вас в голове все не перепуталось. Итак, на этом уроке мы рассмотрели экспоненциальный рост. Мы могли вместо «колонии бактерий» написать «начальная сумма вклада составляет 100 и растет пропорционально своему размеру». Тогда это было бы сложными процентами. А здесь мы могли бы сказать, что «спустя 1 час сумма увеличилась на, допустим, 4, 2 доллара. В таком случае мы бы искали непрерывно начисляемые проценты. В общем, это то же самое. Неважно, что именно мы рассматриваем. В дальнейшем я покажу еще несколько примеров на эту тему, а также мы рассмотрим задачу и на экспоненциальное затухание. До скорой встречи!

Экспоненциальная зависимость представляет собой математическую функцию, которая является полезной для описания процесса, где быстро увеличивается или быстро уменьшается количество каких-либо элементов. Существует множество примеров использования этой зависимости в биологии, физике, экономике, медицине и других сферах человеческой деятельности.

Определение экспоненциальной зависимости

Для того чтобы понимать, что означают слова "это количество растет экспоненциально" или "этот процесс характеризуется экспоненциальным спадом", необходимо рассмотреть понятие самой экспоненциальной функции. Для этого возьмем некоторое положительное число "a", которое не равно 1, и возведем его в степень "x", при этом переменная x может иметь как положительные, так и отрицательные значения, но не должна равняться нулю. Также возьмем некоторое постоянное число k (константа), которое не равно нулю. Теперь введем математическую функцию f(x) = k*a x . Возведение в степень "x" положительного числа "a" - это экспоненциальная зависимость, а сама функция f(x) называется показательной. В функции f(x) число "a" называется основанием, а "x" - это независимая переменная.

Отметим, что в математике часто фигурирует основание экспоненциальной функции "a", которое приблизительно равно 2,718. Это число обозначается латинской буквой "e" и называется числом Эйлера. Отмеченное число играет важную роль в математической теории пределов, а также во многих физических процессах в природе, например, давление воздуха с высотой на нашей планете уменьшается по экспоненциальному закону, в которого основанием выступает число Эйлера.

График экспоненциальной зависимости

Рассмотрим свойства экспоненциальной функции y = a x , для этого обратимся к графику, представленному выше. Первым важным свойством является то, что каким бы основанием "a" ни была представлена функция, она всегда будет проходить через точку с координатами (0,1), поскольку a 0 = 1.

Из графика экспоненциальной зависимости также видно, что функция a x для любых значений переменной "x" принимает только положительные значения. При больших отрицательных значениях "x" функция быстро приближается к оси абсцисс, то есть стремится к нулю. В свою очередь, уже при небольших положительных значениях "x" функция резко возрастает, при этом скорость ее увеличения постоянно увеличивается также по экспоненциальному закону, что можно показать, если взять производную от рассматриваемой функции ((a x)" = ln(a)*a x , где ln(a) - натуральный логарифм).

Таким образом, экспоненциальная зависимость - это резкое изменение некоторой величины как в сторону ее увеличения, так и в сторону уменьшения.

Пример из шахматной истории

Хорошей демонстрацией значимости экспоненциального увеличения объектов является древняя легенда, связанная с изобретением шахмат. Согласно этой легенде, для развлечения одного индусского короля, которого звали Белкиб, его близкий друг Брахман Сисса за 3000 лет до нашей эры придумал настольную игру шахматы.

Король так рад был новой игре, что пообещал дать Сиссе все, что тот пожелает. Тогда Брахман Сисса предложил ему дать столько зерна, сколько поместится на 64 шахматных клетках, при этом на 1-ю клетку он положил 1 зерно, на 2-ю - 2 зерна, на 3-ю - 4 зерна и так далее, удваивая каждый раз число. Белкиб сразу не понял, насколько много ему потребуется отдать зерна, поэтому принял без размышлений предложение своего друга.

Количество зерен, которое помещается на шахматной доске согласно описанному принципу, составит 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616 - гигантское число!

Рост населения планеты

Еще одним ярким примером процессов, которые описываются согласно экспоненциальной зависимости, является рост населения планеты. Так, в 1500 году население планеты составляло около 500 млн., в 1800 году, то есть через 300 лет, оно удвоилось и стало равно 1 млрд., прошло менее 50 лет, и население планеты перешагнуло отметку 2 млрд, в настоящее время количество жителей на планете Земля составляет 7,5 млрд. человек.

Описанный на примере человечества рост популяции характерен для любого биологического вида, будь то млекопитающее или одноклеточная бактерия. Математически этот рост описывается следующей формулой: N t = N 0 *e k*t , где N t и N 0 - численность популяции в моменты времени t и нулевой, соответственно, k - некоторый положительный коэффициент. Данная математическая модель роста популяций получила название экспоненциальной зависимости в экологии.

Экспоненциальный рост населения планеты заставил задуматься еще в начале XIX века известного английского экономиста и демографа Томаса Роберта Мальтуса. Ученый в свое время предсказывал, что в середине XIX века на Земле должен будет наступить голод, поскольку производство продуктов питания увеличивается линейно, в то время как численность людей на планете увеличивается экспоненциально. Мальтус полагал, что единственным способом достигнуть равновесия в рассматриваемой системе, является массовая смертность, вызванная войнами, эпидемиями и другими катаклизмами.

Как известно, ученый ошибся в своих мрачных предсказаниях, по крайней мере он ошибся с указанной датой.

Возраст археологических останков

Еще одним ярким примером природных процессов, которые происходят согласно экспоненциальному закону, является распад радиоактивных элементов. Это физическое явление, которое заключается в превращении ядер тяжелых элементов в ядра более легких, описывается следующей математической формулой: N t = N 0 *e -k*t , где N t и N 0 - количество ядер более тяжелого элемента в момент времени t и в начальный момент соответственно. Из этой формулы видно, что она практически аналогична таковой для роста биологической популяции, единственное отличие заключается в знаке "минус" в показателе экспоненты, который говорит об убыли тяжелых ядер.

Отмеченную формулу используют для определения возраста горных пород и окаменелых организмов. В последнем случае работают с изотопом углерода 14 C, поскольку его период полураспада (время, за которое начальное число тяжелых ядер уменьшится вдвое) является относительно небольшим (5700 лет).

Другие процессы, подчиняющиеся экспоненциальному закону

Экспоненциальная зависимость описывает многие процессы в экономике, химии и медицине. Например, дозы медикаментов, попавших в организм человека, уменьшаются во времени по экспоненциальному закону. В экономике инвестиционная прибыль, исходя из определенного начального капитала, рассчитывается также по экспоненциальному закону.

Как уже подчеркивалось в предыдущем разделе, любая популяция в принципе способна экспоненциально увеличивать свою численность, и именно поэтому экспоненциальная модель используется для оценки потенциальных возможностей роста популяций. В некоторых случаях, однако, экспоненциальная модель оказывается пригодной для описания и реально наблюдаемых процессов. Очевидно, это возможно тогда, когда в течение достаточно продолжительного (относительно длительности поколения) времени ничто не ограничивает рост популяции и соответственно показатель его удельной скорости (r ) сохраняет постоянное положительное значение.

Так, например, в 1937 г. на небольшой остров Протекши (у северо-западного побережья США близ штата Вашингтон) были завезены 2 самца и 6 самок фазана (Phasanius colchicus torqualus), ранее на острове не встречавшегося. В том же году фазаны начали размножаться, а через 6 лет популяция, начало которой дали 8 птиц, насчитывала уже 1898 особей. Как следует из рис. 28 а, в течение по крайней мере первых 3-4 лет рост численности фазанов хорошо описывался экспоненциальной зависимостью (прямая линия при логарифмической шкале по ординате). К сожалению, позднее, в связи с началом военных действий, на острове были расположены войска, ежегодные учеты прекратились, а сама популяция фазанов была в значительной степени истреблена.

Другой известный случай экспоненциального роста популяции-увеличение численности популяции кольчатой горлицы (Streptopelia decaocto) на Британских островах в конце 1950-х- начале 1960-х гг. (рис. 28, б). Прекратился этот рост только через 8 лет, после того как все пригодные местообитания были заселены.

Список примеров экспоненциального роста популяции может быть продолжен. В частности, несколько раз экспоненциальное (или, по крайней мере близкое к экспоненциальному) увеличение численности северного оленя (Rangifer tarandus) наблюдалось при интродукции его на различные острова. Так, от 25 особей (4 самца и 21 самка), завезенных в 1911 г. на остров Святого Павла (входящий в архипелаг островов Прибылова в Беринговом море), произошла популяция, численность которой к 1938г. достигла 2 тыс. особей, но затем последовал резкий спад, и к 1950 г. на острове осталось только 8 оленей. Сходная картина наблюдалась и на острове Святого Матвея (также расположенном в Беринговом море): 29 особей (5 самцов и 24 самки), интродуцированных на остров в 1944 г., дали популяцию, насчитывавшую в 1957 г. 1350 особей, а в 1963 г. - около 6 тыс. особей (площадь этого острова 332 км 2 , что примерно в три раза больше площади острова Святого Павла). В последующие годы произошло, однако, катастрофическое снижение численности оленей-к 1966 г. их осталось только 42. В обоих вышеописанных случаях причиной резкого снижения численности была нехватка в зимнее время пищи, состоящей почти исключительно из лишайников.

В лаборатории можно создать условия для экспоненциального роста, если снабжать культивируемые организмы избытком ресурсов, обычно лимитирующих их развитие, а также поддерживать значение всех физико-химических параметров среды в пределах толерантности данного вида. Нередко для поддержания экспоненциального роста бывает нужно удалять продукты обмена веществ организмов (используя, например, проточные системы при культивировании различных водных животных и растений) или изолировать нарождающихся особей друг от друга, чтобы избегать их скученности (это важно, например, при культивировании многих грызунов и других животных с достаточно сложным поведением). Практически получить в эксперименте кривую экспоненциального роста несложно только для очень мелких организмов (дрожжевых грибков, простейших, одноклеточных водорослей и т. д.). Крупные организмы культивировать в больших количествах трудно по чисто техническим причинам. Кроме того, для этого требуется много времени.

Ситуации, при которых складываются условия экспоненциального роста, возможны и в природе, притом не только для островных популяций. Так, например, в озерах умеренных широт весной, после таяния льда, в поверхностных слоях содержится большое количество обычно дефицитных для планктонных водорослей биогенных элементов (фосфора, азота, кремния), и поэтому неудивительно, что сразу после прогревания воды здесь наблюдается быстрый (близкий к экспоненциальному) рост численности диатомовых или зеленых водорослей. Прекращается он лишь тогда, когда все дефицитные элементы окажутся связанными в клетках водорослей или же когда продукция популяций уравновесится выеданием их различными животными-фитофагами.

Хотя можно привести и другие примеры реально наблюдаемого экспоненциального увеличения численности, нельзя сказать, чтобы они были очень многочисленны. Очевидно, возрастание численности популяции по экспоненциальному закону если и происходит, то только очень короткое время, сменяясь затем спадом или выходом на плато (= стационарный уровень). В принципе возможны несколько вариантов прекращения экспоненциального роста численности. Первый вариант - это чередование периодов экспоненциального роста численности с периодами резкого (катастрофического) спада, вплоть до очень низких значений. Подобная регуляция (а под регуляцией численности мы будем понимать действие любых механизмов, приводящих к ограничению роста популяции) наиболее вероятна у организмов с коротким жизненным циклом, обитающих в местах с резко выраженными колебаниями основных лимитирующих факторов, например у насекомых, живущих в высоких широтах. Очевидно также то, что такие организмы должны иметь покоящиеся стадии, позволяющие пережить неблагоприятные сезоны. Второй вариант - это резкая остановка экспоненциального роста и поддержание популяции на постоянном (=стационарном) уровне, вокруг которого возможны различные флуктуации. Третий вариант - это плавный выход на плато. Получающаяся при этом S-образная форма кривой указывает на то, что по мере увеличения численности популяции скорость роста ее не остается постоянной, а снижается. S-образный рост популяций наблюдается очень часто как в лабораторных экспериментах, так и при вселении видов в новые местообитания.

Экспоненциальный рост - возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Подчиняется экспоненциальному закону . Экспоненциальный рост противопоставляется более медленным (на достаточно длинном промежутке времени) линейной или степенной зависимостям. В случае дискретной области определения с равными интервалами его ещё называют геометрическим ростом или геометрическим распадом (значения функции образуют геометрическую прогрессию). Экспоненциальная модель роста также известна как мальтузианская модель роста.

Свойства

Для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растёт. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость её роста прямо пропорциональны . Но при этом, в отличие от гиперболической , экспоненциальная кривая никогда не уходит в бесконечность за конечный промежуток времени.

Экспоненциальный рост в итоге оказывается более быстрым, чем любой степенной и тем более любой линейный рост .

Математическая запись

Экспоненциальный рост описывается дифференциальным уравнением :

$\backslash frac\{dx\}\{dt\}\; =\; kx$

Решение этого дифференциального уравнения - экспонента:

$x\; =\; ae^\{kt\}$

Примеры

Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов. Другим примером экспоненциального роста являются сложные проценты .

См. также

Напишите отзыв о статье "Экспоненциальный рост"

Ссылки

Отрывок, характеризующий Экспоненциальный рост

Главная » Упражнения » Что такое экспоненциальный рост. Экспоненциальный рост