Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.

1. Построение графиков функций, содержащих модуль

Пример 1.

Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.

Решение.

Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).

Пример 2.

Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.

– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).

– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).

Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).

Пример 3.

Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Ответ: рисунок 3.

Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:

2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»

Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.

Пример 4.

Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».

Решение.

Воспользуемся методом геометрических преобразований.

Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.

Пример 5.

Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .

Решение.

Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Раскроем в знаменателе модуль:

При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).

Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Область значений E(y) = (-4; +∞).

Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).

Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.

Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.

Пример 6.

Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.

Решение.

Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.

Возможны четыре случая:

{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;

{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;

{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;

{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Тогда исходная функция будет иметь вид:

{3, при x ≥ 2;

y = {-3, при x < -1;

{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.

Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.

3. Алгоритм построения графиков функций вида

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.

В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?

Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:

Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.

Задача.

Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.

Решение:

Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

«Определить, чётная или нечётная функция» - Функция - нечетная. Не является нечетной. Не является четной. График четной функции. График нечетной функции. Функция. Симметрия относительно оси. Четные функции. Является ли нечетной функция. Столбик. Четные и нечетные функции. Пример. Является ли четной функция. Нечетные функции.

««Показательная функция» 11 класс» - Решите уравнение. Определение. Проверь себя. Показательные неравенства. При х=0 значение функции равно 1. Тест. Показательные уравнения. Производная и первообразная. Функциональный способ. Основные опорные сигналы. Функция возрастает на всей области определения. Показательная функция. Область значений. Свойства степени с рациональным показателем. Способы решения уравнений. Свойства показательной функции.

«Примеры логарифмических неравенств» - Найдите верное решение. Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими? Удачи на ЕГЭ! Графики логарифмических функций. Итог урока. Кластер для заполнения в течение урока: Возрастающая. Задание: решить логарифмические неравенства, предложенные в заданиях ЕГЭ-2010 г. Между числами m и n поставить знак > или <.(m, n > 0). Убывающая. Готовимся к ЕГЭ! Цели урока: Алгебра 11 класс. Найти область определения функции.

«Построение графика функции с модулем» - График функции. Закрепили знания на ранее изученных функциях. Вопрос классу. Усвоенные знания. Y = x2 – 2x – 3. Построение графиков функций. Обобщение. Линейная функция. Проектная деятельность. Y = f(x). Урок обобщения и систематизации знаний. Актуализация знаний о графиках функций. Y = lnx. Попробуйте самостоятельно построить графики. Y = x – 2. Y = sinx.

««Степенные функции» 11 класс» - Функция у=х0. Кубическая функция. Гипербола. У = х. Функция у=х-3. Графиком является парабола. Степенные функции с натуральным показателем. Функция у = х2n-1. Функция у = х2n. Степенная функция. Функция у=х-2. Функция у=х4.

«Геометрический смысл производной функции» - У меня всё получилось. Результаты вычисления. Предельное положение секущей. Найдите угловой коэффициент. Секущая. Геометрический смысл производной. Алгоритм составления уравнения касательной. Определение. Значение производной функции. Правильная математическая идея. Уравнение касательной к графику функции. Составь пару. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Напишите уравнение касательной к графику функции.

Тема: "Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений, неравенств, систем"

Цель : рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>0, а1

Задачи урока:

повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;

повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;

находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;

решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.

работа с графиками функций, содержащими модуль;

рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы

Слайд 1 Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”

Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.

Слайд 2-3 Цели и задачи урока.

Сегодня мы рассмотрим задачи ЗНО разных уровней сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>о,а1. С помощью графической программы выполним иллюстрации к задачам.

Слайд 4 Почему так важно знать свойства показательной функции?.

По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания .

Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания.

Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.

Приведите свои примеры

Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).

Сообщение о дозе принятия лекарств :

Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.Слайд5.

Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.

Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.

2. Актуализация знаний учащихся.

Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)

Какая функция называется показательной? Приведите пример.

Какие основные свойства показательной функции вы знаете?

Область значения (ограниченность)

область определения

монотонность(условие возрастания убывания)

Слайд 6 . Укажите множество значений функции(по готовому чертежу)

Слайд 7. Назовите условие возрастания убывания функции и соотнесите формулу функции с ее графиком

Слайд 8. По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функции

Слайд а) у=3 x + 2

б) у=3 x-2 – 2

3.Диагностическая самостоятельная работа (с использованием ПК).

Класс делится на две группы. Основная часть класса выполняют тестовые задания. Сильные учащиеся выполняют более сложные задания.

Самостоятельная работа в программе Power point (для основной части

Самостоятельная работа(для сильной части класса)

Слайд9. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.

Слайд 10. Соотнесите формулу функции с ее графиком

Учащиеся проверяют свои ответы, не исправляя ошибки, самомтоятельные работы сдают учителю

Слайды 11-21 . Проверка теста для основной части

4. Изучение новой темы. Применение функционально-графического метода для решения уравнений,неравенств, систем, определения области значений сложной функции

Слайды 22-23. Функционально графический способ решения уравнений

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.

Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.

Записать ответ.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Слайд24-25.

Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный

СЛАЙД 26

5. Выполнение практической работы.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕИЙ. СЛАЙДЫ 27-30

Это уравнение возможно решить графическим способом. Учащимся предлагается выполнить задание, а затем ответить на вопрос: “Обязательно ли для решения этого уравнения строить графики функций?”. Ответ: “Функция возрастает на всей области определения, а функция - убывает. Следовательно, графики таких функций имеют не более одной точки пересечения, а значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что ”.

Решить уравнение 3 x = (х-1) 2 + 3

Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ. Слайды 31-33

Графические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции. Для этого после построения графиков функций, стоящих в левой и правой части неравенства и определения абсциссы точки пересечения графиков, необходимо определить промежуток на котором все точки одного из графиков лежат выше(ниже0 точек второго.

Решить неравенство:

а) сos x 1 + 3 x

Решение:

Ответ: ( ; )

Решить графически неравенство.

(График показательной функции лежит выше функции, записанной в правой части уравнения).

Ответ: х>2. О

.
Oтвет: х>0.

Показательная функция содержит знак модуля в показателе степени.слайд 34-35

Повторим определение модуля.

(запись на доске)

Сделать записи в тетради:

1).

2).

Графическая иллюстрация представлена на слайде.Объяснить, как построены графики.

Е(у)=(0;1]

Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции. Функция принимает значения > 1, а – 1 < > 1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, Решая эту систему, находим, что х = 0.

.Нахождение области значений сложной функции. Слайды 36-37.

Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

, - вершина параболы.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = 16 t возрастает, так как 16>1 .

При наименьшем значении показателя функции

.

График иллюстрирует наш вывод.

Показательная функция. «Функционально - графические методы решения уравнений неравенств и систем» 1 ЦЕЛЬ УРОКА: рассмотреть задачи Внешнего Независимого оценивания (ЗНО) разных уровней сложности с применением функциональнографических методов на примере ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 2 Задачи урока: повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции; повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований; находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика; решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции. работа с графиками функций, содержащими модуль; рассмотреть графики сложной функции и их область значений; 3 Показательная функция. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания. 4 Изменение концентрации лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения. 5 Укажите множество значений функции. а) (5; а)(5;) б)(0 ;) в)(;) г)(7 ;) 6 Назовите условие возрастания,убывания показательной функции. Соотнесите график с соответствующей формулой. а) б) у (3) х у (0 ,3) х 7 По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функций 8 1.Запишите алгоритм построения графика функции. Назовите ее область определения, область значения 9 2.На рисунках изображены линии, надо им в соответствии подписать уравнения. 10 А 1 y 2 Б X y 0 ,98 В X y4 Г X y 5 1 Д X 1 y 4 X 11 X y 5 А R Б X 1 В;1 1; 1; Г Д;1 1; 12 y 3 2 x А R Б 0 ; В;2 Г Д 2 ; 2 ; 13 y3 X 2 y3 X 14 y5 сosX А Б В ГГ Д Д(y)=R Е(y)=R Д(y)=R Е(y)=(0;+ ∞) Д(y)=(0;+ ∞) Е(y)=R Д(y)=R Е(y)=(0;5] Д(y)=R Е(y)= 15 yа X А Б В Г Д 1 2 33 4 5 16 А Б В Г 17 8. На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой. 1) 2) у 2 1 х у 2 3) 4) х 1 у 2 1 х у 2 х 1 18 А Б 2 X 1 2X 1 X X В Д X X Другой 1 1 1 X X 1 ответ 2 Г 2 19 3 X 12 1,5 x Ответ: 2 ; 20 На рисунках изображены линии, надо им в соответствии подписать уравнения. 21 КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ ВИДА: f(x)= g(x)? 22 Функционально-графический метод Чтобы решить уравнение вида f(x)= g(x) функционально-графическим методом нужно: Построить графики функций у = f(x) и y = g(x) в одной системе координат. Определить абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Записать ответ. 23 Решите уравнение: y 3 x y 4 x Ответ: x 1 24 Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный? 25 РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Ответ: x 1 26 Практическая работа 27 1. . Решите уравнения: 3 x 1 3 2 x 2.Решить неравенство cos x 1 3 2 3.Найти значение выражения х у,если (х; у) является решением системы уравнений. 0 0 x 0 0 х 1 x x 1, у2 х 2 у; 4.Найдите область значений функции у 2 х у 16 у 7 х 2 х 2 х 5 4 28 РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ 3 x 1 3 x 2 29 Ответ: x 1 30 РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Решая эту систему, находим, что х = 0. 31 Решить неравенство cos x 1 3 x 32 Ответ: решений нет 33 . Решить неравенство 2 x x Ответ: 0 ; 34 Решаем систему уравнений х 1 у 2 1 , 3 х 2 у; 35 Решаем систему уравнений: 1. y * 2 x 1 1 2. x 2 y 1 y 2 x 1 1 y 2 y x2 x 1 36 х 0 у,0 если Найти значение выражения (х; у) является решением системы 0 0 уравнений. х 1 1, у2 х 2 у; Ответ: 0. 37 Домашнее задание: Решить графически систему уравнений. х 3 у 1, 2 х 6 у 2. Решите уравнение Решите неравенство 38 Укажите множество значений функции у 2 х Ответ: 1; у 7 х Ответ: 0 ;1 39 Найти область значений функции 2 у 16 х 2 х 4 2 1 у 16 5 х 2 х 5 4 40 Область значений функции у х 2х 2 1 1, 4 5 4 Вершина параболы 1 Е (у) ; 4 16 2 Ответ: у2 ; у 16 2 х 2 х 5 1 4 4 наим 1 у 16 х 2 2 х 5 4 1 1 1 4 у наиб 16 2 Ответ: 0 ; 0 , 5 41 При каких значениях параметра а уравнение имеет нечетное количество корней? 42 Так как график четной функции симметричен относительно оси орди то если является корнем уравнения, то и тоже является корнем уравнения. Поэтому данное уравнение может иметь нечетное количество корней только тогда, когда является корнем. в уравнение, имеем: Подставляя 43 Решить неравенство Ответ: (- ;2]. Ответ: (-1;0) 44 ВСЕМ ОГРОМНОЕ СПАСИБО ЗА СОТРУДНИЧЕСТВО! ВАМ, ДЕТИ, ВЕСЕЛЫХ КАНИКУЛ!!! 45

1.Показательная функция – это функция вида у(х) =а х, зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).

Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0
a) a < 0
Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2

Если а = 0 – функция у = определена и имеет постоянное значение 0

в) а =1
Если а = 1 – функция у = определена и имеет постоянное значение 1

2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:

0

Область определения функции (ООФ)

Область допустимых значений функции (ОДЗ)

3. Нули функции (у = 0)

4. Точки пересечения с осью ординат oy (x = 0)

5. Возрастания, убывания функции

Если , то функция f(x) возрастает
Если , то функция f(x) убывает
Функция y= , при 0 Функция у =, при a> 1 монотонно возрастает
Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.

6. Чётность, нечётность функции

Функция у = не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида)

7. Функция у = экстремумов не имеет

8. Свойства степени с действительным показателем:

Пусть а > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Тогда для xϵR; yϵR:

Свойства монотонности степени:

если , то
Например:

Если a> 0, , то .
Показательная функция непрерывна в любой точке ϵ R.

9. Относительное расположение фунцкции

Чем больше основание а, тем ближе к осям ох и оу

a > 1, a = 20

Если а0, то показательная функция принимает вид близкий к y = 0.
Если а1, то дальше от осей ох и оу и график принимает вид близкий к функции у = 1.

Пример 1.
Построить график у =

Главная » Сленг » График показательной функции в степени с модулем. Графики функций с модулем