Матвеев дифференциальные уравнения. Н

Матвеев Николай Михайлович (12.05.1939 г. - 19.12.2016 г.)

Николай Матвеев: большой ученый и прекрасный педагог

Николай Михайлович Матвеев, доктор биологических наук, профессор, почетный профессор Самарского государственного университета, создатель и долгие годы бессменный заведующий кафедрой экологии, ботаники и охраны природы ушел из жизни 19 декабря 2016 года. Большой ученый, прекрасный педагог, замечательный муж, отец и дедушка - таким останется в памяти коллег и близких Николай Михайлович Матвеев, а его жизненный путь будет служить примером для новых поколений преподавателей и сотрудников Самарского университета.

Николай Михайлович Матвеев родился 12 мая 1939 года в Архангельской области на станции Няндома (в настоящее время - город Няндома) и был седьмым ребенком в семье Михаила Митрофановича и Елены Ивановны Матвеевых. Его детство прошло в сельской местности среди нетронутой природы в Кировской и Архангельской областях. Очевидно, это повлияло на развитие его способностей к зоркому и внимательному восприятию родной природы, которые позднее проявились в активном стремлении к ее научному познанию.

Н.М. Матвеев всегда очень хорошо учился. В 1957 году он закончил с серебряной медалью среднюю школу в поселке Свеча Кировской области и в этом же году поступил на биологический факультет Днепропетровского государственного университета, где в это время работали выдающиеся ученые и педагоги - профессора А.Л. Бельгард, П.Е. Моцный, Л.В., Рейнгард, В.В. Стаховский, доценты С.М. Бровко, А.Д. Рева, А.Д. Колесников, Н.А. Сидельник, М.А. Альбицкая, Н.П. Акимова, З.С. Гаухман и др. Сформированная ими благодатная научная среда, огромное желание учиться и постигать новое, пытливый интерес к природе развили в Н.М. Матвееве способности настоящего ученого, определившие его дальнейший жизненный путь. Через многие годы уже в конце этого пути Н.М. Матвеев подробно и честно опишет свою жизнь в автобиографических публикациях «Альма-матер (из царства необходимости - в царство свободы)» (2009), «Моя лебединая песня» (2010), «Судьба вятича (от Свечи до Днепра и Волги)» (2014), на страницах которых перед читателем зримо проходят все те, кого он уважал, любил и память о ком пронес через всю свою жизнь.

Н.М. Матвеев окончил Днепропетровский университет в 1962 году с «красным» дипломом и получил квалификацию «биолог-ботаник, учитель биологии и химии средней школы». В этом же году он принял предложение профессора А.Л. Бельгарда и приступил к работе на кафедре геоботаники и высших растений Днепропетровского университета в должности лекционного ассистента. Под руководством А.Л. Бельгарда он изучает роль растительных выделений во взаимоотношениях между древесными и травянистыми растениями в лесонасаждениях степной зоны Украины.

С марта 1963 года по сентябрь 1968 года Н.М. Матвеев работает в должности ассистента, при этом активно ведет научную работу, ставит эксперименты, стажируется в Киеве в институте ботаники АН УССР у А.М. Гродзинского, а также на кафедре геоботаники Ленинградского университета у известного специалиста по аллелопатии А.А. Часовенной. В этот же период происходит важное событие в его личной жизни. В 1965 году он вступает в брак с Раисой Григорьевной Литвин - воспитанницей украинского отделения филологического факультета Днепропетровского университета, которая становится его верной спутницей и преданным другом на всю жизнь, прекрасной матерью для их троих детей, любимой бабушкой для многочисленных внуков.

В эти годы Н.М. Матвеев очень много работал, собирал научный материал, писал статьи и в 1967 году на заседании ученого совета биологического факультета Днепропетровского университета успешно защитил кандидатскую диссертацию, в которой были отражены принципиально новые подходы к оценке роли аллелопатии во взаимоотношениях между древесными и травянистыми растениями в лесокультурах.

С сентября 1968 года Н.М. Матвеев переходит на должность старшего преподавателя, а с января 1969 года - на должность доцента кафедры геоботаники и высших растений. Он преподавал ботанические дисциплины и продолжал активно заниматься научными исследованиями, что позволило ему сформулировать представление об аллелопатической чувствительности растений и ее количественной мере - аллелопатическом пороге чувствительности. Он разработал методы их изучения и опубликовал первые экспериментальные данные по этому вопросу.

В 1972 году Н.М. Матвеев осуществил резкий поворот в своей судьбе и научной карьере. Он с семьей переехал в г. Куйбышев (ныне г. Самара) и поступил на работу во вновь организованный Куйбышевский (затем - Самарский) государственный университет.

С этого времени начинается новая и очень плодотворная часть жизни Н.М. Матвеева, чему способствовал созидательный дух молодого университета. В 1973 году он организует и создает кафедру ботаники (до 1993 года), открывает специализацию студентов по ботанике, а позднее (с 1988 года) - по экологии и охране природы. Глубоко понимая потребности науки и общества того времени, Н.М. Матвеев осуществил переориентацию учебной и научной работы кафедры в русло экологии и решил вопрос с ее переименованием в кафедру экологии, ботаники и охраны природы (с 1993 года по настоящее время). Для более качественной подготовки студентов-биологов, прежде всего - ботаников, зоологов, экологов, а также осуществления региональных научных исследований в 1974 году Н.М. Матвеев совместно с коллегами создал комплексную биогеоценотическую экспедицию по изучению природных экосистем на базе Красносамарского лесного массива. Красносамарский биомониторинговый стационар функционирует с 1974 года по настоящее время, что позволило многим поколениям студентов и аспирантов, сотрудников и преподавателей биологического факультета Самарского университета постигать азы научной деятельности, осваивать методы полевых экологических и биологических исследований в самых разнообразных фитоценозах, проводить долговременные комплексные исследования и собирать материал для подготовки курсовых и дипломных работ, кандидатских и докторских диссертаций.

Долгие годы с момента передачи городского Ботанического сада Самарскому университету (1975 г.) Н.М. Матвеев осуществлял научное руководство его деятельностью. Он неустанно защищал Ботанический сад от покушений на его территорию извне, выстраивал стратегическую линию его развития, активно вовлекал сотрудников Ботанического сада в научную работу. Ориентируя их на неуклонный научный и профессиональный рост, Н.М. Матвеев помогал им в подготовке кандидатских диссертаций и их последующей защите, под его непосредственным научным руководством защищена кандидатская диссертация Рузаевой И.В.

Свою докторскую диссертацию по специальности 03.00.16 - экология он защитил в 1986 году в Тартуском государственном университете.

К настоящему времени научная школа профессора Н.М. Матвеева является одной из активно функционирующих научных школ Самарского университета, она хорошо известна в Поволжско-Уральском регионе и в России. Н.М. Матвеев воспитал на своей кафедре из числа ее сотрудников 4 докторов и 7 кандидатов биологических наук, а в Ботаническом саду - 3 кандидатов биологических наук. В настоящее время на созданной им кафедре экологии, ботаники и охраны природы Самарского университета в профессорско-преподавательском составе трудятся 4 доктора и 6 кандидатов биологических наук.

Н.М. Матвеев приложил много усилий по организации хоздоговорной деятельности кафедры, что позволило разрабатывать новые направления научных исследований, расширять их прикладные аспекты, привлекать к этим исследованиям студентов и аспирантов, формировать материальную базу кафедры, в том числе в плане научного оборудования и компьютерной техники. По заданию Государственного комитета по охране окружающей среды Самарской области под руководством Н.М. Матвеева и при его непосредственном участии осуществлено обследование состояния природных экосистем, флоры, фауны (1994-1998 гг.), а также загрязненности почв, дикорастущих и сельскохозяйственных растений тяжелыми металлами с разработкой соответствующих карт (1991-2000 гг.) для всей территории Самарской области.

По инициативе Н.М. Матвеева и под его редакцией при Самарском госуниверситете было осуществлено издание зональных тематических сборников «Вопросы лесной биогеоценологии, экологии и охраны природы в степной зоне» (12 выпусков, 1976-1991 гг.), «Вопросы экологии и охраны природы в лесостепной и степной зонах» (2 выпуска, 1995-1996 гг.) «Интродукция, акклиматизация, охрана и использование растений на Урале и в Поволжье» (10 выпусков, 1978-1992 гг.).

За время своей научной деятельности Н.М. Матвеев проводил исследования по следующим направлениям: растительные выделения как фактор экологической среды в лесных биогеоценозах степной зоны, влияние органических и минеральных шламов металлообрабатывающих предприятий на рост и развитие растений, фитомелиорация промышленных территорий, экологические основы аккумуляции тяжелых металлов в почве и в растениях, биоразнообразие и биомониторинг лесных, степных, луговых биогеоценозов степного Заволжья, экология видовых ценопопуляций растений, фитоиндикация экотопа и биотопа в различных биогеоценозах. По этим научным направлениям успешно работали и продолжают работать его многочисленные ученики.

Н.М. Матвеев опубликовал в научной печати 287 трудов. Среди них 7 научных монографий, научные статьи в журналах «Украинский ботанический журнал», «Биологические науки», «Лесной журнал», «Экология», «Успехи современной биологии», «Известия Самарского научного центра РАН», а также в тематических научных сборниках издательств «Наука», «Наукова думка», «Урожай», Московского государственного университета, Самарского научного центра РАН.

По инициативе Н.М. Матвеева на кафедре экологии, ботаники и охраны природы была открыта успешно функционирующая аспирантура по специальностям 03.00.16 - экология и 03.00.05 - ботаника, а также - первый в Самарской области диссертационный совет К 063.94.04 по специальности 03.00.16 - экология, который активно работал в период с 1994 по 2000 год. Непосредственно под руководством Н.М. Матвеева были выполнены и успешно защищены 17 диссертаций аспирантов и соискателей.

В период 2001-2014 гг. Н.М. Матвеев состоял членом диссертационных советов К 212.218.02 при Самарском госуниверситете и Д 002.251.01 при Институте экологии Волжского бассейна РАН, неоднократно выступал официальным оппонентом по рассматриваемым в данных советах кандидатским и докторским диссертациям по специальности 03.00.16 - экология.

Обширной и многообразной была общественная деятельность Н.М. Матвеева. На протяжении длительного периода он возглавлял научно-технический совет и являлся членом президиума Самарского областного совета Всероссийского общества охраны природы, активно работал в научно-техническом совете и экспертных комиссиях при Государственном комитете по охране окружающей среды Самарской области. Как член комиссии Облисполкома, он выполнил важную роль в разработке документации для Правительства России в период организации природного национального парка «Самарская Лука». Под его руководством и при непосредственном участии по заданию руководства области была разработана «Комплексная региональная программа природоохранных мероприятий к плану экономического и социального развития Куйбышевской области на 1986-1990 гг.», которая явилась одной из первых для России такого рода разработок.

Н.М. Матвеев был опытным, высококвалифицированным университетским преподавателем. На высоком научно-методическом уровне он читал лекции по курсам ботаники, экологии, биогеоценологии, экологии растений, фитоценологии (синэкологии), аллелопатии и др., руководил учебными и производственными практиками, курсовыми и дипломными (квалификационными) работами студентов, диссертационными изысканиями аспирантов и соискателей. Он постоянно совершенствовал учебный процесс с привлечением новейших достижений науки и технических средств обучения. Своей преданностью и увлеченностью наукой он всегда являлся положительным примером для молодежи.

Н.М. Матвеев успешно руководил аспирантурой и специализацией студентов по экологии и охране природы, активно вовлекал молодежь в научно-исследовательскую деятельность. Выпускники кафедры успешно работают преподавателями в школах, средних и высших учебных заведениях, научно-исследовательских учреждениях, заповедниках, ботанических садах, в цехах и отделах по охране окружающей среды. Среди них есть 17 кандидатов и 3 доктора наук.

За долголетний, добросовестный труд Н.М. Матвеев был награжден медалью «Ветеран труда», почетной грамотой Государственного комитета РФ по высшему образованию, а Центральным комитетом Всероссийского общества охраны природы - почетной грамотой и почетным знаком «За охрану природы России». Ему присвоено почетное звание «Заслуженный работник высшей школы Российской Федерации». Н.М. Матвеев является лауреатом Самарской губернской премии в области науки и техники (2004 г.) и академиком Российской экологической академии. В 2008 году Н.М. Матвееву присвоено почетное звание профессора «Honoris causa» Института экологии Волжского бассейна РАН, а в 2009 году - «Почетного профессора Самарского государственного университета», в 2016 году он был награжден почетным знаком «За труд на благо земли Самарской».

Весь период своей работы в Самарском государственном университете Н.М. Матвеев пользовался заслуженным авторитетом среди сотрудников и студентов, в городских и областных организациях Самарской области, в других вузах и научных учреждениях. Дело его будет продолжено сотрудниками, аспирантами и студентами кафедры экологии, ботаники и охраны природы, а память о Н.М. Матвееве навечно останется в их сердцах.

Название : Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. 1967.

В книге даются основные понятия и определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, излагаются наиболее важные методы интегрирования, доказываются теоремы существования решений и исследуются свойства последних. Являясь учебником для студентов университетов, она может быть использована в педагогических институтах и в технических ВУЗах, а также студентами-заочниками и лицами, самостоятельно изучающими теорию обыкновенных дифференциальных уравнений.

Несмотря на большое количество результатов, полученные в общей теории дифференциальных уравнений, в том числе, особенно, в последние годы, элементарные методы интегрирования по-прежнему остаются важными методами интегрирования.

В настоящей книге излагаются основные методы интегрирования различных типов обыкновенных дифференциальных уравнений, доказаны основные теоремы существования решений (методы доказательства которых позволяют строить приближенные решения) и теоремы о зависимости решений от самого уравнения и от начальных данных, а также дается понятие об основных задачах общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

При изложении различных методов интегрирования мы пытаемся везде, где это возможно, получить решение в виде элементарных функций или квадратур элементарных функций. Б тех случаях, когда это невозможно, указываются методы интегрирования в смысле более широкой постановки задачи При этом используются некоторые результаты общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 6
Глава первая
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Уравнения, интегрируемые в квадратурах 13
13
1. Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном, относительно производной (13).
2. Решение уравнения (14)
3. Неявное и параметрическое задания решения (15)
4. Геометрическое истолкование (16).
5. Задача Коши (21).
6. Достаточное условие существования решения задачи Коши (24).
7. Достаточные условия существования н единственности решения задачи Коши (25).
8. Общее решение (28).
9. Общий интеграл. Общее решение в параметрической форме (31).
10. Частное решение (32).
11. Особое решение (33).
12. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по дифференциальному уравнению (35).
13. Отсутствие особых решений у уравнения первого порядка с правой частью, рациональной относительно у (36).
14. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение (37).
15. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение в процессе построения общего решения (общего интеграла) (41).
16. Понятие об интеграле дифференциального уравнения (41).
17. Теорема о зависимости любых двух интегралов одного и того же уравнения (46).
18. Замечание об интегрируемости в квадратурах (48).
2. Неполные уравнения 50
19. Уравнение, не содержащее искомой функции (50).
20. Уравнение, не содержащее независимой переменной (52)
3. Уравнение с разделяющимися переменными 55
21. Построение общего интеграла (55).
22. Особые решения (58).
23. Примеры (58)
4. Однородное уравнение 60
24. Построение общего интеграла (61).
25. Особые решения (62).
26. Примеры (62).
27. Геометрическое свойство интегральных кривых однородного уравнения (63).
28. Простейшее уравнение, приводящееся к однородному (65)
5. Обобщенное однородное уравнение 66
29. Построение общего интеграла. Особые решения (66).
30. Пример (68)
6. Линейное уравнение 68
31. Понятие о линейном уравнении (68).
32. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства линейного уравнения (60).
33. Построение общего решения однородного линейного уравнения (71).
34. Свойства решений однородного линейного уравнения (74).
35. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения (75).
36. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) (76).
37. Примеры (80).
38. Геометрическое свойство интегральных кривых линейного уравнения (81)
7. Уравнение Бернулли 83
39. Построение общего решения (83).
40. Особое решение (83).
41. Пример (41)
8. Уравнение Дарбу 85
42. Построение общего интеграла. Особые решения (85).
43. Пример (85).
9. Уравнение Риккати 86
44. Существование и единственность решения задачи Коши (86)
45. Общие свойства уравнения Риккати (88).
46. Приведение уравнения Риккати к каноническому виду (89).
47. Простейшие случаи интегрируемости в квадратурах (90).
48. Построение общего решения в случае, когда "известно одно частное решение (91).
49. Структура общего решения (93).
50. Построение общего решения в случае, когда известны два или три частных решения (94).
51. Специальное уравнение Риккати (94)
11. Уравнение, в полных дифференциалах 96
52. Понятие об уравнении в полных дифференциалах (96).
53. Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение общего интеграла (98).
54. Решение задачи Коши (100)
12. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя 101
55. Понятие об интегрирующем множителе (101).
56. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от х (103).
57. Случай интегрирующею множителя, зависящего только от y (104).
58. Случай интегрирующего множителя зависящего от (х, у) (104).
59. Интегрирующий множитель и особые решения (103).
60. Интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися непеменными (106).
61. Интегрирующий множитель однородного уравнения (106)
13. Интегрирующий множитель. Общая теория 108
62. Теорема о существовании интегрирующего множителя (108).
63. Теорема о неединственности интегрирующего множителя (109).
64. Теорема об общем виде интегрирующего множителя и се следствие (110).
65. Один общий способ нахождения интегрирующего множителя (112).
Глава вторая . Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения, интегрируемые в квадратурах ИЗ
1. Основные понятия и определения ИЗ
77. Общий случай уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной (ИЗ).
67. Примеры (118).
68. Нахождение кривых подозрительных па особое решение по дифференциальному уравнению (122).
69. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение (124)
2. Неполные уравнения 125
70. Уравнение, содержащее только производную (125).
71. Уравнение, не содержащее искомой функции (127).
72. Уравнение, не содержащее независимой переменной (131).
73. Обобщенное однородное уравнение (132)
3. Общий метод введения параметра 133
74. Приведение уравнения, . не разрешенного относительно производной, к уравнению, разрешенному относительно производной. Общий случай (133).
75. Случай, когда уравнение разрешимо относительно искомой функции (134).
76. Случай, когда уравнение разрешимо относительно независимой переменной (135).
77. Уравнение Лагранжа (136)
78. Уравнение Клеро (138)
4. Задача о траекториях 141
79. Зачача о траекториях на плоскости в случае декартовых координат (141).
80. Примеры (143).
81. Случай полярных координат
Глава третья. Уравнения высших порядков. Общие вопросы. Простейшие уравнения n-го порядк а 48
1. Основные понятия и определения 148
82. Предварительные замечания (148).
83. Геометрическое истолкование (149).
84. Механическое истолкование уравнения второго порядка (149).
85. Задача Коши (150).
86. Достаточные услогшя существования и единственности решения задачи Коши (153).
87. Понятие о граничной (краевой) задаче (154).
88. Общее решение (156).
89. Общий интеграл (157).
90. Общее решение в параметрической форме (158).
91. Частное решение (158).
92. Особое решение (158).
93. Промежуточные интегралы. Первые интегралы (159).
94. Замечание об уравнения n-го порядка, не разрешенном относительно старшей производной (160).
2. Уравнения, интегрируемые в квадратах, и уравнения, допускающие понижение порядка 161
95. Уравнение, содержащее только независимую переменную и производную порядка п (161).
96. Уравнение, не содержащее искомой функции, и уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных (168).
97. Уравнение, не содержащее независимой переменной (171).
98. Уравнение, однородное относительно искомой функции н ее производных (173).
99. Обобщенное однородное уравнение (174).
100. Уравнение, левая часть которого есть точная производная (177)
Глава четвертая. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие вопросы. 180
1. Нормальные системы дифференциальных уравнений 180
101. Понятие о нормальной системе. Линейная система (180).
102. Решение системы (181).
103. Геометрическое истолкование нормальной системы (182).
104. Механическое истолкование нормальной системы (183).
105. Задача Коши (180).
106. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши (188).
107. Общее решение (189).
108. Частное решение (191).
109. Особое решение (191).
110. Понятие об интеграле нормальной системы. Первые интегралы. Общий интеграл. Число независимых интегралов (192).
111. Понижение порядка системы при помощи первых интегралов (203).
112. Приведение уравнения n-го порядка к системе уравнений первого порядка и обратная задача (205).
113. Одни общий способ интегрирования нормальной системы двух уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Коши - Римана (210).
114. Понятие с системе уравнений высших порядков (211).
115. Построение всего множества нормальных систем дифференциальных, уравнений, имеющих заданную траекторию (213)
2. Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме 216
116. Понятие о системе обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме. Приведение нормальной системы к системе в симметрической форме (216).
117. Интегралы, первые интегралы и общий интеграл системы дифференциальных уравнений в симметрической форме (218).
Глава пятая. Теоремы существования 225
1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара) 225
118. Предварительные замечания (225).
119. Формулировка теоремы Пикара для нормальной системы уравнений (227).
120. Доказательство теоремы Пикара для нормальной системы двух уравнений (229).
121. Замечание о выборе нулевого приближения (241).
122. Случай одностороннего интервала изменения независимой переменной (241).
123. Случай области, не ограниченной по искомым функциям (242).
124. Случай области, не ограниченной по всем переменным (243).
125. О продолжении решения, определяемого теоремой Пикара (247).
126. Теорема Пикара для линейной системы дифференциальных уравнений (250).
127. О решении однородной линейной системы с нулевыми начальными значениями искомых функций (254). 128. Теорема Пикара для уравнения п-го порядка (255).
129. Теорема Пикара для линейного уравнения n-го порядка (257).
130. О решении однородного линейного уравнения n-го порядка с нулевыми начальными значениями искомой функции и ее производных (258).
2. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости решения как функции от параметров и начальных данных. Понятие об устойчивости решения в смысле Ляпунова 259
131. Теорема о непрерывной зависимости решения нормальной системы от параметров (259).
132. Теорема о непрерывной зависимости решения нормальнон системы от начальных данных (267).
133. Понятие об устойчивости решения (движения) в смысле Ляпунова (272).
134. Теорема о дифференцируемости решения по начальным данным (279).
135. Обобщения (291)
3. Теорема существования общего решения 292
136. Теорема существования общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений (292).
137. Замечания (297).
138. Доказательство существования п независимых интегралов нормальной системы п уравнений (297).
4. Особые течки 299
139. Особые точки уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной (299).
140. Особые точки нормальной системы дифференциальных уравнений. Точки равновесия (покоя) (301).
141. Поведение интегральных. кривых уравнения с дробно-линейной однородной правой частью а окрестности особой точки (305).
142. Один физический пример (320).
143. Понятие о проблеме центра и фокуса (322)
§ 5. Теорема существования и единственности голоморфного решения задачи Коши (теорема Коши) 327
144. Понятие о голоморфном решении (327). 145. Понятие о мажоранте (328). 146. Формулировка теоремы Коши для нормальной системы п уравнений (330). 147. Доказательство теоремы Коши для нормальной системы двух уравнений (332). 148. Теорема Коши для линейной системы (341). 149. Примеры существования голоморфных решений в случае невыполнения условия теоремы Коши (346). 150. Теорема Коши для уравнения иго порядка, разрешенного относительно старшей производной (348). 151. Теорема Коши для линейного уравнения n-го порядка (350). 152. Теорема о голоморфности решения относительно параметра (351).
6. Теорема существования решения задачи Коши (теорема Пеано) 352
153. Теорема Арцеля (352).
154. Теорема существования решения дифференциального уравнения с непрерывной правой частью (теорема Псано) (355).
155. Теорема Пеано для нормальной системы (362).
Глава шестая. Общая теория линейных дифференциальных уравнений n-го порядка 363
1. Общие свойства линейного уравнения 363
136. Предварительные замечания (363).
157. Инвариантность линейного уравнении относительно любого преобразования независимой переменной (365).
158. Инвариантность линейного уравнения относительно линейного преобразовании искомой функции (366).
2. Однородное линейное уравнение n-го порядка 367
159. Свойства решений (367).
160. Понятие о линейной независимости функции (371).
161. Необходимое условие линейной зависимости п функций (374).
162. Необходимое и достаточное условие линейной независимости п решений однородного линейного уравнения n-го порядка (375).
163. Формула Остроградского - Лиувилля (377).
164. Понятие о фундаментальной системе решений (379).
165. Доказательство существования фундаментальной системы решений (379).
106. Построение общего решения (380).
167. Число линейно-независимых решений однородного линейного уравнения n-го порядка (384).
168. Построение однородного линейного уравнения, имеющего заданную фундаментальную систему решений (384). 169. Понижение порядка однородного линейного уравнения при помощи линейно независимых частных решений (387).
3. Неоднородное линейное уравнение п-го порядка 389
170. Структура общего решения неоднородного уравнения (389).
171. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) (391).
172. Метод Коши (394).
Глава седьмая. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 398
1. Однородное уравнение 398
173 Предварительные замечания (398).
174. Построение фундаментальной системы решении и общего решения однородного уравнения в случае различных корней характеристического уравнения (398).
175. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения (403).
176. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (406).
2. Неоднородное уравнение 408
177. Предварительные замечания (408).
178. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов (408). 179. Неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (112).
3. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и колебательные явления 417
180. Свободные колебания (417).
181. Вынужденные колебания (421).
4. Некоторые линейные уравнения n-го порядка, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами 423
182. Приведение однородного линейного уравнения п-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной (42.3).
183. Линейное уравнение Эйлера (424).
184. Уравнение Чебышева (420).
185. Приведение однородного линейного уравнения 1-го порядка к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи линейной замены искомой функции (430).
Глава восьмая. Некоторые вопросы теории однородных линейных уравнений второго порядка 431
1. Приведение к простейшим форма 431
186. Приведение к уравнению, не содержащему члена с первой производной (431). 187. Приведение к самосопряженному виду (433).
§ 2. Понижение порядка 435
188. Построение общего решения однородного линейного уравнения второго порядка в случае, когда известно одно частное решение (435).
189. Связь меж лу однородным линейным уравнением второго порядка и уравнением Риккати (437).
3. Интегрирование при помощи степенных рядов 438
100. Представление решений однородного линейного уравнения второю порядка в виде степенных рядов (438). 101. Представление решений в окрестности особой точки в виде обобщенных степенных рядом (439).
192. Уравнение Бесселя (449).
193. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение (459).
4. Колебательный характер решений однородных линейных уравнений второго порядка 464
194. Колеблющиеся и неколеблющиеся решения (464).
193. Теорема Штурма (467).
196. Теорема сравнения (468).
Глава девятая. Общая теория линейных систем дифференциальных уравнений 472
1. Однородные линейные системы 472
197. Предварительные замечания (472).
198. Свойства решений однородной системы (474).
199. Понятие о линейной независимости систем функций (477).
200. Необходимое условие линейной зависимости п систем функций (479).
201. Необходимое и достаточное условие линейной независимости п решений однородной линейной системы п уравнений (480).
202. Формула Остроградского- Лиупилля -Якоби (480).
203. Понятие о фундаментальной системе решений (482).
204. Теорема о существовании фундаментальной системы решений (482).
205. Построение общего решения (483).
206. Число линейнонезависимых решений однородной линейной системы п уравнений. Первые интегралы (485). 207. Понятие о сопряженной (присоединенной) системе (480).
208. Построение однородной линейной системы уравнений, имеющей заданную фундаментальную систему решений (489).
2 Неоднородные линейные системы 490
209. Структура общего решения неоднородной системы (490).
210. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) (491).
Глава десятая. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 494
1. Метод Эйлера 494
211. Предварительные замечания (494).
212. Построение фундаментальной системы решений н общего решения однородной линейной системы в случае различных корней характеристического уравнения (495).
213. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения (500).
214. Теорема об асимптотической устойчивости (в смысле Ляпунова) нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами (502).
215. Теорема о неустойчивости нулевого решения однородной линейной системы с постоянными коэффициентами (503).
216. Приведение однородной линейной системы к системе с постоянными.коэффициентами при помощи замены независимой переменной (503).
217. Интегрирование неоднородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (505).
2. Другие методы интегрирования линейных систем с "постоянными коэффициентами 505
218. Интегрирование линейной системы с постоянными коэффициентами при помощи приведения ее к уравнению п-го порядка (метод исключении) (505).
219.Метод Даламбсра (507).
§ 3. Линейные системы с постоянными коэффициентами, содержащие производные выше первого порядка. 509
220. Метод исключения (509).
221. Метод Даламбера (509).
Глава одиннадцатая. Матричный метод решения однородных линейных систем 511
1. Запись и решение однородной линейной системы в матричной форме 511
222. Предварительные замечания (511).
223. Построение матричного уравнения, равносильного однородной линейной системе (516).
224. Два общих свойства матричного уравнения, соответствующего однородной линейной системе (519).
225. Основные свойства интегральной матрицы (520).
226. Случай Лаппо - Данилевского (522).
227. Сопряженное (присоединенное) матричное уравнение (523)
2 Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами 525
228. Структура фундаментальной системы решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Группы решений (525).
229. Приведение однородной линейной системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду (530). 230. Понятие о приводимых 1 системах (537).
Глава двенадцатая. Понятие об уравнениях с частными производными первого порядка 539
1. Однородное линейное уравнение 539
231. Связь между однородным линейным уравнением с частными производными первого порядка и соответствующей ему системой обыкновенных дифференциальных уравнений и симметрической форме (539). 232. Построение общего решения однородного линейного уравнения (512).
233. Решение задачи Коши для однородного линейного уравнения (545).
2. Неоднородное линейное уравнение 548
234. Построение общего решения неоднородного линейного уравнения (518).
235. Решение задачи Коши для неоднородного линейного уравнения (551).

Главная » Сленг » Матвеев дифференциальные уравнения. Н