Работая над содержанием и формой произведения, редактор анализирует не только организацию текста как целого, состоящего из относительно законченных смысловых фрагментов – подтем (скажем, когда работает с планом, проверяет последовательность и соразмерность частей, целостность текста, анализирует рамочные элементы), но и рассматривает каждый такой фрагмент в отдельности. Редактора должно интересовать, какие смысловые элементы и в какой последовательности представлены, каковы их взаимосвязи, насколько это обосновано смыслом и целью текста. Иными словами, редактор оценивает способ изложения, или функционально-смысловой тип речи, – определенную последовательность смысловых элементов, обусловленную содержанием материала и задачей автора. Такая последовательность представляет наиболее полное развитие мысли по поводу какого-либо аспекта содержания текста. Каждая из них оформляется композиционно – в виде одного или нескольких абзацев, а также специфическими логическими и синтаксическими связями. На основе определенного способа изложения формируется вид текста – разновидность речевых произведений с характерным для соответствующего способа изложения набором признаков.

§ 7.2. Классификация способов изложения и видов текста

Начиная с Античности и до относительно недавнего времени выделялось три основных способа изложения и вида текста: повествование, описание и рассуждение. В повествовании рассказывается о событии как процессе в хронологической последовательности, и обязано оно своим появлением памяти, восстанавливающей ход событий. Классическая фраза: Споткнулся, упал, очнулся – гипс – самый короткий пример повествования. Описание изображает ситуацию как единовременную картинку и отражает чувственное, прежде всего зрительное и слуховое восприятие ситуации. Типичный пример такого текста: Шепот. Ровное дыханье. Трели соловья. Серебро и трепетанье сонного ручья. Рассуждение устанавливает связи между предметами и явлениями и направлено на получение нового знания из известного. Ну что, если хоть одна половина из того, что он [Хлестаков] говорит, правда? – рассуждает гоголевский городничий. – Да как же и не быть правде? Подгулявши, человек все несет наружу: что на сердце, то и на языке. Конечно, прилгнул немного; да ведь не прилгнувши, не годится никакая речь.

Выделение трех способов изложения и видов текста обусловливалось тем, что долгое время изучались преимущественно художестч венная публицистика и литература, в которых они преобладают. Но в последние десятилетия исследовательский интерес обратился и к научным, справочным, учебным текстам, материалам массовой информации, выявившим неполноту такой классификации.

Были описаны схематизированные, информационные варианты описания и повествования – соответственно информационное описание и краткое сообщение. Пример информационного описания:

ЦКБ – многопрофильная клиника XXI века. Амбулаторно проводит все виды диагностического обследования: УЗИ, эндоскопию, рентгенологию, лабораторную и ДНК-диагностику. Стоматологическая помощь – лечение и зубопроте-зирование – в полном объеме. В стационаре в отделении хирургии лапароскопические операции в 80% случаев заболеваний брюшной полости и легких, в урологии – дробление камней в почках, травматологии – артроскопические операции.

Цель приведенного описания – дать представление об услугах клиники, и строится оно по стандартной схеме: называется учреждение и дается перечень его услуг.

Пример сообщения:

Руководство компании «BMW AG» официально сообщило о том, что новый завод по выпуску автомобилей Rolls Royce будет построен в городе Гудвуд на юге Англии. На строительство будет потрачено 60 млн фунтов стерлингов. Завод должен начать работу в 2003 году. Проектная мощность предприятия, на котором будет занято 350 человек, – 1000 автомобилей в год.

Цель сообщения – в предельно краткой форме рассказать о совершившемся или будущем событии, и строится оно таким образом, чтобы ответить на ключевые вопросы, «что, где и когда» произошло или произойдет.

Из рассуждений было выделено логическое определение, например: лексика – совокупность слов какого-либо языка, диалекта или речи отдельного человека (используется в научной, учебной и справочной литературе, когда нужно раскрыть содержание какого-либо понятия), и его более свободная и легкая для восприятия разновидность – объяснение:

В 1709 году немцы открыли в Угличе первые колбасные цехи, и тогда же вклинилось в русскую речь слово «ерунда». Готовя под руководством немцев фарш, угличане постоянно спрашивали своих учителей, куда девать сухожилия и отходы. «Хир унд да» (туда и сюда), – поучали наставники, подбрасывая понемногу отходы в кучки с отборным мясом.

Объяснение используется в научно-популярных текстах и текстах средств массовой информации.

Кроме того, как самостоятельный способ изложения было описано умозаключение – логическая операция получения вывода из нескольких посылок.

Одна из наиболее полных на сегодняшний день классификаций* содержит восемь способов изложения и видов текста, различающихся по предмету, цели, способу группировки смысловых элементов, степени схематизации, проявлению авторского Я, логическому и языковому оформлению. Среди них выделяют схематизированные способы изложения и виды текста, в структурной основе которых лежит заранее определенная схема (может незначительно варьироваться), а позиция автора никак не проявляется, – информационное описание, сообщение, определение, умозаключение, и те, в которых организующим началом служит прежде всего авторское видение ситуации. В последнем случае изложение строится в соответствии с закономерностями чувственного восприятия, памяти, логического мышления: описание, повествование, рассуждение и объяснение. Кроме того, по целеустановке и предмету выделяются логизированные способы изложения и виды текста, цель которых – установить связи предметов и явлений, из известных знаний получить новые или раскрыть содержание неизвестных понятий: определение, объяснение, умозаключение и рассуждение, и изобразительные, стремящиеся передать последовательность событий или дать представление о каком-либо предмете, опираясь прежде всего на его внешние, наблюдаемые признаки: повествование, сообщение, описание и информационное описание.

* Одинцов В.В. Стилистика текста. М., 1980. С.91; см. также: Нечаева О.А. Функционально-смысловые типы речи. Улан-Удэ, 1974; Золотарев Г.А. Коммуникативные аспекты русского синтаксиса. М., 1982.

У каждого способа изложения и вида текста, основанного на авторском видении и понимании ситуации, есть схематизированный информационный вариант: у повествования – сообщение, у описания – информационное описание, у объяснения – определение, у рассуждения – умозаключение.

Работа редактора с текстами, относящимися к различным способам изложения, продолжает композиционную правку и является частью правки-обработки. Рассмотрим каждый из них в отдельности.

§ 7.3. Повествование, его виды и признаки

Повествование – это способ изложения, цель которого дать представление о событии в хронологической последовательности эпизодов, его составляющих. Каждый эпизод повествования представляется как относительно законченный, необходимо влекущий; последующие. Рассмотрим пример:

Это был акт детской мести. В 1886 году некий московский сорвиголова 10– 12 лет от роду, сын дворника, служившего в доме купца Клишина, получил за какую-то шалость взбучку от хозяина, оскорбился и решил отомстить. На болотистом берегу речки Пресни он наловил с десяток ужей. Добычу свою в мешке принес в купеческие хоромы и спрятал в кладовке, чтобы потом незаметно выпустить в гостиную или спальню. Но пронырливые твари уползли из мешка.

Рандеву змеюки с хозяйкой дома состоялось в коридоре. Мощное купеческое ] «Караул/ Спасите/» услышал дворник (тот самый, папаша юного змеелова) и, решив, что дело серьезное, принялся свистеть в свисток, призывая на помощь полицию.

Прибывший на место происшествия будочник разобрался во всем быстро: нашел мешок в кладовке, поймал одну змеюку, другую... без особого труда вычислил виновника переполоха (судя по всему, отрок долго после этого не мог сидеть), мешок с тварями отнес в участок, чтобы следующим утром выпустить несчастных куда-нибудь в подмосковный лес. А пока положил его в шкаф в участке, отправился нести службу и забыл про подопечных.

После этого участковый пристав (начальник будочника), заглянув в шкаф, заинтересовался содержимым явно «не местного» мешка. Какой же мощи были выражения, разносившиеся по всему участку! В результате решительных действий разгневанного пристава «таких-растаких змеюк» вышвырнули на ближайший пустырь, а забывчивого будочника подвергли взысканию.

Перед вами типичный повествовательный текст. Курсивом выделены основные моменты, составляющие его смысловую основу, – узлы повествования. Каждый из них представляет относительно законченный смысловой и временной эпизод, а каждый такой эпизод обусловливает появление следующего. Мальчик получил взбучку – оскорбился – решил отомстить – наловил ужей – спрятал в мешке в кладовке – но твари уползли из мешка – состоялось рандеву хозяйки со змеюкой – дворник услышал испуганный крик и позвал свистком на помощь будочника... Не представляет труда закончить это перечисление. Расположены узлы повествования в соответствии с реальным ходом событий – в хронологической последовательности. Это композиционный принцип систематизации узлов повествования. Существенный элемент оформления повествовательного текста – его ритм (в данном случае краткость, динамизм), который создается и за счет отбора узлов повествования, называющих в каждом фрагменте основное для него действие, и за счет того, что опускаются подробности, которые читатель может восстановить, исходя из собственного жизненного опыта. Например, не оформляется как самостоятельный узел повествования подробность о том, что купчиха при встрече с ужом закричала, что горе-змеелова здорово наказали. Наконец, немаловажная особенность повествования – авторская интонация, в данном случае насмешливая, которая может меняться на протяжении текста.

Композиционно в этом рассказе можно выделить зачин (первая и вторая фразы, в которых в самом общем виде называется и характеризуется тема), концовку (последняя фраза, итог событий) и несколько подтем, связанных с появлением новых действующих лиц: в первом эпизоде это мальчик с ужами, во втором – испуганная купчиха и дворник, в третьем – будочник, в четвертом – участковый пристав. Переходы к подтемам графически оформлены абзацами.

Синтаксической опорой повествовательного текста служат формы глаголов совершенного вида прошедшего времени, которые передают значение завершенного действия, результата. Между собой предложения синтаксически и логически равноправны и соединены сочинительной связью или бессоюзной, но передающей те же сочинительные смысловые отношения.

Приведенный пример – это так называемое эпическое повествование. Автор, наблюдавший ситуацию со стороны, ведет обобщенный рассказ о ней как о событии случившемся. Все необходимые подробности либо упоминаются в тексте, либо легко восстанавливаются из него.

Помимо эпического с древности выделяется сценическое повествование, суть которого в том, чтобы через образную, часто не передаваемую текстом, но непосредственно наблюдаемую деталь (внешность, манера говорить, интонация, костюм) охарактеризовать событие. Сценическое повествование лежит в основе всех драматических произведений и характерно для текстов, рассчитанных прежде всего на произнесение. Оно закономерно тогда, когда событие осмысляется образно. Так, о возрасте, характере, внешности Хлестакова в самом тексте комедии «Ревизор» Гоголь не говорит ничего. Но в примечаниях для господ актеров писатель сообщает, что ему 23 года, что он «несколько приглуповат и, как говорят, без царя в голове», это и дают понять актеры своей игрой. К сценическому можно отнести и такое повествование, в котором движение передается чередованием деталей, наглядных образных картинок:

Скорее. Хватаюсь за ручку. Рву вверх. Чуть не вскрикиваю. Хруст пальцев. Резь в кисти. Ручка ни с места. Бросаюсь вправо к узкой створке. Это форточка.

Ручка поворачивается. Мелькнуло: не пролезу. Боком просовываю ноги, сажусь на карниз. Свежий ветер бьет в лицо.

Во всем остальном сценическое повествование строится так же, как и эпическое.

§ 7.4. Сообщение и его признаки

Информационный вариант повествования – сообщение. Его назначение – евязать событие с определенным моментом жизни, как можно оперативнее дать информацию о происходящем. Для написания сообщения чаще всего используются определенные композиционные образцы.

Основные отличия этого способа изложения от повествования в следующем. Сообщение – это очень краткий текст, называющий только самое главное в событии – новость. С новости текст и начинается. Состоит он всего из одного или нескольких узлов и отвечает | на вопросы что?, где?, когда? и, возможно, как? а почему? случилось или случится. Порядок ответов на эти вопросы варьирует в зависи- | мости от темы сообщения.

Сообщения чаще всего встречаются в информационных заметках. Текст их может ограничиваться констатацией новости:

Хозяева одного из фешенебельных ресторанов столицы – «Арагви» – на днях были привлечены к ответственности за использование в своей изысканной кухне испорченных, просроченных и несертифицированных продуктов и ненадлежащее обслуживание посетителей. Все эти факты выяснились во время ревизии питейного заведения, проведенной сотрудниками Мосторгинспекции по жалобе клиента. Претензии недовольного гурмана были признаны справедливыми.

Но часто за сообщением следует сжатый рассказ о предыстории события.

Освобождение Валерия Соколова, бизнесмена, менеджера мелкой посреднической фирмы, которого конкуренты взяли в заложники, провели на днях сотрудники Подмосковного УБОПа.

Как сообщили «МК» в УБОПе Московской области, у конкурентов Соколова по бизнесу что-то не заладилось, и они решили таким образом свести счеты с конкурентами. В Серпухове, где проживает Соколов, они выследили 27-летнего бизнесмена, когда тот направлялся к любимой девушке, угрожая расправой, затолкали несчастного в машину и вывезли в Москву. За освобождение заложника бандиты потребовали с руководства фирмы 20 тыс. долларов. Гендиректор фирмы сразу сообщил о случившемся в УБОП и по совету милиционеров согласился выплатить требуемую сумму.

Встреча с бандитами состоялась у метро «Коломенская». После получения денег бандиты вывели закованного в наручники Соколова из припаркованной неподалеку машины. В этот момент детективы и повязали злодеев.

Или наиболее существенные подробности сообщения:

Обладатель феноменальной памяти Самвел Гарибян, дважды попадавший в Книгу рекордов Гиннесса, намерен пресечь незаконное использование своего метода изучения иностранного языка. Он обвинил в плагиате авторов книги «Как запоминать слова», в которой без ссылок на авторство использован его метод ассоциаций. В качестве компенсации за нарушение авторских прав Гарибян потребовал сумму в 25 тысяч минимальных зарплат и еще 15 тысяч – как компенсацию морального ущерба.

Как сообщила его адвокат Ирина Тулубьева, в 1996 году Гарибян опубликовал пособие по изучению английского языка «Мой новый Вавилон», в котором изложил методику ассоциативного запоминания иностранных слов. Например, drug (лекарство) – драгоценное лекарство, sleep (спать) – глаза слипаются. Книга пользовалась большим успехом на рынке. Но три года спустя появилось другое пособие – «Как запоминать слова», в котором 260 из 2500 «запоминалок» позаимствовано без ссылок из книги Гарибяна, а все остальные, по его мнению, не годятся для изучения языка. Ко всему прочему, в предисловии авторы раскритиковали учебник Гарибяна «Мой новый Вавилон», назвав его ассоциации устаревшими.

§ 7.5. Редактирование повествования и сообщения

Работа редактора с хронологией и ее виды. Начинать работу целесообразно с определения вида повествования и его композиционной основы. Поскольку этот способ изложения предполагает передачу хронологической последовательности событий, можно выделить два основных принципа построения – прямую хронологию, когда изложение соответствует реальному ходу события от начала к концу, и обратную хронологию, когда событие излагается от конца к началу. Повествование чаще строится на основе прямой хронологии, поскольку она Соответствует реальному развитию события и ее применение не требует дополнительных обоснований. Обратная хронология – композиционный принцип, правомерность которого автор и редактор обязаны оценить, и употребляется этот принцип довольно редко. Кроме того, существует так называемая смешанная хронология – хронологические отступления от прямой последовательности, которые также должны быть оправданны и не должны препятствовать пониманию текста. В основной части текста они обычно оформляются специальными композиционными связками типа забегая вперед, предвещая события, вспомним, что и т.п.

В материалах массовой информации элементы смешанной хронологии встречаются преимущественно в зачине, который по сути является сообщением о каком-либо событии, предваряющем рассказ автора.

Полным провалом закончилась 13 апреля попытка ограбить инкассаторов фирмы «Трейдинг ойл» в Подольске. Один из грабителей оказался настоящим разиней: он умудрился прямо на месте преступления потерять и деньги, и пистолет, и рацию! А двое его сообщников, удирая, попали в автоаварию!

Задача редактора – проверить обоснованность и последовательность соблюдения избранного композиционного принципа и при необходимости для начала выправить хронологию, помня о том, что прямая хронологическая последовательность наиболее естественна для повествования.

Выделение и оценка узлов повествования. Следующий этап работы редактора – оценка узлов повествования с точки зрения правомерности их выделения, степени подробности изложения, точности подбора слова и его грамматической формы. В текстах с линейной композицией, к которым относится и повествование, все это приобретает первостепенное значение. Неправильный выбор узлов, неточное словоупотребление, сбои ритма повествования снижают литературное качество текста, оставляют ощущение неряшливо, наспех написанного материала.

Узлы повествования можно считать выбранными правомерно тогда, когда каждый из них с необходимостью влечет за собой появление следующего и в тексте не возникает невосполнимых смысловых скважин (см. § 2.3), т.е. временные связи между узлами повествования должны сопровождаться причинно-следственными, и эти связи редактор обязан четко отслеживать. Рассмотрим пример:

Сначала Лика жила в Москве, училась в школе. Но в восемнадцать вышла замуж за француза и уехала в Париж. В двадцать два развелась. Увлеклась было конной охотой, но скоро заскучала. Совершенно случайно попала на корриду. И, недолго думая, унеслась в Испанию.

Учиться отрабатывать удар она пошла на обыкновенную скотобойню и четыре месяца трудилась помощником забойщика-мясника. Теперь Лика выступает среди известных тореро.

Полужирным курсивом выделены узлы повествования. Один из них – в двадцать два развелась – неправомерен, так как он не имеет прямого отношения к теме и не продвигает повествования вперед. Еще два узла: Учиться отрабатывать удар она пошла на обыкновенную скотобойню и четыре месяца трудилась помощником забойщика-мясника – по сути, повторяют друг друга, поэтому первый надо просто убрать, а из последних двух сделать один, например, так: Там она на обыкновенной скотобойне, помогая забойщику-мяснику, четыре месяца отрабатывала удар.

Лишние узлы повествования, лишние подробности – один из наиболее частых пороков таких текстов: они либо уводят в сторону, либо сильно замедляют ритм, делают повествование рыхлым, вялотекущим. Это усугубляется неточным словоупотреблением. Сравним две версии уже упомянутого текста о грабителях-неудачниках – авторскую и после редактирования. Для удобства сопоставления вариантов узлы повествования пронумерованы, выделены полужирным курсивом и почти все даны с новой строки. Сокращения в левой колонке заключены в скобки, в правой отмечены звездочками. Выделенные курсивом слева фрагменты подвергнуты стилистической правке.

вероятностью p = 0.7 . Найти наиболее вероятное числоm 0 людей, которые придут на собрание, и соответствующую вероятностьP n (m 0 ) .

Решение. Поскольку P 50 (m 0 )= C 50 m 0 (0,7)m 0 (0,3)50 − m 0 , то задача состоит в отыскании неотрицательного целого числаm 0 ≤ 50 ,доставляющего максимум функцииP 50 (m 0 ) . Мы видели выше, что такое число дается формулой (6.4). В

P 50 (35)= C 50 35 (0.7)35 (0.3)15 ≈ 0.123.

6.4. Формула Пуассона

Формулы (6.1) и (6.3) дают точныезначениявероятностей, связанных со схемой независимых испытаний Бернулли. Однако вычисления по этим формулам, особенно при больших значениях n иm , весьма затруднительны. Представляет большой практический интерес получение достаточно простых приближенных формул для вычисления соответствующих вероятностей. Впервые подобную формулу вывел в 1837 году французский математик и физик Симон Пуассон (1781–1840). Ниже дается формулировка результата Пуассона.

Рассмотрим схему независимых испытаний Бернулли, в которой число испытаний n «относительно велико», вероятность «успеха»p «относительно мала», а произведение λ= np «не мало и не велико»41 . При этих условиях справедлива формула

Это – знаменитое пуассоновское приближение для биномиального распределения. Доказательство формулы (6.6) будет дано в дополнении к настоящему параграфу.

41 Точный смысл взятых в кавычки терминов будет объяснен ниже, в частности, в § 6д.

Функция, стоящая в правой части формулы (6.6), называется

распределением Пуассона:

При таком обозначении p (k , λ) будет приближенным выражением для вероятностиb (k ;n , λn ), когдаn «достаточно велико».

Прежде, чем обсуждать формулу (6.6), приведем весьма показательные примеры ее использования.

Значения биномиального распределения и значения распределения Пуассона при n = 100,p = 0.01, λ= 1 представлены в табл. 6.2. Как мы видим, точность приближенной формулы достаточно высока.

Чем больше n , тем выше точность формулы Пуассона. Это наглядно представляет следующий пример. Вычислим вероятностьp k того, что в обществеиз500человекровноk человекродилисьводинитотжеконкретный день года. Если эти 500 человек выбраны наугад, то можно применить схему Бернулли изn = 500 испытаний с вероятностью «успеха»p = 1365 . Вычисления по точной формуле (6.1) и приближенной формуле (6.6) при λ= 500365≈ 1,3699 представлены в табл. 6.3. Как мы видим, ошибка лишь в четвертом десятичном знаке, что вполне приемлемо для практики.

Таблица 6.3.

Пусть известно, что вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,002. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность того, что при этом произойдет 7 «сбоев».

Решение. Естественно предположить, что в обычных условиях вызовы, поступающие на телефонную станцию – независимы друг от друга. Будем считать «успехом» в испытании – вызове – сбой телефонной станции. Вероятность сбоя (p = 0,002) можно считать «достаточно малой» величиной, а число вызовов (n = 1000) – «достаточно большим». Таким образом, мы находимся в условиях теоремы Пуассона. Для параметра λ получаем значение

Обсудим теперь пределы применимости формулы Пуассона. При

использовании любой приближенной формулы вопрос о пределах ее применимости возникает естественным образом. При этом мы встречаемся с двумя аспектами проблемы. Во-первых, закономерен вопрос о том, в каких реальных условиях применим закон Пуассона? Опыт показывает, что простое распределение Пуассона обладает сравнительно универсальной применимостью. Вообще, с точки зрения применений, математические теоремы бывают хорошими и плохими в следующем смысле: хорошие теоремы продолжают действовать, если даже нарушить их условия, а плохие сразу перестают быть верными при нарушении условий их вывода. Теорема Пуассона (6.6) является в этом смысле хорошей и даже превосходной. Именно, закон Пуассона продолжает действовать даже тогда, когда условия схемы Бернулли нарушаются (т.е. можно допускать переменную вероятность успеха и даже не слишком сильную зависимость результатов отдельных испытаний)42 . Можно даже утверждать, что распределение Пуассона обладает сравнительно универсальной применимостью. Это надо понимать в том смысле, что если экспериментальные данные показывают, что закон Пуассона неприменим, в то время как, сообразно со здравым смыслом, он должен был бы действовать, то естественнее подвергнуть сомнению статистическую устойчивость наших данных, чем искать какой-то другой закон распределения.Инымисловами,распределениеПуассонапредставляетсобой очень удачную математическую формулировку одного из универсальных (в рамках применимости теории вероятностей) законов природы.

Во-вторых, возникает вопрос о порядках величин тех параметров, которые входят в формулу Пуассона, и для которых выше мы использовали расплывчатые термины «относительно велико», «относительно мало», «не малоиневелико».Опятьже,разъясняющиеответыдаетпрактикаприменения формулы (6.6). Оказывается, что формула Пуассона достаточно точна для практического применения, если число испытанийn имеет порядок

42 Естественно, этими особенностями распределения Пуассона не следует злоупотреблять. Например, закон Пуассона заведомо нарушается в ситуациях сильной зависимости результатов отдельных испытаний.

нескольких десятков (лучше – сотен), а величина параметра λ = np лежит в пределах от 0 до 10.

Для иллюстрации применения формулы Пуассона, рассмотрим еще один пример .

Пусть известно, что на выпечку 1000 сладких булочек с изюмом полагается 10 000 изюмин. Требуется найти распределения числа изюмин в какой-то случайным образом выбранной булочке.

Решение. Последовательность независимых испытаний мы формируем следующим образом. Всего будет n = 10 000 испытаний (по числу изюмин), а именно: испытание с номеромk будет состоять в том, что мы определяем, попалалиизюминасномеромk внашуслучайновыбраннуюбулочку43 . Тогда, поскольку всего булочек 1000, вероятность того, что k -я изюмина попала именно в нашу булочку, естьp = 1/1000 (при условии достаточно хорошего перемешивания теста при приготовлении булочек). Применяем теперь распределение Пуассона с параметром λ= np = 10000 11000= 10. Получим:

P 10000 (k )≈ p (k ,10)= 10 k e − 10 .

В частности, вероятность того, что нам достанется булочка вовсе без изюма (k = 0) , равнаe − 10 ≈ 0,5 10− 4 . Наиболее вероятное число изюмин будет, согласно формуле (6.4), равно 10. Соответствующая вероятность

P 10000(10) ≈ 10 10 e − 10 ≈ 0,125 . 10!

Пример с булочками и изюминами, несмотря на его приземленную формулировку, носит весьма общий характер. Так, вместо изюмин в булочках можно говорить, например, о числе бактерий в капле воды, взятой из хорошо перемешанного ведра. Другой пример. Предположим, что атомы радиоактивного вещества распадаются независимо друг от друга, причем в течение данного интервала времени распад данного атома происходит с

43 Заметим, что на покупку булочки в магазине вполне можно смотреть как на случайный выбор.

Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который называется законом Пуассона.

Рассмотрим прерывную случайную величину , которая может принимать только целые, неотрицательные значения:

причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.

Говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение , выражается формулой

где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

Убедимся, прежде всего, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой (5.9.1), может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей равна единице. Имеем:

.

На рис. 5.9.1 показаны многоугольники распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра . В таблице 8 приложения приведены значения для различных .

Определим основные характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины , распределенной по закону Пуассона. По определению математического ожидания

.

Первый член суммы (соответствующий ) равен нулю, следовательно, суммирование можно начать с :

Обозначим ; тогда

. (5.9.2)

Таким образом, параметр представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины .

Для определения дисперсии найдем сначала второй начальный момент величины :

По ранее доказанному

кроме того,

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна её математическому ожиданию .

Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.

Определим для случайной величины , распределенной по закону Пуассона, вероятность того, что она примет значение не меньше заданного . Обозначим эту вероятность :

Очевидно, вероятность может быть вычислена как сумма

Однако значительно проще определить её из вероятности противоположного события:

(5.9.4)

В частности, вероятность того, что величина примет положительное значение, выражается формулой

(5.9.5)

Мы уже упоминали о том, что многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.

Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки (рис. 5.9.2). Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:

1. Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами, точки распределяются на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность (т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины) через .

2. Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т.е. вероятность попадания того или другого числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним.

3. Вероятность попадания на малый участок двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).

Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины и рассмотрим дискретную случайную величину – число точек, попадающих на этот отрезок. Возможные значения величины будут

Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. ряд (5.9.6) продолжается неограниченно.

Докажем, что случайная величина имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на отрезок попадет ровно точек.

Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка. Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно (т.к. на единицу длины попадает в среднем точек). Согласно условию 3 для малого отрезка можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание числа точек, попадающих на участок , будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в наших условиях равнозначно, хотя бы одной).

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при можно считать вероятность того, что на участок попадет одна (хотя бы одна) точка, равной , а вероятность того, что не попадет ни одной, равной .

Воспользуемся этим для вычисления вероятности попадания на отрезок ровно точек. Разделим отрезок на равных частей длиной . Условимся называть элементарный отрезок «пустым», если в него не попало ни одной точки, и «занятым», если в него попала хотя бы одна. Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок окажется «занятым», приближенно равна ; вероятность того, что он окажется «пустым», равна . Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы, то наши n отрезков можно рассмотреть как независимых «опытов», в каждом из которых отрезок может быть «занят» с вероятностью . Найдем вероятность того, что среди отрезков будет ровно «занятых». По теореме о повторении опытов эта вероятность равна

или, обозначая ,

(5.9.7)

При достаточно большом эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок ровно точек, так как попадание двух или больше точек на отрезок имеет пренебрежимо малую вероятность. Для того чтобы найти точное значение , нужно в выражении (5.9.7) перейти к пределу при :

(5.9.8)

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

(5.9.9)

Первая дробь и знаменатель последней дроби в выражении (5.9.9) при , очевидно, стремятся к единице. Выражение от не зависит. Числитель последней дроби можно преобразовать так:

(5.9.10)

При и выражение (5.9.10) стремится к . Таким образом, доказано, что вероятность попадания ровно точек в отрезок выражается формулой

где , т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром .

Отметим, что величина по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок .

Величина (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок попадет хотя бы одна точка:

Таким образом, мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки (или другие элементы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в какую-то область. В нашем случае такой «областью» был отрезок на оси абсцисс. Однако наш вывод легко распространить и на случай распределения точек на плоскости (случайное плоское поле точек) и в пространстве (случайное пространственное поле точек). Нетрудно доказать, что если соблюдены условия:

1) точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью ;

2) точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;

3) точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д., то число точек , попадающих в любую область (плоскую или пространственную), распределяются по закону Пуассона:

где – среднее число точек, попадающих в область .

Для плоского случая

где – площадь области ; для пространственного

где - объем области .

Заметим, что для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности () несущественно. Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножение плотности на длину, площадь или объем области, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему. (Подробнее об этом см. n° 19.4)

Наличие случайных точек, разбросанных на линии, на плоскости или объеме – неединственное условие, при котором возникает распределение Пуассона. Можно, например, доказать, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения:

, (5.9.12)

если одновременно устремлять число опытов к бесконечности, а вероятность – к нулю, причем их произведение сохраняет постоянное значение:

Действительно, это предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:

. (5.9.14)

Но из условия (5.9.13) следует, что

Подставляя (5.9.15) в (5.9.14), получим равенство

, (5.9.16)

которое только что было доказано нами по другому поводу.

Это предельное свойство биномиального закона часто находит применение на практике. Допустим, что производится большое количество независимых опытов , в каждом из которых событие имеет очень малую вероятность . Тогда для вычисления вероятности того, что событие появится ровно раз, можно воспользоваться приближенной формулой:

, (5.9.17)

где - параметр того закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.

От этого свойства закона Пуассона – выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события – происходит его название, часто применяемое в учебниках статистики: закон редких явлений.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с пуассоновским распределением, из различных областей практики.

Пример 1. На автоматическую телефонную станцию поступают вызовы со средней плотностью вызовов в час. Считая, что число вызовов на любом участке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за две минуты на станцию поступит ровно три вызова.

Решение. Среднее число вызовов за две минуты равно:

Кв.м. Для поражения цели достаточно попадания в нее хотя бы одного осколка. Найти вероятность поражения цели при данном положении точки разрыва.

Решение. . По формуле (5.9.4) находим вероятность попадания хотя бы одного осколка:

(Для вычисления значения показательной функции пользуемся таблицей 2 приложения).

Пример 7. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 куб. дм воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

Решение. Принимая гипотезу о пуассоновском распределении числа микробов в объеме, находим:

Пример 8. По некоторой цели производится 50 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,04. Пользуясь предельным свойством биномиального распределения (формула (5.9.17)), найти приближенно вероятность того, что в цель попадет: ни одного снаряда, один снаряд, два снаряда.

Решение. Имеем . По таблице 8 приложения находим вероятности.

Рассмотрим уравнение

Где функция определена на .

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью a в моменты времени t > 0 .

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени t = 0 :

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Идея получения решения

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье. Обобщенная формула Кирхгофа имеет следующий вид:

.

В случае, если в волновом уравнении имеется правая часть f , в правой части формулы появится слагаемое:

Физические следствия

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени t = 0 на некотором компакте M есть локальное возмущение ( и/или ). Если мы находимся в некоторой точке , то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время .

Вне отрезка времени , где , функция u (x 0 , t ) равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в , уже не будет компактным в , а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).

Формула Пуассона -Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны

с начальными условиями

задаётся формулой:

.

Формула Д"Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

(функция f (x ,t ) соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

имеет вид

В область II приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д"Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области . Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: u (x ,t ) = f (x + a t ) + g (x − a t ) , то есть оно определяется двумя семействами характеристик: . Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии x ≥0. Видно, что в область I приходят как ξ-характеристики, так и η-характеристики, в то время как в области II есть только ξ-характеристики. То есть, в области II формула Д"Аламбера не работает.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения с начальными условиями и искать решение в виде суммы трех функций: u (x ,t ) = A (x ,t ) + B (x ,t ) + C (x ,t ) , которые удовлетворяют следующим условиям:

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путем замены переменных. Например, пусть . Тогда, сделав замену ξ = x + 3y − 2z , уравнение для задачи "С" примет вид:

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д"Аламбера:

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области t > 0 .

Литература

Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. - М.: МФТИ, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Формула Пуассона" в других словарях:

Формула Кирхгофа аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно… … Википедия

Формула Кирхгофа аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного… … Википедия

Формула, представляющая единств. классич. решение и(х, t) Koши задачи для волнового ур ния в трёхмерном пространстве времени, (где с скорость распространения сигнала) в случае, если начальные данные f(x), p(х) соответственно трижды и дважды… … Физическая энциклопедия

Формула для вычисления суммы ряда вида Если Фурье преобразование (несколько иначе, чем обычно, нормированное) функции F (x), то (m и n целые). Это и есть П. ф. с.; она может быть… … Большая советская энциклопедия

Формула П. ф. с. имеет место, если, напр., функция g(x).абсолютно интегрируема на интервале, имеет ограниченное изменение и П. ф. с. записывается также в виде где аи b любые два положительных числа, удовлетворяющие условию аb=2p, а c(u).есть… … Математическая энциклопедия

1) То же, что Пуассона интеграл.2) Формула, дающая интегральное представление решения задачи Коши для волнового уравнения в пространстве: и имеющая вид (1) где среднее значение функции j на сфере Sat в пространстве (х, у, z) радиуса at с… … Математическая энциклопедия

Бесконечно делимое распределение в теории вероятностей это распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых. Содержание 1 Определение 2… … Википедия

Как сразу стали поступать запросы: «Где Пуассон? Где задачи на формулу Пуассона?» и т.п . И поэтому я начну с частного применения распределения Пуассона – ввиду большой востребованности материала.

Задача до боли эйфории знакома:

И следующие две задачи принципиально отличаются от предыдущих:

Пример 4

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Отличие состоит в том, что здесь речь идёт ИМЕННО о распределении Пуассона.

Решение : случайная величина принимает значения с вероятностями:

По условию, , и тут всё просто: событие состоит в трёх несовместных исходах :

Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Ответ :

Аналогичная задача на понимание:

Пример 5

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет положительное значение.

Решение и ответ в конце урока.

Помимо приближения биномиального распределения (Примеры 1-3), распределение Пуассона нашло широкое применение в теории массового обслуживания для вероятностной характеристики простейшего потока событий. Постараюсь быть лаконичным:

Пусть в некоторую систему поступают заявки (телефонные звонки, приходящие клиенты и т.д.). Поток заявок называют простейшим , если он удовлетворяет условиям стационарности , отсутствия последствий и ординарности . Стационарность подразумевает то, что интенсивность заявок постоянна и не зависит от времени суток, дня недели или других временнЫх рамок. Иными словами, не бывает «часа пик» и не бывает «мёртвых часов». Отсутствие последствий означает, что вероятность появления новых заявок не зависит от «предыстории», т.е. нет такого, что «одна бабка рассказала» и другие «набежали» (или наоборот, разбежались). И, наконец, свойство ординарности характеризуется тем, что за достаточно малый промежуток времени практически невозможно появление двух или бОльшего количества заявок. «Две старушки в двери?» – нет уж, увольте.

Итак, пусть в некоторую систему поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью заявок в минуту (в час, в день или в произвольный промежуток времени). Тогда вероятность того, что за данный промежуток времени , в систему поступит ровно заявок, равна:

Пример 6

Звонки в диспетчерскую такси представляет собой простейший пуассоновский поток со средней интенсивностью 30 вызовов в час. Найти вероятность того, что: а) за 1 мин. поступит 2-3 вызова, б) в течение пяти минут будет хотя бы один звонок.

Решение : используем формулу Пуассона:

а) Учитывая стационарность потока, вычислим среднее количество вызовов за 1 минуту:
вызова – в среднем за одну минуту.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что за 1 минуту в диспетчерскую поступит 2-3 вызова.

б) Вычислим среднее количество вызов за пять минут:

Главная » Транскрипции » Применение формула пуассона в военной сфере. Распределение и формула пуассона