Моделирование (в широком смысле) является основным методом исследований во всех областях знаний и научно обоснованным методом оценок характеристик сложных систем, используемым для принятия решений в различных сферах инженерной деятельности. Существующие и проектируемые системы можно эффективно исследовать с помощью математических моделей (аналитических и имитационных), реализуемых на современных ЭВМ, которые в этом случае выступают в качестве инструмента экспериментатора с моделью системы.

Обобщенно моделирование можно определить как метод опосредованного познания, при котором изучаемый объект-оригинал находится в некотором соответствии с другим объектом-моделью, причем модель способна в том или ином отношении замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного процесса. Стадии познания, на которых происходит такая замена, а также формы соответствия модели и оригинала могут быть различными:

1) моделирование как познавательный процесс, содержащий переработку информации, поступающей из внешней среды, о происходящих в ней явлениях, в результате чего в сознании появляются образы, соответствующие объектам;

2) моделирование, заключающееся в построении некоторой системы-модели (второй системы), связанной определенными соотношениями подобия с системой-оригиналом (первой системой), причем в этом случае отображение одной системы в другую является средством выявления зависимостей между двумя системами, отраженными в соотношениях подобия, а не результатом непосредственного изучения поступающей информации.

Моделирование начинается с формирования предмета исследований - системы понятий, отражающей существенные для моделирования характеристики объекта. Эта задача является достаточно сложной, что подтверждается различной интерпретацией в научно-технической литературе таких фундаментальных понятий, как система, модель, моделирование. Подобная неоднозначность не говорит об ошибочности одних и правильности других терминов, а отражает зависимость предмета исследований (моделирования) как от рассматриваемого объекта, так и от целей исследователя. Отличительной особенностью моделирования сложных систем является его многофункциональность и многообразие способов использования; оно становится неотъемлемой частью всего жизненного цикла системы. Объясняется это в первую очередь технологичностью моделей, реализованных на базе средств вычислительной техники: достаточно высокой скоростью получения результатов моделирования и их сравнительно невысокой себестоимостью.

Система S - целенаправленное множество взаимосвязанных элементов любой природы. Внешняя среда Е- множество существующих вне системы элементов любой природы, оказывающих влияние на систему или находящихся под ее воздействием.

В зависимости от цели исследования могут рассматриваться разные соотношения между самим объектом S и внешней средой Е. Таким образом, в зависимости от уровня, на котором находится наблюдатель, объект исследования может выделяться по-разному и могут иметь место различные взаимодействия этого объекта с внешней средой.

С развитием науки и техники сам объект непрерывно усложняется, и уже сейчас говорят об объекте исследования как о некоторой сложной системе, которая состоит из различных компонент, взаимосвязанных друг с другом. Поэтому, рассматривая системный подход как основу для построения больших систем и как базу создания методики их анализа и синтеза, прежде всего необходимо определить само понятие системного подхода.

Системный подход - это элемент учения об общих законах развития природы и одно из выражений диалектического учения. Можно привести разные определения системного подхода, но наиболее правильно то, которое позволяет оценить познавательную сущность этого подхода при таком методе исследования систем, как моделирование. Поэтому весьма важны выделение самой системы S и внешней среды Е из объективно существующей реальности и описание системы исходя из общесистемных позиций.

При системном подходе к моделированию систем необходимо прежде всего четко определить цель моделирования. Поскольку невозможно полностью смоделировать реально функционирующую систему (систему-оригинал, или первую систему), создается модель (система-модель, или вторая система) под поставленную проблему. Таким образом, применительно к вопросам моделирования цель возникает из требуемых задач моделирования, что позволяет подойти к выбору критерия и оценить, какие элементы войдут в создаваемую модель М. Поэтому необходимо иметь критерий отбора отдельных элементов в создаваемую модель.

В качестве объекта моделирования выступают сложные организационно-технические системы, которые можно отнести к классу больших систем. Более того, по своему содержанию и созданная модель М также становится системой S(M) и тоже может быть отнесена к классу больших систем, для которых характерно следующее.

1. Цель функционирования, которая определяет степень целенаправленности поведения модели М. В этом случае модели могут быть разделены на одноцелевые, предназначенные для решения одной задачи, и многоцелевые, позволяющие разрешить или рассмотреть ряд сторон функционирования реального объекта.

2. Сложность, которую, учитывая, что модель М является совокупностью отдельных элементов и связей между ними, можно оценить по общему числу элементов в системе и связей между ними. По разнообразию элементов можно выделить ряд уровней иерархии, отдельные функциональные подсистемы в модели М, ряд входов и выходов и т. д., т. е. понятие сложности может быть идентифицировано по целому ряду признаков.

3. Целостность, указывающая на то, что создаваемая модель М является одной целостной системой S(M), включает в себя большое количество составных частей (элементов), находящихся в сложной взаимосвязи друг с другом.

4. Неопределенность, которая проявляется в системе: по состоянию системы, возможности достижения поставленной цели, методам. решения задач, достоверности исходной информации и т. д. Основной характеристикой неопределенности служит такая мера информации, как энтропия, позволяющая в ряде случаев оценить количество управляющей информации, необходимой для достижения заданного состояния системы. При моделировании основная цель - получение требуемого соответствия модели реальному объекту и в этом смысле количество управляющей информации в модели можно также оценить с помощью энтропии и найти то предельное минимальное количество, которое необходимо для
получения требуемого результата с заданной достоверностью. Таким образом, понятие неопределенности, характеризующее большую систему, применимо к модели М и является одним из ее основных признаков.

5. Поведенческая страта, которая позволяет оценить эффективность достижения системой поставленной цели. В зависимости от наличия случайных воздействий можно различать детерминированные и стохастические системы, по своему поведению - непрерывные и дискретные и т. д. Поведенческая страта рассмотрения системы ^позволяет применительно к модели М оценить эффективность построенной модели, а также точность и достоверность полученных при этом результатов. Очевидно, что поведение модели М не обязательно совпадает с поведением реального объекта, причем часто моделирование может быть реализовано на базе иного материального носителя.

6. Адаптивность, которая является свойством высокоорганизованной системы. Благодаря адаптивности удается приспособиться к различным внешним возмущающим факторам в широком диапазоне изменения воздействий внешней среды. Применительно в модели существенна возможность ее адаптации в широком спектре возмущающих воздействий, а также изучение поведения модели в изменяющихся условиях, близких к реальным. Надо отметить, что существенным может оказаться вопрос устойчивости модели к различным возмущающим воздействиям. Поскольку модель М - сложная система, весьма важны вопросы, связанные с ее существованием, т. е. вопросы живучести, надежности и т. д..

7. Организационная структура системы моделирования, которая во многом зависит от сложности модели и степени совершенства средств моделирования. Одним из последних достижений в области моделирования можно считать возможность использования имитационных моделей для проведения машинных экспериментов. Необходимы оптимальная организационная структура комплекса технических средств, информационного, математического и программного обеспечении системы моделирования S"(M), оптимальная организация процесса моделирования, поскольку следует обращать особое внимание на время моделирования и точность получаемых результатов.

9. Возможность развития модели, которая исходя из современного уровня науки и техники позволяет создавать мощные системы моделирования S(M) исследования многих сторон функционирования реального объекта. Однако нельзя при создании системы моделирования ограничиваться только задачами сегодняшнего дня. Необходимо предусматривать возможность развития системы моделирования как по горизонтали в смысле расширения спектра изучаемых функций, так и по вертикали в смысле расширения числа подсистем, т. е. созданная система моделирования должна позволять применять новые современные методы и средства. Естественно, что интеллектуальная система моделирования может функционировать только совместно с коллективом людей, поэтому к ней предъявляют эргономические требования.

Задание 2. Раскрыть содержание вопроса: Виды управления

В теории управления существует несколько основных видов управления объектами и системами. Это программное управление, управление с помощью обратной связи, стохастическое управление и автоматическое управление.

Для реализации программного управления требуется разработать программу, задающую способ функционирования системы исходя из каких-либо критериев. Программа есть строгий набор статических инструкций, заданных заранее и не меняющихся в процессе управления.

При управлении с помощью обратной связи (рис. 1) обычно выбирают отрицательную обратную связь. Организацией отрицательной обратной связи называется передача энергии с выхода на вход управляемой системы. Это предпочтение обусловлено тем, что отрицательная обратная связь уменьшает входное воздействие на систему пропорционально выходному отклику.

Рис. 1. Управление с обратной связи

В случае стохастического управления управляемый процесс или система являются стохастическими (случайными). Таким образом, начальный и конечный момент времени управления не известен, равно как и соответствующие состояния системы. В этом случае сам процесс управления описывается стохастическими уравнениями, которые, как правило, аппроксимируются Марковскими процессами.

Наука автоматика изучает теорию анализа и синтеза систем управления. Автоматическое управление в реализации подразумевает описание переходных процессов между состояниями управляемой системы. Управляемая система в таком случае называется автоматом.

Для оценки разработанной системы управления используют критерий оптимальности. Теория оптимизации — наука алгоритмах и формах управления, созданных относительно некоторого критерия качества. Критерий качества — создание абстрактной функции риска, которая должна быть в процессе оптимизации минимизирована (так называемое решение экстремальной задачи).

Управление бывает оптимальным и квазиоптимальным. Оптимальным оно является в теории, квазиоптимальным, соответственно, в жизни.

Для осуществления всякого управления необходимо наличие нескольких объектов и средств. Во-первых, это управляющий объект или система. Во-вторых, это управляемый объект или система. В-третьих, необходим алгоритм, по которому управляемой системе будут посылаться энергетические или информационные воздействия. Далее, нужен канал передачи управляющих сигналов, информации, а также, почти всегда, канал, по которому будет осуществляться обратная связь управляемого объекта или системы с управляющей средой.

Задание 3. Раскрыть содержание вопроса: Принцип максимума и динамическое программирование

В ряде практических задач на множество управлений накладываются некоторые существенные ограничения в виде неравенств. Решение таких задач дает принцип максимума – математический метод, разработанный Понтрягиным и его учениками.

Поведение математической модели ОУ описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, в векторной форме, которое имеет вид:

или в скалярной форме

где — вектор состояния,

— вектор управления,

t – время,

— интервал времени функционирования системы,

; n -мерное эвклидово пространство, элементами служат векторы;

; — множество допустимых значений управления;

— непрерывная вместе со своими частными производными векторная функция.

Момент начала процесса задан, а момент окончания процесса определяется первым моментом достижения точкой (x , t ) некой заданной гиперповерхности , т.е. в момент .

Начальное условие задает начальное состояние процесса в пространстве .

Предполагается, что при управлении используется информация только о текущем времени, т.е. система управления является разомкнутой и имеет программное управление.

Рисунок 2 — Структурная схема процесса управления

Множество допустимых управлений образует кусочно-непрерывные функции u(t) со значениями в области .

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для эффективного решения некоторого класса задач математического программирования. Этот класс характеризуется возможностью естественного (а иногда и искусственного) разбиения всей операции на ряд взаимосвязанных этапов.

В отличие от принципа максимума, метод динамического программирования позволяет определять оптимальное управление в форме синтезирующей функции. В общем случае динамическое программирование более универсально, чем принцип максимума при решении широкого класса задач оптимизации.

Основные необходимые свойства задач, к которым возможно применить этот принцип:

Задача должна допускать интерпретацию как n -шаговый процесс принятия решений.


Задача должна быть определена для любого числа шагов и иметь структуру, не зависящую от их числа.


При рассмотрении k -шаговой задачи должно быть задано некоторое множество параметров, описывающих состояние системы, от которых зависят оптимальные значения переменных. Причем это множество не должно изменяться при увеличении числа шагов.


Выбор решения (управления) на k -м шаге не должен оказывать влияния на предыдущие решения, кроме необходимого пересчета переменных.


Задача о выборе траектории, задача последовательного принятия решения, задача об использовании рабочей силы, задача управления запасами - классические задачи динамического программирования.


Метод применим более строго для оптимизации дискретных процессов. В основу метода положен принцип оптимальности Беллмана, справедливый и для дискретных, и для непрерывных систем.


Принцип оптимальности Беллмана: оптимальное управление обладает тем свойством, что каково бы не было начальное состояние и управление до данного момента, последующее управление должно быть оптимальным при том состоянии, в которое пришла система в результате предыдущего этапа управления.


Таким образом, оптимальное управление определяется состоянием системы в данный момент времени и целью и не зависит от состояний в предыдущие моменты.


Термин «динамическое» в названии метода возник, видимо, потому что этапы предполагаются разделенными во времени. Однако этапами могут быть элементы операции, никак не связанные друг с другом показателем времени. Тем не менее, метод решения подобных многоэтапных задач применяется один и тот же, и его название стало общепринятым, хотя в некоторых источниках его называют многоэтапным программированием.


Модели динамического программирования могут применяться, например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении дефицитных капиталовложений между возможными новыми направлениями их использования; при составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т.д.


Для определения сущности динамического программирования рассмотрим задачу:


Представим себе некоторую операцию О, состоящую из ряда последовательных «шагов» или этапов, например, деятельность отрасли промышленности в течение ряда хозяйственных лет. Пусть число шагов равно m. Выигрыш (эффективность операции) Z за всю операцию складывается из выигрышей на отдельных шагах:


где zi- выигрыш на i-м шаге.


Если Z обладает таким свойством, то его называют аддитивным критерием.


Операция О является управляемым процессом, то есть мы можем выбирать какие-то параметры, которые влияют на его ход и исход, причем на каждом шаге выбирается решение, от которого зависит выигрыш и на данном шаге, и выигрыш за операцию в целом. Эти решения называются шаговыми.


Совокупность всех шаговых управлений является управлением операцией в целом. Обозначим его буквой х, а шаговые управления- буквами х1, х2, … , хm: х=х(х1, х2, … , хm). Требуется найти такое управление х, при котором выигрыш Z обращается в максимум:


То управление х*, при котором этот максимум достигается, называется оптимальным управлением. Оно состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений: х*=х*(х1*, х2*, … , хm*).


Максимальный выигрыш, который достигается при этом управлении, обозначим следующим образом:


,


где Х- множество допустимых (возможных) управлений.


Самый простой способ решения задачи- полный перебор всех вариантов. Когда количество вариантов невелико, этот способ вполне приемлем. Однако на практике задачи с небольшим числом вариантов встречаются весьма редко, поэтому полный перебор, как правило, неприемлем из-за чрезмерных затрат вычислительных ресурсов. Поэтому в таких случаях на помощь приходит динамическое программирование.


Динамическое программирование часто помогает решить задачу, переборный алгоритм для которой потребовал бы очень много времени. Этот метод использует идею пошаговой оптимизации. В этой идее есть принципиальная тонкость: каждый шаг оптимизируется не сам по себе, а с «оглядкой на будущее», на последствия принимаемого «шагового» решения. Оно должно обеспечить максимальный выигрыш не на данном конкретном шаге, а на всей совокупности шагов, входящих в операцию.


Метод динамического программирования может применяться только для определенного класса задач. Эти задачи должны удовлетворять таким требованиям:


Задача оптимизации интерпретируется как n-шаговый процесс управления.


Целевая функция равна сумме целевых функций каждого шага.


Выбор управления на k-м шаге зависит только о состояния системы к этому шаге, не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи).

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Системное моделирование. Подходы к изучению моделирования

моделирование математический имитационный алгоритм

Моделирование-это основной метод исследования во всех областях знании и научно-обоснованный метод оценок характеристик сложных систем используемых для принятия решений в различных сферах инженерной деятельности. Модель (мера ч-л) - это объект-заменитель реального объекта (оригинала) обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Гносеологическая роль в М- заключается в ее значении в процессе познания и она присуща в отношении всем моделям независимо от их природы. В процессе изучения модель выступает в роли относительно самостоятельного квазиобъекта при исследовании которого можно получить знание о самом объекте. Если результаты М-рования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессах протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. Исторически сложились два основных подхода при моделировании процессов и систем.

Классический (индуктивный) рассматривает систему путем перехода от частного к общему, т.е. модель системы синтезируется путем слияния моделей ее компонент, разрабатываемых отдельно. Например, при покупке телевизора покупателя интересует только внешние его характеристики - диагональ, дизайн и т.п., но не внутренняя его часть. При системном подходе предполагается последовательный переход от общего к частному, когда в основе построения модели лежит цель исследования. Именно из нее исходят, создавая модель. Подобие процесса, протекающего в модели реальному процессу, является не целью, а лишь условием правильного функционирования модели, поэтому в качестве цели должна быть поставлена задача изучения какой-либо стороны функционального объекта. Например, при разработке телевизора разработчика интересует только его внутренняя часть, из каких деталей он будет его собирать, в какой последовательности, но не внешние характеристики телевизора.

2. Гипотеза, аналогия, теория подобия

Объектом (предмет) называется все то на что направлена человеческая деятельность. Целью М-я является получение знании, упорядочение и обработка информации об объектах которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и с внешней средой. Гипотеза-это определенное предсказание, которое основывается на небольшом числе опытов, наблюдений, догадок. Аналогия-это суждение о сходстве двух объектов, оно м.б. существенным и несущественным. Земной шар - мяч, космос. Аналогия связывает гипотезу с экспериментом. Свойства гипотезы и аналогии: 1. Д. обладать наглядностью, 2. Удобство сведения к логическим схемам. Модель (мера ч-л) - это объект-заменитель реального объекта (оригинала) обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Теория М-ия базируется на теории подобия. Подобие -это характеристика объекта или сравнительная характеристика показывающая степень и качество схожести объекта оригинала и модели. Т. подобия утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. Абсолютного подобия в практике М-ия нет, стремятся, чтобы модель отражала существенную сторону функционирования объекта. В составе полного М-ия лежит полное подобие, к-рое проявляется как в пространстве так и во времени. Когда речь идет о приближенном М-ии, то тогда нек-рые свойства объекта не М-ются совсем.

3. Классификация моделей

Типы моделей: 1. Прагматическая модель-это средство организации практических действий и рабочего представления цепи системы для ее управления, такие модели как правило, прикладные, т.е. реальность подгоняется под нек-рую прагматическую модель. Пример, рабочие чертежи, СНиПы, кодекс законов, уставы организации. 2. Познавательная модель- это форма организации и представление знании =это средство соединения новых и старых знании. Пример, географические карты, игрушки, производственная инструкция. 3. Инструментальная модель-это средство построения исследования или использования модели 1 и 2. По «глубине» М-ия модели бывают: 1. Эмпирические (чувственный опыт)-на основе эмпирических фактов и зависимостей. 2. Теоретические - на основе математических описаний. 3. Смешанный тип (полуэмпирические) -эмпирический опыт+ математические описание.

4. Свойства модели

Целенаправленность - модель имеет цель.

Конечность - характеристики модели конечны.

Упрощенность - любая модель упрощена, выделяя основные свойства объекта.

Приблизительность - насколько модель приближена к объекту-оригиналу, грубо или приближенно.

Адекватность - модель хорошо описывает реальный объект.

Полнота - модель должна отражать исследуемые свойства в полной мере.

Устойчивость - модель должна описывать устойчивое поведение системы.

Целостность - модель реализует всю систему целиком.

Адаптивность - модель должна быть приспособлена к различным входным параметрам, также к воздействиям внешней среды.

Управляемость - модель должна иметь хотя бы один параметр, который можно варьировать.

Эволюционируемость - возможность перехода модели с одного уровня на другой.

5. Этапы и схема построения модели

Модель М, описывающая систему S(x1, x2, ..., xn; R), имеет вид:

М=(z1, z2, ..., zm; Q),

где zi Z, i=1, 2, ..., n, Q, R - множества отношений над X - множеством входных, выходных сигналов и состояний системы, Z - множество описаний, представлений элементов и подмножеств X. Схема построения модели М системы S с входными сигналами X и выходными сигналами Y изображена на рис. 1

Рис. 1 Схема построения модели

Если на вход М поступают сигналы из X и на входе появляются сигналы Y, то задан закон, правило f функционирования модели, системы.

Этапы построения математической модели

Формализация операций. На основе содержательного описания определяется исходное множество характеристик системы. После исключения несущественных характеристик выделяют управляемые и неуправляемые параметры и производят символизацию. Затем определяется система ограничений на значения управляемых параметров. Дальнейшие действия связаны с формированием целевой функции модели. В соответствии с известными положениями выбираются показатели исхода операции и определяется примерный вид функции полезности на исходах. По свертке показателей формируются

Проверка адекватности модели. Требование адекватности находится в противоречии с требованием простоты, и это нужно учитывать при проверке модели на адекватность. Исходный вариант модели предварительно проверяется по следующим основным аспектам:

Все ли существенные параметры включены в модель?

Нет ли в модели несущественных параметров?

Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?

Правильно ли определены ограничения на значения параметров?

По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

Корректировка модели. При корректировке модели могут уточняться существенные параметры, ограничения на значения управляемых параметров, показатели исхода операции, связи показателей исхода операции с существенными параметрами, критерий эффективности. После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка адекватности.

Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, выступают время и затраты средств для проведения исследований на ней. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую.

6. ЖЦ моделируемой системы

Сбор информации о системе - выдвижение гипотез, предмодельный анализ.

Проектирование структуры - определение состава моделей и взаимосвязь подмоделей.

Исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма моделирования.

Исследование адекватности, устойчивости и других свойств.

Оценка затрат или оценка ресурсов моделирования.

Создание отчета и проектированных решений.

Модификация модели (добавление новых знаний или применение в другой сфере).

7. Виды моделирования

Детерминированное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие случайных воздействий. Стохастическое моделирование учитывает вероятностные процессы и события. Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени, а динамическое -- для исследования объекта во времени. Мысленное моделирование применяется тогда, когда модели не реализуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют условия для их физического создания (например, ситуация микромира). При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. Примером таких моделей являются учебные плакаты, рисунки, схемы, диаграммы. В основу гипотетического моделирования закладывается гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Этот вид моделирования используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей. Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Для достаточно простых объектов наивысшим уровнем является полная аналогия. Макетирование применяется, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию или могут предшествовать проведению других видов моделирования. Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает его основные свойства с помощью определенной системы знаков и символов. В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус, который образуется из набора понятий исследуемой предметной области, причем этот набор должен быть который очищен от неоднозначности. Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т.е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий -- составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Математическое моделирование -- это процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. Для аналитического моделирования характерно то, что в основном моделируется только функциональный аспект системы. При имитационном моделировании воспроизводится алгоритм функционирования системы во времени -- поведение системы, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. Информационное (кибернетическое) моделирование связано с исследованием моделей, в которых отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию, рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Структурное моделирование системного анализа базируется на некоторых специфических особенностях структур определенного вида, которые используются как средство исследования систем или служат для разработки на их основе специфических подходов к моделированию с применением других методов формализованного представления систем (теоретико-множественных, лингвистических, кибернетических и т.п.). Ситуационное моделирование опирается на модельную теорию мышления, в рамках которой можно описать основные механизмы регулирования процессов принятия решений. При реальном моделировании используется возможность исследования характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Натурным моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. Натурное моделирование подразделяется на научный эксперимент, комплексные испытания и производственный эксперимент. Научный эксперимент характеризуется широким использованием средств автоматизации, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента. Одна из разновидностей эксперимента -- комплексные испытания, в процессе которых вследствие повторения испытаний объектов в целом (или больших частей системы) выявляются общие закономерности о характеристиках качества, надежности этих объектов. В этом случае моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений о группе однородных явлений. Наряду со специально организованными испытаниями возможна реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса, т.е. можно говорить о производственном эксперименте. Другим видом реального моделирования является физическое, отличающееся от натурного тем, что исследование проводится в установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием.

8. Модель физической, экономической, физиологической систем

Модель - объект или описание объекта, системы для замещения (при определенных условиях предложениях, гипотезах) одной системы (т.е. оригинала) другой системой для лучшего изучения оригинала или воспроизведения каких-либо его свойств. Модель - результат отображения одной структуры (изученной) на другую (малоизученную). Отображая физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений), получим физико-математическую модель системы или математическую модель физической системы. Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах. Пример. Рассмотрим физическую систему: тело массой m скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a, на которое воздействует сила F. Исследуя такие системы, Ньютон получил математическое соотношение: F=ma. Это физико-математическая модель системы или математическая модель физической системы. При описании этой системы (построении этой модели) приняты следующие гипотезы: 1) поверхность идеальна (т.е. коэффициент трения равен нулю); 2) тело находится в вакууме (т.е. сопротивление воздуха равно нулю); 3) масса тела неизменна; 4) тело движется с одинаковым постоянным ускорением в любой точке. Пример. Физиологическая система - система кровообращения человека - подчиняется некоторым законам термодинамики. Описывая эту систему на физическом (термодинамическом) языке балансовых законов, получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например, выписать соответствующие термодинамические уравнения, то уже получим математическую модель системы кровообращения. Назовем ее физиолого-физико-математической моделью или физико-математической моделью. Пример. Совокупность предприятий функционирует на рынке, обмениваясь товарами, сырьем, услугами, информацией. Если описать экономические законы, правила их взаимодействия на рынке с помощью математических соотношений, например, системы алгебраических уравнений, где неизвестными будут величины прибыли, получаемые от взаимодействия предприятий, а коэффициентами уравнения будут значения интенсивностей таких взаимодействий, то получим математическую модель экономической системы, т.е. экономико-математическую модель системы предприятий на рынке. Пример. Если банк выработал стратегию кредитования, смог описать ее с помощью экономико-математических моделей и прогнозирует свою тактику кредитования, то он имеет большую устойчивость и жизнеспособность.

9. Классификация математических моделей

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез. Пример. Закон Ньютона F=am - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой. Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени. Пример. Модель S=gt2/2 - динамическая модель пути при свободном падении тела. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t)=a(t)m(t). Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени. Пример. Если рассматривать только t=0, 1, 2, :, 10 (сек), то модель St=gt2/2 или числовая последовательность S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела. Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени. Пример. Модель S=gt2/2, 0

10. Требования, предъявляемые к мат. моделям

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования точности, экономичности и универсальности.

Точность ММ - свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта с истинными значениями этих параметров.

Экономичность ММ оценивается прежде всего затратами машинного времени Тм (его затраты определяют главную часть стоимостных затрат). Вклад математической модели в затраты Тм на решение задач можно оценивать количеством арифметических операций, выполняемых при однократной реализации уравнений модели. Показателем экономичности ММ может служить также число внутренних параметров, используемых в ней. Чем больше таких параметров, тем больше затраты машинной памяти, следовательно, тем больше усилий требуется для получения сведений о числовых значениях параметров и их разбросе.

Степень универсальности ММ определяется их применимостью к анализу более или менее многочисленной группы однотипных объектов, к их анализу в одном или многих режимах функционирования. Использование машинных методов станет неудобным, если в процессе анализа объекта при каждом изменении режима функционирования потребуется смена ММ.

11. Экономический эффект от мат. моделирования

ММ - это процесс установления соответствия реальной системе S математической модели M и исследование этой модели, позволяющая получить характеристики реальной системы.

Применение ММ позволяет исследовать объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или не возможны. Экономический эффект при ММ состоит в том, что затраты на проектирование систем сокращаются в среднем в 50 раз.

12. Мат. моделирование сл. Систем

Элемент s - некоторый объект, обладающий определенными свойствами, внутреннее строение которого для целей исследования не играет роли (самолет: для моделир. полета - не элемент, а для моделир. работы аэропорта -элемент). Связь l между элементами - процесс их взаимодействия, важный для целей исследования. Система S - совокупность элементов со связями и целью функционирования F. Сложная система - состоящая из разнотипных элементов с разнотипными связями.

Большая система - состоящая из большого числа однотипных элементов с однотипными связями.

Система: Автоматизированная система - сложная система с определяющей ролью элементов двух типов: технических средств (прежде всего ЭВМ) и действий человека:

здесь - остальные элементы системы. Структура системы - ее расчленение (декомпозиция) на элементы или группы элементов с указанием связей между ними, неизменное во время функционирования системы. Практически все системы рассматриваются функционирующими во времени, поэтому определим их динамические характеристики. Состояние - множество характеристик элементов системы, изменяющихся во времени и важных для целей функционирования. Процесс (динамика) - множество значений состояний системы, изменяющихся во времени. Цель функционирования - задача получения желаемого состояния системы. Достижение цели обычно влечет целенаправленное вмешательство в процесс функционирования системы, которое называется управлением.

Задачи исследования систем:

анализ - изучение свойств функционирования системы;

синтез - выбор структуры и параметров по заданным свойствам системы.

13. Проблема оценки внешней среды. Проблема черного ящика

14. Основные операции мат. моделирования

Математическая модель описывается (представляется) математическими структурами, математическим аппаратом (числа, буквы, геометрические образы, отношения, алгебраические структуры и т.д.).

Отметим основные операции (процедуры) математического моделирования.

1. Линеаризация. Пусть дана математическая модель М=М(X, Y, A), где X - множество входов, Y - множество выходов, А -множество состояний системы. Схематически можно это изобразить так: X->A->Y. Если X, Y, A - линейные пространства(множества), а - линейные операторы (т.е. любые линейные комбинации ax+by аргументов и преобразуют в соответствующие линейные комбинации и, то система (модель) называется линейной. Все другие системы (модели) - нелинейные. Они труднее поддаются исследованию, хотя и более актуальны. Нелинейные модели менее изучены, поэтому их часто линеаризуют - сводят к линейным моделям каким-то образом, какой-то корректной линеаризующей процедурой.

Пример. Применим операцию линеаризации к модели (какой физической системы, явления?) у=at2/2, 0<=t<=4, которая является нелинейной (квадратичной). Для этого заменим один из множителей t на его среднее значение для рассматриваемого промежутка, т.е. на t=2. Такая (пусть простят меня знакомые с линеаризацией читатели, - хоть и очень наглядная, но очень грубая!) процедура линеаризации дает уже линейную модель вида y=2at. Более точную линеаризацию можно провести следующим образом: заменим множитель t не на среднее, а на значение в некоторой точке (это точка - неизвестная!); тогда, как следует из теоремы о среднем из курса высшей математики, такая замена будет достаточно точна, но при этом необходимо оценить значение неизвестной точки. На практике используются достаточно точные и тонкие процедуры линеаризации.

2. Идентификация. Пусть М=М(X, Y, A), A={ai}, ai=(ai1, ai2, ..., aik) - вектор состояния объекта (системы). Есливектор ai зависит от некоторых неизвестных параметров, то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние, системы в некоторых случаях. Идентификация - задача построения по результатам наблюдений математических моделей некоторого типа, адекватно описывающих поведение системы. Если S={s1, s2, ..., sn} - некоторая последовательность сообщений, получаемых от источника информации о системе, М={m1, m2, ..., mz} - последовательность моделей, описывающих S, среди которых, возможно, содержится оптимальная (в каком-то смысле) модель, то идентификация модели Мозначает, что последовательность S позволяет различать (по рассматриваемому критерию адекватности) две разные модели вМ. Последовательность сообщений (данных) S назовем информативной, если она позволяет различать разные модели в М. Цель идентификации - построение надежной, адекватной, эффективно функционирующей гибкой модели на основе минимального объема информативной последовательности сообщений. Наиболее часто используемые методы идентификации систем (параметров систем): метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, метод байесовских оценок, метод марковских цепных оценок, метод эвристик, экспертное оценивание и другие.

Пример. Применим операцию идентификации параметра a в модели предыдущего примера. Для этого необходимо задать дополнительно значение y для некоторого t, например, y=6 при t=3. Тогда из модели получаем: 6=9a/2, a=12/9=4/3. Идентифицированный параметр а определяет следующую модель y=2t2/3. Методы идентификации моделей могут быть несоизмеримо сложнее, чем приведенный прием.

3. Оценка адекватности (точности) модели.

Пример. Оценим адекватность (точность) модели у=at2/2, 0<=t<=4, полученной в результате линеаризации выше. В качестве меры (критерия) адекватности рассмотрим привычную меру - абсолютное значение разности между точным (если оно известно) значением и значением, полученным по модели (почему берется по модулю?). Отклонение точной модели от линеаризованной будет в рамках этого критерия равно |at2/2-2at|, 0<=t<=4. Если a>0, то, как несложно оценить с помощью производной, эта погрешность будет экстремальна при t=2a. Например, если a=1, то эта величина не превосходит 2. Это достаточно большое отклонение, и можно заключить, что наша линеаризованная модель в данном случае не является адекватной (как исходной системе, так и нелинеаризованной модели).

4. Оценка чувствительности модели (чувствительности к изменениям входных параметров).

Пример. Из предыдущего примера следует, что чувствительность модели у=at2/2, 0<=t<=4 такова, что изменение входного параметра t на 1% приводит к изменению выходного параметра y на более, чем 2%, т.е. эта модель является чувствительной.

5. Вычислительный эксперимент по модели. Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью определения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы.

15. Компьютерное моделирование. Этапы

Компьютерное моделирование формулировка в виде алгоритма процесса моделирования что позволяет проводить над полученной моделью вычислит. Эксперимент(программа на эвм)

1 постановка задачи включает в себя стадии: описание задачи, определение цели моделирования, анализ объекта.

2 формализация задачи связан с созданием формализованной модели, то есть модели, записанной на каком-либо формальном языке. Например, данные переписи населения, представленные в виде таблицы или диаграммы -- это формализованная модель.

3 разработка компьютерной модели начинается с выбора инструмента моделирования, другими словами, программной среды, в которой будет создаваться и исследоваться модель.

4 компьютерный эксперимент включает две стадии: тестирование модели и проведение исследования.

5 анализ результатов является ключевым для процесса моделирования. Именно по итогам этого этапа принимается решение: продолжать исследование или закончить.

16. Имитационное моделирование

Имитационное моделирование -- это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация -- это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).

Имитационное моделирование -- это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.

К имитационному моделированию прибегают, когда:

дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;

невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;

необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами или другими словами -- разработке симулятора исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.

Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. Причём плюсом является то, что временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны.

17. Задачи исследования систем

Анализ - изучение свойств функционирования системы.

Синтез - выбор структуры и параметров по заданным свойствам системы.

Пусть Т = - это временной интервал моделирования системы S. Построение модели начинается с определения параметров и переменных, определяющих процесс функционирования системы. Параметры системы Q1, Q2, . . ., Qm - характеристики системы, остающиеся постоянными на всем интервале Т. Например, параметры диаметра колеса редуктора. Переменные бывают зависимые и независимые. Независимые переменные - это входные воздействия, в т.ч. и управляющие + воздействия внешней среды. Последовательность изменения x(t) при t1t2…tN называется фазовой траекторией системы, где хХ, где X - пространство состояний или фазовое пространство. Зависимые переменные есть выходные характеристики (сигналы). Общая схема математической модели (ММ) функционирования системы может быть представлена в виде: Множество переменных {U,V,X,Y} вместе с законами функционирования X(t), Y(t), V(t), U(t) называется математической моделью системы. Если t непрерывно, то модель называется непрерывной. Если модель не содержит случайных элементов, то она называется детерминированной, в противном случае - стохастической. Если математическое описание модели слишком сложное и частично или полностью неопределенно, то в этом случае используются агрегативные модели. Сущность агрегативной модели заключается в разбиении системы на конечное число взаимосвязанных частей (подсистем), каждая из которых допускает стандартное математическое описание. Эти подсистемы называются агрегатами.

18. Методы имитации случайных величин. Метод Монте-Карло

Имитационное моделирование позволяет воспроизводить процесс функционирования системы во времени с сохранением элементарных явлений, их логической структуры и последовательности протекания во времени. Это позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в будущем в определенные моменты времени. Метод Монте-Карло - общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение в некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а. Численный метод решающий задачу генерирования последовательности случайных чисел с заданными законами распределения получил название метод статических испытании - метод Монте-Карло. Н: через какое время выйдет фрезерный станок из строя. Алгоритм метода Монте-Карло: 1. Формирование равномерно распределенных случайных величин. 2. Преобразование равномерно распределенных величин в последовательность с заданным законом. 3. Вычисление реакции объекта процесса или системы на случайные воздействия с помощью соответствующих методов. 4. Статическая обработка. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение заранее неизвестное и зависящее от случайных величин которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины м.б.: дискретные и непрерывные. x, y, z - случайные величины, xi, yi, zi- возможные значения СВ. Дискретной (непрерывной) называют случайную величину. Которая принимает отдельные возможные значения xi, i=1, n i=1,? с определенными вероятностями. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка, причем величина этого промежутка может принимать бесконечные значения. Законом распределения дискретной СВ называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. З-н распределения можно создать таблично, аналитически (виде ф-лы), графически (виде многоугольника распределения). X1, X2,…Xn-возможные значения СВ. P1, P2…Pn-вероятности появления СВ. Биномиальное распределение определяемое законом Бернули. Pn(k)=-закон распределения по Бернули. k- количество возможных появлении событии. q=1-p-вероятность не появления события. Распределение Пуассона определяется асимптотической формулой Пуассона. Pn(k)=(лk*e-л)/k!, где л - интенсивность потока событий, показывает с каким интервалом идут СВ. Графический способ. Более универсальной является интегральная функция распределения. Она позволяет задать как дискретную, так и непрерывную СВ. Интегр. Ф-ция распределения - это ф-ция F(x)определяющая для каждого возможного значения x вероятность того, что СВ x примет значение меньше, чем xi-1. Свойство ИФР: 1. Значение ИФ принадлежит отрезку 0?F(x)?1. 2. Вероятность того, что случайная величина x примет значение из интервала равна приращению интегральной ф-ции распределения на этом интервале P(a?F(x)?b)=F(b)-F(a). 3. Если все возможные значения x СВ принадлежат интервалу , то F(x)=0, если x?a, и F(x)=1, если x?b. Геометрический смысл интеграла нахождение площади криволинейной трапеции. Математическое ожидание случайной величины -это неслучайная, постоянная величина она характеризует среднее значение случайной величины. Св-ва матем. Ожидания: 1. М(С)=С-мат. Ожидание константы= самой константе.2. М(СХ)=С*М(Х) 3. М(СУ)=М(Х)*М(У) 4. М(Х+У)=М(Х)+М(У). Двойственный симплекс-метод- использование идей двойственности сочетание с общей идеей симплекс-метод позволил разработать еще один метод решения задач линейного программирования -двойственности систем. Придумал Лемке 1954 году. Решение этим методом сводится к отысканию оптимального плана прямой задачи последовательным переходом от одного базиса к другому. Задачи линейного программирования в канонической форме максимизировать при граничных условиях. Max{(x)}=.

19. Базовый датчик. Требования к БД

Базовый датчик - некоторый генератор, выдающий случайные величины. БД выдает независимые равномерно распределенные случайные величины: непрерывные (0;1) и дискретные . Типы БД: физические (практически не используются ввиду того, что характеристики нестабильны и реализацию повторить нельзя - запись голоса на диктофон) и псевдослучайные датчики на основе детерминированного алгоритма (полученные данные неотличимы от случайных). Требования к БД: отрезок апериодичности, равномерность и некоррелированность.

20. Эволюционное моделир-ие. Основные атрибуты ЭМ

Потребность в прогнозе и адекватной оценки последствии осуществляемых человеком мероприятии приводит к необходимости М-ия динамики изменения основных параметров системы динамики взаимодействия открытой системы с ее окружением с которыми осуществляется обмен ресурсами в условиях враждебных, конкурентных, кооперативных иди же безразличных взаимоотношении. Здесь необходим системный подход, эффективные методы и критерии оценки адекватности моделей, которые направлены не только на максимизацию критериев (прибыль, рентабельность), но и на оптимизацию отношении с окружающей средой.

Для долгосрочного прогноза необходимо выделить и изучить полную и информативную систему параметров исследуемой системы и ее окружение, разработать методику введения мер информативности и близости состояния системы. При этом некоторые критерии и меры могут часто конфликтовать друг с другом. Многие такие социально-экономические системы можно описывать с единых позиции средствами и методами единой теории -Эволюционной. При ЭМ процесс М-ия сложной системы сводится к созданию модели его эволюции или к поиску допустимых состоянии системы, или к процедуре (алгоритму) отслеживания множества допустимых состоянии (траектории). Атрибуты логической эволюционной динамики: 1. Сообщество (корпорация, корпоративные объекты, субъекты, окружение). 2. Видовое разнообразие и распределение в экологической низше (типы распределения ресурсов, структура связи в данной корпорации). 3. Экологическая низша (сфера влияния и функционирования эволюции на рынке и в бизнесе). 4. Рождаемость и смертность (производство и разрушение).5. Изменчивость (в экономической обстановке, ресурсов).6. Конкурентные взаимоотношения (рыночные отношения).7. Память (способность к циклам воспроизводства - архив, база данных). 8. Естественный отбор (штрафные и поощрительные меры). 9. Наследственность (производственные циклы и их предыстория). 10. Регуляция (инвестиции). 11. Самоорганизация и стремление системы максимизировать контакт с окружением, в целях самоорганизации, возврата на траекторию устойчивого развития. Н.: человек.

21. Основные направления исследования эволюц-ых систем

При исследовании эволюции системы необходима ее декомпозиция (разбиение) на подсистемы, с целью обеспечения эффективного взаимодействия с окружением; оптимального обмена определяющими материальными, энергетическими, информационными, организационными ресурсами с подсистемами; эволюция системы в условиях динамической смены и переупорядочивание целей, структурной активности и сложности системы; управляемости системы обратной связи. Активность м.б. структурная и деловая. Пусть существует нек-рая система S с N подсистемами, для каждой i подсистемы определим вектор =(x1, x2, x3…xn)- вектор основных параметров без к-рых нельзя описать и изучить функционирование подсистемы в соответствии с целями и доступными ресурсами системы. Введем нек-рую ф-цию S=S(x)к-рую назовем ф-цей активности системы. Для всей системы определены вектор состоянии системы X, активность системы S(x), а также понятие общего потенциала системы. Потенциал активности м.б. определен с помощью интеграла от активности на задаваемом временном промежутке М-ия. Эти функции отражают интенсивность процессов, как в подсистемах max и в системе в целом. Важными для задач М-ия являются три значения активности i подсистемы: Smax, Smin, Sopt. Если дана открытая экономическая система, а Н0 и Н1 (это энтропия системы в начальном и конечном состояниях то меры информации определяется как разность вида: ДН=Н0-Н1. Энтропия -уменьшение неопределенностей. Уменьшение ДН свидетельствует о приближении системы к состоянию статического равновесия, при доступных ресурсах, а увеличение- об удалении от состоянии статического равновесия. Величина ДН - количество информации необходимой для перехода от одного уровня организации системы к другой при ДН>0 к более высокой, при ДН<0 к более низкой организации. Рассмотрим подход с использованием меры по Моиссеиву. Пусть дана нек-рая управляемая система о состояниях к-рой известно лишь нек-рые оценки: нижняя Smin, верхняя Smax, известна целевая функция управления F (2 параметра: S(t)-состояние системы в момент времени t; U(t)-управление из нек-рого множества допустимых управлении, причем t00. 3. Стационарности - выбор или определение функции состоянии системы, осуществляется таким образом, чтобы система имела точки равновесного состояния, а Sopt достигалась бы в стационарных точках Xopt для малых промежутков времени, в больших промежутках времени система может вести себя хаотично, самопроизвольно порождая регулярные, циклические, упорядоченные взаимодействия (Детерминированный хаус). Взаимные активности подсистем не учитываются в качестве функции состоянии, эффективно использовать функции типа Кобба-Дугласа. В таких функциях важен параметр бi отражающий степень саморегуляции, адаптации системы, как правило его нужно идентифицировать. Принцип ЭМ предполагает необходимость и эффективность использования методов и тпехнологии искусственного интеллекта, в частности, экспертных систем. Адекватным средством реализации процедур ЭМ является генетические алгоритмы.

22. Генетические алгоритмы. Основные процедуры

Генетический алгоритм- это алгоритм основанный на имитации генетических процедур развития популяции в соответствии с принципами эволюционной динамики. Применяют для решения задач оптимизации, для задач поиска и управления, данные алгоритмы адаптивны, они развивают решения и развиваются сами. Особенность: успешное использование при решении сложных проблем.

Генетический алгоритм может быть построен на основе следующей укрупненной процедуры:

Генерируем начальную популяцию (набор допустимых решений задачи) - I0 = (i1, i2, :, in), ij {0,1} и определяем некоторый критерий достижения "хорошего" решения, критерий остановки, процедуру СЕЛЕКЦИЯ, процедуру СКРЕЩИВАНИЕ, процедуру МУТАЦИЯ и процедуру обновления популяции ОБНОВИТЬ;

k = 0, f0 = max{f(i), i I0};

выполнять пока не() :

с помощью вероятностного оператора (селекции) выбираем два допустимых решения (родителей) i1, i2 из выбранной популяции (вызов процедуры СЕЛЕКЦИЯ);

по этим родителям строим новое решение (вызов процедуры СКРЕЩИВАНИЕ) и получаем новое решение i;

модифицируем это решение (вызов процедуры МУТАЦИЯ);

если f0 < f(i) то f0 = f(i);

обновляем популяцию (вызов процедуры ОБНОВИТЬ);

Подобные процедуры определяются с использованием аналогичных процедур живой природы (на том уровне знаний о них, что мы имеем). Процедура СЕЛЕКЦИЯ может из случайных элементов популяции выбирать элемент с наибольшим значением f(i). Процедура СКРЕЩИВАНИЕ (кроссовер) может по векторам i1, i2 строить вектор i, присваивая с вероятностью 0.5 соответствующую координату каждого из этих векторов - родителей. Это самая простая процедура. Используют и более сложные процедуры, реализующие более полные аналоги генетических механизмов. Процедура МУТАЦИЯ также может быть простой или сложной. Например, простая процедура с задаваемой вероятностью для каждого вектора меняет его координаты на противоположные (0 на 1, и наоборот). Процедура ОБНОВИТЬ заключается в обновлении всех элементов популяции в соответствии с указанными процедурами.

Хотя генетические алгоритмы и могут быть использованы для решения задач, которые, нельзя решить другими методами, они не гарантируют нахождение оптимального решения, по крайней мере, за приемлемое время. Здесь более уместны критерии типа "достаточно хорошо и достаточно быстро".

Главное же преимущество заключается в том, что они позволяют решать сложные задачи, для которых не разработаны пока устойчивые и приемлемые методы, особенно на этапе формализации и структурирования системы.

23. Основные правила и операторы языка GPSS

Для описания имитационной модели на языке GPSS полезно представить ее в виде схемы, на которой отображаются элементы систем массового обслуживания - устройства, накопители, узлы и источники. Описание на языке GPSS есть совокупность операторов (блоков), характеризующих процессы обработки заявок. Имеются операторы и для отображения возникновения заявок, задержки их в обслуживающих аппаратов, занятия памяти, выхода из систем массового обслуживания, изменения параметров заявок (например, приоритетов), вывода на печать накопленной информации, характеризующей загрузку устройств, заполненность очередей и т.п. Каждый транзакт, присутствующий в модели, может иметь до 12 параметров. Существуют операторы, с помощью которых можно изменять значения любых параметров транзактов, и операторы, характер исполнения которых зависит от значений того или иного параметра обслуживаемого транзакта. Пути продвижения заявок между обслуживающими аппаратами отображаются последовательностью операторов в описании модели на языке GPSS специальными операторами передачи управления (перехода). Для моделирования используется событийный метод. Соблюдение правильной временной последовательности имитации событий в системе массового обслуживания.

Основные операторы:

ADVANCE - задержка транзакта, ASSIGN - присвоить значение параметру транзакта, CLEAR - очистка модели, переход в начальное состояние, COUNT - подсчитать число элементов в группе, DELETE - удалить строку (строки) модели, DEPART - выход транзакта из очереди, END - выход из GPSS\PC, ENTER - выход транзакта из памяти,GATHER - синхронизация движения транзактов, GENERATE - генерация транзактов,

LEAVE - выход транзакта из памяти, LOOP - повторить цикл, PLOT- выдавать график СЧА в окне данных во время моделирования,QUEUE - вход транзакта в очередь, RELEASE - освобождение занятого устройства,

SEIZE - занятие транзактом устройства, SIMULATE - объявления режима исполнения модели (рудимент от GPSS-360), STORAGE - описание емкости памяти, TERMINATE - уничтожение транзакта, TRANSFER - пересылка транзакта,

24. Интерполирование функций

Интерполяция, интерполирование -- в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Дана табличная функция

Точки с координатами (xi, yi) называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно N = n+1.

Длина участка равна (xn - x0).

В расчетной практике инженера часто возникают задачи найти значение функции для аргументов, которые отсутствуют в таблице. Такие задачи называются задачами интерполирования или экстраполирования.

Задача интерполирования функции (или задача интерполяции) состоит в том, чтобы найти значения yk табличной функции в любой промежуточной точке хк, расположенной внутри интервала , т.е.

Задача экстраполирования функции (или задача экстраполяции) состоит в том, чтобы найти значения yl табличной функции в точке хl, которая не входит в интервал , т.е.

Такую задачу часто называют задачей прогноза.

Обе эти задачи решаются при помощи нахождения аналитического выражения некоторой вспомогательной функции F(x), которая приближала бы заданную табличную функцию, т.е. в узловых точках принимала бы значение табличных функций

Для определенности задачи искомую функцию F(x) будем искать из класса алгебраических многочленов:

Этот многочлен должен пройти через все узловые точки, т.е.

Поэтому степень многочлена n зависит от количества узловых точек N и равна количеству узловых точек минус один, т.е. n=N-1.

Многочлен вида (1.2), который проходит через все узловые точки табличной функции называется интерполяционным многочленом.

Интерполирование с помощью алгебраических многочленов называется параболическим интерполированием.

Таким образом, для решения задачи интерполирования прежде всего необходимо решить задачу, которую можно сформулировать следующим образом:

Для функции, заданной таблично, построить интерполяционный многочлен степени n, который проходит через все узловые точки таблицы:

где n-степень многочлена, равная количеству узловых точек N минус один, т.е. n=N-1.

В результате, в любой другой промежуточной точке хk, расположенной внутри отрезка выполняется приближенное равенство Pn(xk) = f(xk) yk.

25. Интерполяция по Лагранжу. Интерполяция по Ньютону

Подобные документы

Классификация случайных событий. Функция распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон равномерного распределения вероятностей. Распределение Стьюдента. Задачи математической статистики. Оценки параметров совокупности.

лекция , добавлен 12.12.2011


Основные положения теории математического моделирования. Структура математической модели. Линейные и нелинейные деформационные процессы в твердых телах. Методика исследования математической модели сваи сложной конфигурации методом конечных элементов.

курсовая работа , добавлен 21.01.2014


Теоретические основы моделирования: понятие модели и моделирования. Моделирование в решении текстовых задач. Задачи на встречное движение двух тел. Задачи на движение двух тел в одном направлении и в противоположных направлениях. Графические изображения.

курсовая работа , добавлен 03.07.2008


Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера. Основные средства математического моделирования. Решение дифференциальных уравнений. Использование системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем.

курсовая работа , добавлен 17.11.2016


Сходимость последовательностей случайных величин. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. Основные задачи математической статистики, их характеристика. Проверка гипотез по критерию однородности Смирнова.

курсовая работа , добавлен 13.11.2012


Математическое моделирование задач коммерческой деятельности на примере моделирования процесса выбора товара. Методы и модели линейного программирования (определение ежедневного плана производства продукции, обеспечивающей максимальный доход от продажи).

контрольная работа , добавлен 16.02.2011


Сущность математического моделирования. Аналитические и имитационные математические модели. Геометрический, кинематический и силовой анализы механизмов подъемно-навесных устройств. Расчет на устойчивость мобильного сельскохозяйственного агрегата.

курсовая работа , добавлен 18.12.2015


Процесс выбора или построения модели для исследования определенных свойств оригинала в определенных условиях. Стадии процесса моделирования. Математические модели и их виды. Адекватность математических моделей. Рассогласование между оригиналом и моделью.

контрольная работа , добавлен 09.10.2016


Понятие корреляционного момента двух случайных величин. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и У. Степень тесноты линейной зависимости между ними. Абсолютное значение коэффициента корреляции, его расчет и показатель.

презентация , добавлен 01.11.2013


Изучение актуальной задачи математического моделирования в биологии. Исследование модифицированной модели Лотки-Вольтерра типа конкуренция хищника за жертву. Проведение линеаризации исходной системы. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.

В основе моделирования лежит теория подобия , которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же . При моделировании абсолютное подобие не имеет места и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта.

Классификационные признаки. В качестве одного из первых признаков классификации видов моделирования можно выбрать степень полноты модели и разделить модели в соответствии с этим признаком на полные, неполные и приближенные. В основе полного моделирования лежит полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту. В основе приближенного моделирования лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем . Классификация видов моделирования систем S приведена на рис. 1.2.

Рис. 1.2 - Классификация видов моделирования систем

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т. е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реализаций. Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени.

Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

В зависимости от формы представления объекта (системы S ) можно выделить мысленное и реальное моделирование.

Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания. Например, на базе мысленного моделирования могут быть проанализированы многие ситуации микромира, которые не поддаются физическому эксперименту. Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и математического.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. В основу гипотетического моделирования исследователем закладывается некоторая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Гипотетическое моделирование используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей.

Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Наивысшим уровнем является полная аналогия, имеющая место только для достаточно простых объектов.

С усложнением объекта используют аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько либо только одну сторону функционирования объекта.

Существенное место при мысленном наглядном моделировании занимает макетирование . Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшествовать проведению других видов моделирования. В основе построения мысленных макетов также лежат аналогии, однако обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте. Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т. е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий - составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта.

В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус. Последний образуется из набора входящих понятий, причем этот набор должен быть фиксированным. Следует отметить, что между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные различия. Тезаурус - словарь, который очищен от неоднозначности, т. е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному слову могут соответствовать несколько понятий.

Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков или символов.

Математическое моделирование. Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы S математическими методами, включая и машинные, должна быть проведена формализация этого процесса, т. е. построена математическая модель.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференпиальных, конечно-разностных и т. п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы S . Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят частный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ЭВМ.

В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.

В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесса функционирования больших систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы S во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы S .

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование - наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования .

Когда результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы S , являются реализациями случайных величин и функций, тогда для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической обработкой информации и целесообразно в качестве метода машинной реализации имитационной модели использовать метод статистического моделирования. Первоначально был разработан метод статистических испытаний, представляющий собой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название метода Монте-Карло). Затем этот прием стали применять и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, т. е. появился метод статистического моделирования . Таким образом, методом статистического моделирования будем в дальнейшем называть метод машинной реализации имитационной модели, а методом статистических испытаний (Монте-Карло) - численный метод решения аналитической задачи.

Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем S , включая задачи оценки: вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему, с заданными характеристиками при определенных ограничениях, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности.

При решении задач машинного синтеза систем на основе их имитационных моделей помимо разработки моделирующих алгоритмов для анализа фиксированной системы необходимо также разработать алгоритмы поиска оптимального варианта системы. Далее в методологии машинного моделирования будем различать два основных раздела: статику и динамику,- основным содержанием которых являются соответственно вопросы анализа и синтеза систем, заданных моделирующими алгоритмами .

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности.

Другие виды моделирования. При реальном моделировании используется возможность исследования различных характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования могут проводиться как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени и т. д.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но при этом его возможности с учетом особенностей реальных объектов ограничены. Например, проведение реального моделирования АСУ предприятием потребует, во-первых, создания такой АСУ, а во-вторых, проведения экспериментов с управляемым объектом, т. е. предприятием, что в большинстве случаев невозможно. Рассмотрим разновидности реального моделирования.

Натурным моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. При функционировании объекта в соответствии с поставленной целью удается выявить закономерности протекания реального процесса. Надо отметить, что такие разновидности натурного эксперимента, как производственный эксперимент и комплексные испытания , обладают высокой степенью достоверности.

С развитием техники и проникновением в глубь процессов, протекающих в реальных системах, возрастает техническая оснащенность современного научного эксперимента . Он характеризуется широким использованием средств автоматизации проведения, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента, и в соответствии с этим появилось новое научное направление - автоматизация научных экспериментов .

Отличие эксперимента от реального протекания процесса заключается в том, что в нем могут появиться отдельные критические ситуации и определяться границы устойчивости процесса. В ходе эксперимента вводятся новые факторы и возмущающие воздействия в процессе функционирования объекта. Одна из разновидностей эксперимента - комплексные испытания, которые также можно отнести к натурному моделированию, когда вследствие повторения испытаний изделий выявляются общие закономерности о надежности этих изделий, о характеристиках качества и т. д. В этом случае моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений, проходящих в группе однородных явлений. Наряду со специально организованными испытаниями возможна реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса, т. е. можно говорить о производственном эксперименте. Здесь на базе теории подобия обрабатывают статистический материал по производственному процессу и получают его обобщенные характеристики.

Другим видом реального моделирования является физическое , отличающееся от натурного тем, что исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать в реальном и нереальном (псевдореальном) масштабах времени , а также может рассматриваться без учета времени. В последнем случае изучению подлежат так называемые «замороженные» процессы, которые фиксируются в некоторый момент времени. Наибольшие сложность и интерес с точки зрения верности получаемых результатов представляет физическое моделирование в реальном масштабе времени.

С точки зрения математического описания объекта и в зависимости от его характера модели можно разделить на модели аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные). Под аналоговой моделью понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими непрерывные величины. Под цифровой понимают модель, которая описывается уравнениями, связывающими дискретные величины, представленные в цифровом виде. Под аналого-цифровой понимается модель, которая может быть описана уравнениями, связывающими непрерывные и дискретные величины.

Особое место в моделировании занимает кибернетическое моделирование, в котором отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию и рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Чаще всего при использовании кибернетических моделей проводят анализ поведенческой стороны объекта при различных воздействиях внешней среды .

Таким образом, в основе кибернетических моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения имитационной модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести на имитационной модели данную функцию, причем на базе совершенно иных математических соотношений и, естественно, иной физической реализации процесса.

1 – Общие понятия. Определения.
Определения
Объект - все то, на что направлена человеческая деятельность.

Гипотеза - предсказание о свойствах объекта основанное на неполных данных.

Аналогия - суждение о каком-либо частном сходстве объектов. Аналогия связывает гипотезу с экспериментом.

Модель - объект-заместитель объекта, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Модель обеспечивает наглядность исследования объекта- оригинала.

Модель - логическая схема, упрощающая рассуждения и логические построения, позволяющие проводить эксперименты, и уточняющая природу явлений.

Моделирование - замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта - оригинала с помощью объекта-модели (далее по тексту для упрощения заменяем объект-оригинал на объект, объект-модель на модель).

Адекватность модели объекту - совпадение результатов моделирования и результатов экспериментов с объектом.
Общие понятия
Модель - объект или описание объекта, системы для замещения (при определенных условиях предложениях, гипотезах) одной системы (т.е. оригинала) другой системы для изучения оригинала или воспроизведения его каких - либо свойств. Модель - результат отображения одной структуры на другую. Отображая физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений) получим физико - математическую модель системы или математическую модель физической системы. В частности, физиологическая система - система кровообращения человека, подчиняется некоторым законам термодинамики и описав эту систему на физическом (термодинамическом) языке получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например, выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим математическую модель системы кровообращения.

Модели, если отвлечься от областей, сфер их применения, бывают трех типов: познавательные, прагматические и инструментальные.

Познавательная модель - форма организации и представления знаний, средство соединение новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

Прагматическая модель - средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность в них подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладные модели.

Инструментальная модель - является средством построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей.

Познавательные отражают существующие, а прагматические - хоть и не существующие , но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню, "глубине" моделирования модели бывают эмпирические - на основе эмпирических фактов, зависимостей, теоретические - на основе математических описаний и смешанные, полуэмпирические - использующие эмпирические зависимости и математические описания.

Основные требования к модели: наглядность построения; обозримость основных его свойств и отношений; доступность ее для исследования или воспроизведения; простота исследования, воспроизведения; сохранение информации, содержавшиеся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез) и получение новой информации.

Проблема моделирования состоит из трех задач:

• 
  построение модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);
• 
  исследование модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);
• 
  использование модели (конструктивная и конкретизируемая задача).

Модель - динамическая , если среди x i есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Модель - дискретная , если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Модель - непрерывная , если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени.

Модель - имитационная , если она предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров x i модели М .

Модель - детерминированная , если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная) .

Можно говорить о различных режимах использования моделей - об имитационном режиме, о стохастическом режиме и т. д.

Модель включает в себя: объект О , субъект (не обязательный) А , задачу Z , ресурсы B , среду моделирования С: М .

Свойства любой модели таковы:

• 
  конечность : модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
• 
  упрощенность : модель отображает только существенные стороны объекта;
• 
  приблизительность : действительность отображается моделью грубо или приблизительно;
• 
  адекватность : модель успешно описывает моделируемую систему;
• 
  информативность : модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели.

1. 
   Сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предмодельный анализ;
2. 
   Проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);
3. 
   Построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей;
4. 
   Исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования;
5. 
   Исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели;
6. 
   Оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);
7. 
   Интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно - следственных связей в исследуемой системе;
8. 
   Генерация отчетов и проектных (народно - хозяйственных) решений;
9. 
   Уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью моделирования.

1. 
   Линеаризация . Пусть М=М(X,Y,A) , где X - множество входов, Y - выходов, А - состояний системы. Схематически можно это изобразить:

Если X, Y, A - линейные пространства (множества), а - линейные операторы, то система (модель) называется линейной . Другие системы (модели) - нелинейные . Нелинейные системы трудно поддаются исследованию, поэтому их часто линеаризуют - сводят к линейным каким-то образом.

1. 
   Идентификация . Пусть М=М(X,Y,A), A={a i }, a i =(a i1 ,a i2 ,...,a ik ) - вектор состояния объекта (системы). Если вектор a i зависит от некоторых неизвестных параметров , то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние системы в некоторых случаях. Идентификация - решение задачи построения по результатам наблюдений математических моделей, описывающих адекватно поведение реальной системы.
2. 
   Агрегирование . Операция состоит в преобразовании (сведении) модели к модели (моделям) меньшей размерности (X, Y, A) .
3. 
   Декомпозиция . Операция состоит в разделении системы (модели) на подсистемы (подмодели) с сохранением структур и принадлежности одних элементов и подсистем другим.
4. 
   Сборка . Операция состоит в преобразовании системы, модели, реализующей поставленную цель из заданных или определяемых подмоделей (структурно связанных и устойчивых).
5. 
   Макетирование . Эта операция состоит в апробации, исследовании структурной связности, сложности, устойчивости с помощью макетов или подмоделей упрощенного вида, у которых функциональная часть упрощена (хотя вход и выход подмоделей сохранены).
6. 
   Экспертиза, экспертное оценивание . Операция или процедура использования опыта, знаний, интуиции, интеллекта экспертов для исследования или моделирования плохо структурируемых, плохо формализуемых подсистем исследуемой системы.
7. 
   Вычислительный эксперимент . Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью распределения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы. Прибором эксперимента здесь является компьютер (и модель!).

1. 
   Обучение (как моделям, моделированию, так и самих моделей).
2. 
   Познание и разработка теории исследуемых систем - с помощью каких - то моделей, моделирования, результатов моделирования.
3. 
   Прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы).
4. 
   Управление (системой в целом, отдельными подсиситемами системы, выработка управленческих решений и стратегий).
5. 
   Автоматизация (системы или отдельных подсистем системы).

Например, при имитационном моделировании (при отсутствии строгого и формально записанного алгоритма) главную роль играют технология и средства моделирования; аналогично и в когнитивной графике.

Основные функции компьютера при моделировании систем:

• 
  выполнять роль вспомогательного средства для решения задач, решаемых обычными вычислительными средствами, алгоритмами, технологиями;
• 
  выполнять роль средства постановки и решения новых задач, не решаемых традиционными средствами, алгоритмами, технологиями;
• 
  выполнять роль средства конструирования компьютерных обучающе - моделирующих сред;
• 
  выполнять роль средства моделирования для получения новых знаний;
• 
  выполнять роль "обучения" новых моделей (самообучающиеся модели).

Разновидностью компьютерного моделирования является вычислительный эксперимент.

Компьютерное моделирование, вычислительный эксперимент становится новым инструментом, методом научного познания, новой технологией также из-за возрастающей необходимости перехода от исследования линейных математических моделей систем.

2 – Классификация систем и моделей. Модель типа «черный ящик».

Классификация моделей

Модели могут быть относительно полными и неполными. Теория подобия утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене объекта точно таким же. Но тогда теряется смысл моделирования.

Полная модель характеризует все основные свойства объекта во времени и в пространстве.

Неполная модель характеризует ограниченную часть свойств объекта.

Систематизация моделей приведена в следующей таблице.

Классификация систем
Классификацию систем можно осуществить по разным критериям. Её часто жестко невозможно проводить и она зависит от цели и ресурсов. Приведем основные способы классификации (возможны и другие критерии классификации систем).

1. 
   По отношению системы к окружающей среде:
   • 
     открытые (есть обмен с окружающей средой ресурсами);
   • 
     закрытые (нет обмена ресурсами с окружающей средой).
2. 
   По происхождению системы (элементов, связей, подсистем):
   • 
     искусственные (орудия, механизмы, машины, автоматы, роботы и т.д.);
   • 
     естественные (живые, неживые, экологические, социальные и т.д.);
   • 
     виртуальные (воображаемые и, хотя они в действительности реально не существующие, но функционирующие так же, как и в случае, если бы они реально существовали);
   • 
     смешанные (экономические, биотехнические, организационные и т.д.).
3. 
   По описанию переменных системы:
   • 
     с качественными переменными (имеющие только лишь содержательное описание);
   • 
     с количественными переменными (имеющие дискретно или непрерывно описываемые количественным образом переменные);
   • 
     смешанного (количественно - качественное) описания.
4. 
   По типу описания закона (законов) функционирования системы:
   • 
     типа “Черный ящик” (неизвестен полностью закон функционирования системы; известны только входные и выходные сообщения системы);
   • 
     не параметризованные (закон не описан, описываем с помощью хотя бы неизвестных параметров , известны лишь некоторые априорные свойства закона);
   • 
     параметризованные (закон известен с точностью до параметров и его возможно отнести к некоторому классу зависимостей);
   • 
     типа “Белый (прозрачный) ящик” (полностью известен закон).
5. 
   По способу управления системой (в системе):
   • 
     управляемые извне системы (без обратной связи, регулируемые, управляемые структурно, информационно или функционально);
   • 
     управляемые изнутри (самоуправляемые или саморегулируемые - программно управляемые, регулируемые автоматически, адаптируемые - приспосабливаемые с помощью управляемых изменений состояний и самоорганизующиеся - изменяющие во времени и в пространстве свою структуру наиболее оптимально, упорядочивающие свою структуру под воздействием внутренних и внешних факторов);
   • 
     с комбинированным управлением (автоматические, полуавтоматические, автоматизированные, организационные).

Пример. Рассмотрим экологическую систему “Озеро”. Это открытая, естественного происхождения система, переменные которой можно описывать смешанным образом (количественно и качественно, в частности, температура водоёма - количественно описываемая характеристика), структуру обитателей озера можно описать и качественно, и количественно, а красоту озера можно описать качественно. По типу описания закона функционирования системы, эту систему можно отнести к не параметризованным в целом, хотя возможно выделение подсистем различного типа, в частности, различного описания подсистемы “Водоросли”, “Рыбы”, “Впадающий ручей”, ”Вытекающий ручей”, “Дно”, “Берег” и др. Система “Компьютер” - открытая, искусственного происхождения, смешанного описания, параметризованная, управляемая извне (программно). Система “Логический диск” - открытая, виртуальная, количественного описания, типа “Белый ящик” (при этом содержимое диска мы в эту систему не включаем!), смешанного управления. Систем “Фирма” - открытая, смешанного происхождения (организационная) и описания, управляемая изнутри (адаптируемая, в частности, система).

Система называется большой , если ее исследование или моделирование затруднено из-за большой размерности, т.е. множество состояний системы S имеет большую размерность. Какую же размерность нужно считать большой? Об этом мы можем судить только для конкретной проблемы (системы), конкретной цели исследуемой проблемы и конкретных ресурсов.

Большая система сводится к системе меньшей размерности использованием более мощных вычислительных средств (или ресурсов) либо разбиением задачи на ряд задач меньшей размерности (если это возможно).

Пример. Это особенно актуально при разработке больших вычислительных систем, например, при разработке компьютеров с параллельной архитектурой или алгоритмов с параллельной структурой данных и с их параллельной обработкой.

Система называется сложной , если в ней не хватает ресурсов (главным образом, - информационных) для эффективного описания (состояний, законов функционирования) и управления системой - определения , описания управляющих параметров или для принятия решений в таких системах (в таких системах всегда должна быть подсистема принятия решения).

Пример. Сложными системами являются, например, химические реакции, если их рассматривать на молекулярном уровне; клетка биологического образования, рассматриваемая на метаболическом уровне; мозг человека, если его рассматривать с точки зрения выполняемых человеком интеллектуальных действий; экономика, рассматриваемая на макроуровне (т.е макроэкономика); человеческое общество - на политико-религиозно- культурном уровне; ЭВМ (особенно, - пятого поколения), если её рассматривать как средство получения знаний; язык, - во многих аспектах.

Сложность этих систем обусловлена их сложным поведением. Сложность системы зависит от принятого уровня описания или изучения системы- макроскопического или микроскопического.

Сложность системы может быть внешней и внутренней.

Внутренняя сложность определяется сложностью множества внутренних состояний, потенциально оцениваемых по проявлениям системы, сложностью управления в системе.

Внешняя сложность определяется сложностью взаимоотношений с окружающей средой, сложностью управления системой потенциально оцениваемых по обратным связям системы и среды.

Сложные системы бывают:

• 
  сложности структурной или статической (не хватает ресурсов для построения, описания, управления структурой);
• 
  динамической или временной (не хватает ресурсов для описания динамики поведения системы и управления ее траекторией);
• 
  информационной или информационно - логической, инфологической (не хватает ресурсов для информационного, информационно-логического описания системы);
• 
  вычислительной или реализации, исследования (не хватает ресурсов для эффективного прогноза, расчетов параметров системы или их проведение затруднено нехваткой ресурсов);
• 
  алгоритмической или конструктивной (не хватает ресурсов для описания алгоритма функционирования или управления системой, для функционального описания системы);
• 
  развития или эволюции, самоорганизации (не хватает ресурсов для устойчивого развития , самоорганизации).

Система называется связной , если любые две подсистемы обмениваются ресурсом, т.е. между ними есть некоторые ресурсоориентированные отношения, связи.

Лекция 9: Классификация видов моделирования систем

Классификация видов моделирования может быть проведена по разным основаниям. Один из вариантов классификации приведен на рисунке.

Рис. — Пример классификации видов моделирования

В соответствии с классификационным признаком полноты моделирование делится на: полное, неполное, приближенное.

При полном моделировании модели идентичны объекту во времени и пространстве.

Для неполного моделирования эта идентичность не сохраняется.

В основе приближенного моделирования лежит подобие, при котором некоторые стороны реального объекта не моделируются совсем. Теория подобия утверждает, что абсолютное подобие возможно лишь при замене одного объекта другим точно таким же. Поэтому при моделировании абсолютное подобие не имеет места. Исследователи стремятся к тому, чтобы модель хорошо отображала только исследуемый аспект системы. Например, для оценки помехоустойчивости дискретных каналов передачи информации функциональная и информационная модели системы могут не разрабатываться. Для достижения цели моделирования вполне достаточна событийная модель, описываемая матрицей условных вероятностей переходов i-го символа алфавита в j-й.

В зависимости от типа носителя и сигнатуры модели различаются следующие виды моделирования: детерминированное и стохастическое, статическое и динамическое, дискретное, непрерывное и дискретно-непрерывное.

Детерминированное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие случайных воздействий.

Стохастическое моделирование учитывает вероятностные процессы и события.

Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени, а динамическое — для исследования объекта во времени. При этом оперируют аналоговыми (непрерывными), дискретными и смешанными моделями.

В зависимости от формы реализации носителя и сигнатуры моделирование классифицируется на мысленное и реальное.

Мысленное моделирование применяется тогда, когда модели не реализуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют условия для их физического создания (например, ситуация микромира). Мысленное моделирование реальных систем реализуется в виде наглядного, символического и математического. Для представления функциональных, информационных и событийных моделей этого вида моделирования разработано значительное количество средств и методов.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. Примером таких моделей являются учебные плакаты, рисунки, схемы, диаграммы.

В основу гипотетического моделирования закладывается гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Этот вид моделирования используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей. Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Для достаточно простых объектов наивысшим уровнем является полная аналогия. С усложнением системы используются аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько (или только одну) сторон функционирования объекта.

Макетирование применяется, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию или могут предшествовать проведению других видов моделирования. В основе построения мысленных макетов также лежат аналогии, обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте.

Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает его основные свойства с помощью определенной системы знаков и символов.

В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус, который образуется из набора понятий исследуемой предметной области, причем этот набор должен быть фиксированным. Под тезаурусом понимается словарь, отражающий связи между словами или иными элементами данного языка, предназначенный для поиска слов по их смыслу.

Традиционный тезаурус состоит из двух частей: списка слов и устойчивых словосочетаний, сгруппированных по смысловым (тематическим) рубрикам; алфавитного словаря ключевых слов, задающих классы условной эквивалентности, указателя отношений между ключевыми словами, где для каждого слова указаны соответствующие рубрики. Такое построение позволяет определить семантические (смысловые) отношения иерархического (род/вид) и неиерархического (синонимия, антонимия, ассоциации) типа.

Между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные различия. Тезаурус — словарь, который очищен от неоднозначности, т.е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному слову может соответствовать несколько понятий.

Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т.е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий — составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта.

Математическое моделирование — это процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. В принципе, для исследования характеристик любой системы математическими методами, включая и машинные, должна быть обязательно проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта, от требуемой достоверности и точности решения задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект с некоторой степенью приближения.

Для представления математических моделей могут использоваться различные формы записи. Основными являются инвариантная, аналитическая, алгоритмическая и схемная (графическая).

Инвариантная форма — запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели. В этом случае модель может быть представлена как совокупность входов, выходов, переменных состояния и глобальных уравнений системы. Аналитическая форма — запись модели в виде результата решения исходных уравнений модели. Обычно модели в аналитической форме представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входов и переменных состояния.

Для аналитического моделирования характерно то, что в основном моделируется только функциональный аспект системы. При этом глобальные уравнения системы, описывающие закон (алгоритм) ее функционирования, записываются в виде некоторых аналитических соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечноразностных и т.д.) или логических условий. Аналитическая модель исследуется несколькими методами:

• аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными состояния системы;
• численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных (напомним, что такие модели называются цифровыми);
• качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

В настоящее время распространены компьютерные методы исследования характеристик процесса функционирования сложных систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

Алгоритмическая форма — запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма. Среди алгоритмических моделей важный класс составляют имитационные модели, предназначенные для имитации физических или информационных процессов при различных внешних воздействиях. Собственно имитацию названных процессов называют имитационным моделированием.

При имитационном моделировании воспроизводится алгоритм функционирования системы во времени — поведение системы, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и другие, которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование — наиболее эффективный метод исследования систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования.

В имитационном моделировании различают метод статистических испытаний (Монте-Карло) и метод статистического моделирования.

Метод Монте-Карло — численный метод, который применяется для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадают с решениями аналитических задач. Состоит в многократном воспроизведении процессов, являющихся реализациями случайных величин и функций, с последующей обработкой информации методами математической статистики.

Если этот прием применяется для машинной имитации в целях исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, то такой метод называется методом статистического моделирования.

Метод имитационного моделирования применяется для оценки вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза систем, когда требуется создать систему с заданными характеристиками при определенных ограничениях.

Комбинированное (аналитико-имитационное ) моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса Функционирования объекта на составляющие подпроцессы, и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели. Такой подход дает возможность охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием аналитического или имитационного моделирования в отдельности.

Информационное (кибернетическое ) моделирование связано с исследованием моделей, в которых отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию, рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Таким образом, в основе информационных (кибернетических) моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести данную функцию на имитационной модели, причем на совершенно другом математическом языке и, естественно, иной физической реализации процесса. Так, например, экспертные системы являются моделями ЛПР.

Структурное моделирование системного анализа базируется на некоторых специфических особенностях структур определенного вида, которые используются как средство исследования систем или служат для разработки на их основе специфических подходов к моделированию с применением других методов формализованного представления систем (теоретико-множественных, лингвистических, кибернетических и т.п.). Развитием структурного моделирования является объектно-ориентированное моделирование.

Структурное моделирование системного анализа включает:

• методы сетевого моделирования;
• сочетание методов структуризации с лингвистическими;
• структурный подход в направлении формализации построения и исследования структур разного типа (иерархических, матричных, произвольных графов) на основе теоретико-множественных представлений и понятия номинальной шкалы теории измерений.

При этом термин «структура модели» может применяться как функциям, так и к элементам системы. Соответствующие структуры называются функциональными и морфологическими. Объектно-ориентированное моделирование объединяет структуры обоих типов в иерархию классов, включающих как элементы, так и функции.

В структурном моделировании за последнее десятилетие сформировалась новая технология CASE. Аббревиатура CASE имеет двоякое толкование, соответствующее двум направлениям использования CASE-систем. Первое из них — Computer-Aided Software Engineering — переводится как автоматизированное проектирование программного обеспечения. Соответствующие CASE-системы часто называют инструментальными средами быстрой разработки программного обеспечения (RAD — Rapid Application Development). Второе — Computer-Aided System Engineering — подчеркивает направленность на поддержку концептуального моделирования сложных систем, преимущественно слабоструктурированных. Такие CASE-системы часто называют системами BPR (Business Process Reengineering). В целом CASE-технология представляет собой совокупность методологий анализа, проектирования, разработки и сопровождения сложных автоматизированных систем, поддерживаемую комплексом взаимосвязанных средств автоматизации. CASE — это инструментарий для системных аналитиков, разработчиков и программистов, позволяющий автоматизировать процесс проектирования и разработки сложных систем, в том числе и программного обеспечения.

Ситуационное моделирование опирается на модельную теорию мышления, в рамках которой можно описать основные механизмы регулирования процессов принятия решений. В центре модельной теории мышления лежит представление о формировании в структурах мозга информационной модели объекта и внешнего мира. Эта информация воспринимается человеком на базе уже имеющихся у него знаний и опыта. Целесообразное поведение человека строится путем формирования целевой ситуации и мысленного преобразования исходной ситуации в целевую. Основой построения модели является описание объекта в виде совокупности элементов, связанных между собой определенными отношениями, отображающими семантику предметной области. Модель объекта имеет многоуровневую структуру и представляет собой тот информационный контекст, на фоне которого протекают процессы управления. Чем богаче информационная модель объекта и выше возможности манипулирования ею, тем лучше и многообразнее качество принимаемых решений при управлении.

При реальном моделировании используется возможность исследования характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования проводятся как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени и т.д.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но его возможности ограничены.

Натурным моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. Натурное моделирование подразделяется на научный эксперимент, комплексные испытания и производственный эксперимент. Научный эксперимент характеризуется широким использованием средств автоматизации, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента. Одна из разновидностей эксперимента — комплексные испытания , в процессе которых вследствие повторения испытаний объектов в целом (или больших частей системы) выявляются общие закономерности о характеристиках качества, надежности этих объектов. В этом случае моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений о группе однородных явлений. Наряду со специально организованными испытаниями возможна реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса, т.е. можно говорить о производственном эксперименте . Здесь на базе теории подобия обрабатывают статистический материал по производственному процессу и получают его обобщенные характеристики. Необходимо помнить про отличие эксперимента от реального протекания процесса. Оно заключается в том, что в эксперименте могут появиться отдельные критические ситуации и определиться границы устойчивости процесса. В ходе эксперимента вводятся новые факторы возмущающие воздействия в процесс функционирования объекта.

Другим видом реального моделирования является физическое , отличающееся от натурного тем, что исследование проводится а установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать в реальном и модельном (псевдореальном) масштабах времени или рассматриваться без учета времени. В последнем случае изучению подлежат так называемые «замороженные» процессы, фиксируемые в некоторый момент времени.

Принципы и подходы к построению математических моделей

Математическое моделирование многие считают скорее искусством, чем стройной и законченной теорией. Здесь очень велика роль опыта, интуиции и других интеллектуальных качеств человека. Поэтому невозможно написать достаточно формализованную инструкцию, определяющую, как должна строиться модель той или иной системы. Тем не менее отсутствие точных правил не мешает опытным специалистам строить удачные модели. К настоящему времени уже накоплен значительный опыт, дающий основание сформулировать некоторые принципы и подходы к построению моделей. При рассмотрении порознь каждый из них может показаться довольно очевидным. Но совокупность взятых вместе принципов и подходов далеко не тривиальна. Многие ошибки и неудачи в практике моделирования являются прямым следствием нарушения этой методологии.

Принципы определяют те общие требования, которым должна удовлетворять правильно построенная модель. Рассмотрим эти принципы.

Адекватность. Этот принцип предусматривает соответствие модели целям исследования по уровню сложности и организации, а также соответствие реальной системе относительно выбранного множества свойств. До тех пор, пока не решен вопрос правильно ли отображает модель исследуемую систему, ценность модели незначительна.

Соответствие модели решаемой задаче. Модель должна строиться для решения определенного класса задач или конкретной задачи исследования системы. Попытки создания универсальной модели, нацеленной на решение большого числа разнообразных задач, приводят к такому усложнению, что она оказывается практически непригодной. Опыт показывает, что при решении каждой конкретной задачи нужно иметь свою модель, отражающую те аспекты системы, которые являются наиболее важными в данной задаче. Этот принцип связан с принципом адекватности.

Упрощение при сохранении существенных свойств системы. Модель должна быть в некоторых отношениях проще прототипа — в этом смысл моделирования. Чем сложнее рассматриваемая система, тем по возможности более упрощенным должно быть ее описание, умышленно утрирующее типичные и игнорирующее менее существенные свойства. Этот принцип может быть назван принципом абстрагирования от второстепенных деталей.

Соответствие между требуемой точностью результатов моделирования и сложностью модели. Модели по своей природе всегда носят приближенный характер. Возникает вопрос, каким должно быть это приближение. С одной стороны, чтобы отразить все сколько-нибудь существенные свойства, модель необходимо детализировать. С другой стороны, строить модель, приближающуюся по сложности к реальной системе, очевидно, не имеет смысла. Она не должна быть настолько сложной, чтобы нахождение решения оказалось слишком затруднительным. Компромисс между этими двумя требованиями достигается нередко путем проб и ошибок. Практическими рекомендациями по уменьшению сложности моделей являются:

• изменение числа переменных, достигаемое либо исключением несущественных переменных, либо их объединением. Процесс преобразования модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений называют агрегированием. Например, все типы ЭВМ в модели гетерогенных сетей можно объединить в четыре типа — ПЭВМ, рабочие станции, большие ЭВМ (мейнфреймы), кластерные ЭВМ;
• изменение природы переменных параметров. Переменные параметры рассматриваются в качестве постоянных, дискретные — в качестве непрерывных и т.д. Так, условия распространения радиоволн в модели радиоканала для простоты можно принять постоянными;
• изменение функциональной зависимости между переменными. Нелинейная зависимость заменяется обычно линейной, дискретная функция распределения вероятностей — непрерывной;
• изменение ограничений (добавление, исключение или модификация). При снятии ограничений получается оптимистичное решение, при введении — пессимистичное. Варьируя ограничениями можно найти возможные граничные значения эффективности. Такой прием часто используется для нахождения предварительных оценок эффективности решений на этапе постановки задач;
• ограничение точности модели. Точность результатов модели не может быть выше точности исходных данных.

1. Баланс погрешностей различных видов. В соответствии с принципом баланса необходимо добиваться, например, баланса систематической погрешности моделирования за счет отклонения модели от оригинала и погрешности исходных данных, точности отдельных элементов модели, систематической погрешности моделирования и случайной погрешности при интерпретации и осреднении результатов.

   Многовариантность реализаций элементов модели. Разнообразие реализаций одного и того же элемента, отличающихся по точности (а следовательно, и по сложности), обеспечивает регулирование соотношения «точность/сложность».

   Блочное строение. При соблюдении принципа блочного строения облегчается разработка сложных моделей и появляется возможность использования накопленного опыта и готовых блоков с минимальными связями между ними. Выделение блоков производится с учетом разделения модели по этапам и режимам функционирования системы. К примеру, при построении модели Для системы радиоразведки можно выделить модель работы излучателей, модель обнаружения излучателей, модель пеленгования и т.д.

В зависимости от конкретной ситуации возможны следующие подходы к построению моделей:

• непосредственный анализ функционирования системы;
• проведение ограниченного эксперимента на самой системе;
• использование аналога;
• анализ исходных данных.

Имеется целый ряд систем, которые допускают проведение непосредственных исследований по выявлению существенных параметров и отношений между ними. Затем либо применяются известные математические модели, либо они модифицируются либо предлагается новая модель. Таким образом, например, можно вести разработку модели для направления связи в условиях мирного времени.

При проведении эксперимента выявляется значительная часть существенных параметров и их влияние на эффективность системы. Такую цель преследуют, например, все командно-штабные игры и большинство учений.

Если метод построения модели системы не ясен, но ее структура очевидна, то можно воспользоваться сходством с более простой системой, модель для которой существует.

К построению модели можно приступить на основе анализа исходных данных, которые уже известны или могут быть получены. Анализ позволяет сформулировать гипотезу о структуре системы, которая затем апробируется. Так появляются первые модели нового образца иностранной техники при наличии предварительных данных об их технических параметрах.

Разработчики моделей находятся под действием двух взаимно противоречивых тенденций: стремления к полноте описания и стремления к получению требуемых результатов возможно более простыми средствами. Достижение компромисса ведется обычно по пути построения серии моделей, начинающихся с предельно простых и восходящих до высокой сложности (существует известное правило: начинай с простых моделей, а далее усложняй). Простые модели помогают глубже понять исследуемую проблему. Усложненные модели используются для анализа влияния различных факторов на результаты моделирования. Такой анализ позволяет исключать некоторые факторы из рассмотрения.

Сложные системы требуют разработки целой иерархии моделей, различающихся уровнем отображаемых операций. Выделяют такие уровни, как вся система, подсистемы, управляющие объекты и др.

Рассмотрим один конкретный пример — модель развития экономики (модель Харрода). Эта упрощенная модель развития экономики страны предложена английским экономистом Р. Харродом. В модели учитывается один определяемый фактор — капитальные вложения, а состояние экономики оценивается через размер национального дохода.

Для математической постановки задачи введем следующие обозначения:

• Y t — национальный доход в год t;
• K t — производственные фонды в год t;
• K t — объем потребления в год t;
• K t — объем накопления в год t;
• K t — капитальные вложения в год t.

Будем предполагать, что функционирование экономики происходит при выполнении следующих условий:

условие баланса доходов и расходов за каждый год

условие исключения пролеживания капитала

условие пропорционального деления национального годового дохода

Два условия принимаются для характеристики внутренних экономических процессов. Первое условие характеризует связь капитальных вложений и общей суммы производственных фондов, второе — связь национального годового дохода и производственных фондов.

Капитальные вложения в год t могут рассматриваться как прирост производственных фондов или производная от функции производственные фонды принимается как капитальные годовые вложения:

Национальный доход в каждый год принимается как отдача производственных фондов с соответствующим нормативным коэффициентом фондоотдачи:

Соединяя условия задачи, можно получить следующее соотношение:

Y t = V t /a = dK/(a⋅dt) = b/a⋅dY/dt

Отсюда следует итоговое уравнение Харрода:

Y t = b⋅dY/dt = a⋅Y

Его решением является экспоненциальное изменение национального дохода по годовым интервалам:

Y t = Y 0 ⋅e a⋅t/b

Несмотря на упрощенный вид математической модели, ее результат может быть использован для укрупненного анализа национальной экономики. Параметры а и b могут стать параметрами управления при выборе плановой стратегии развития в целях максимального приближения к предпочтительной траектории изменения национального дохода или для выбора минимального интервала времени достижения заданного уровня национального дохода.

Этапы построения математической модели

Сущность построения математической модели состоит в том, что реальная система упрощается, схематизируется и описывается с помощью того или иного математического аппарата. Можно выделить следующие основные этапы построения моделей.

Содержательное описание моделируемого объекта. Объекты моделирования описываются с позиций системного подхода. Исходя из цели исследования устанавливаются совокупность элементов, взаимосвязи между элементами, возможные состояния каждого элемента, существенные характеристики состояний и отношения между ними. Например, фиксируется, что если значение одного параметра возрастает, то значение другого — убывает и т.п. Вопросы, связанные с полнотой и единственностью выбора характеристик, не рассматриваются. Естественно, в таком словесном описании возможны логические противоречия, неопределенности. Это исходная естественно-научная концепция исследуемого объекта. Такое предварительное, приближенное представление системы называют концептуальной моделью. Для того чтобы содержательное описание служило хорошей основой для последующей формализации, требуется обстоятельно изучить моделируемый объект. Нередко естественное стремление ускорить разработку модели уводит исследователя от данного этапа непосредственно к решению формальных вопросов. В результате построенная без достаточного содержательного базиса модель оказывается непригодной к использованию. На этом этапе моделирования широко применяются качественные методы описания систем, знаковые и языковые модели.

Формализация операций. Формализация сводится в общих чертах к следующему. На основе содержательного описания определяется исходное множество характеристик системы. Для выделения существенных характеристик необходим хотя бы приближенный анализ каждой из них. При проведении анализа опираются на постановку задачи и понимание природы исследуемой системы. После исключения несущественных характеристик выделяют управляемые и неуправляемые параметры и производят символизацию. Затем определяется система ограничений на значения управляемых параметров. Если ограничения не носят принципиальный характер, то ими пренебрегают.

Дальнейшие действия связаны с формированием целевой функции модели. В соответствии с известными положениями выбираются показатели исхода операции и определяется примерный вид функции полезности на исходах. Если функция полезности близка к пороговой (или монотонной), то оценка эффективности решений возможна непосредственно по показателям исхода операции. В этом случае необходимо выбрать способ свертки показателей (способ перехода от множества показателей к одному обобщенному показателю) и произвести саму свертку. По свертке показателей формируются критерий эффективности и целевая функция.

Если при качественном анализе вида функции полезности окажется, что ее нельзя считать пороговой (монотонной), прямая оценка эффективности решений через показатели исхода операции неправомочна. Необходимо определять функцию полезности и уже на ее основе вести формирование критерия эффективности и целевой функции.

В целом замена содержательного описания формальным — это итеративный процесс.

Проверка адекватности модели. Требование адекватности находится в противоречии с требованием простоты, и это нужно учитывать при проверке модели на адекватность. Исходный вариант модели предварительно проверяется по следующим основным аспектам:

• Все ли существенные параметры включены в модель?
• Нет ли в модели несущественных параметров?
• Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?
• Правильно ли определены ограничения на значения параметров?

Для проверки рекомендуется привлекать специалистов, которые не принимали участия в разработке модели. Они могут более объективно рассмотреть модель и заметить ее слабые стороны, чем ее разработчики. Такая предварительная проверка модели позволяет выявить грубые ошибки. После этого приступают к реализации модели и проведению исследований. Полученные результаты моделирования подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта. Для установления соответствия создаваемой модели оригиналу используются следующие пути:

• сравнение результатов моделирования с отдельными экспериментальными результатами, полученными при одинаковых условиях;
• использование других близких моделей;
• сопоставление структуры и функционирования модели с прототипом.

Главным путем проверки адекватности модели исследуемому объекту выступает практика. Однако она требует накопления статистики, которая далеко не всегда бывает достаточной для получения надежных данных. Для многих моделей первые два приемлемы в меньшей степени. В этом случае остается один путь: заключение о подобии модели и прототипа делать на основе сопоставления их структур и реализуемых функций. Такие заключения не носят формального характера, поскольку основываются на опыте и интуиции исследователя.

По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

Корректировка модели. При корректировке модели могут уточняться существенные параметры, ограничения на значения управляемых параметров, показатели исхода операции, связи показателей исхода операции с существенными параметрами, критерий эффективности. После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка адекватности.

Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, выступают время и затраты средств для проведения исследований на ней. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Преобразование может выполняться либо с использованием математических методов, либо эвристическим путем.

Главная » Для начинающих » Моделирование процессов и систем практика. Система, модель, моделирование