Что такое теория хаоса. Теория хаоса: как поймать бабочку Лоренца? Введение в теорию хаоса

Введение в теорию хаоса

Что такое теория хаоса?

Теория хаоса — это учение о сложных нелинейных динамических системах.

Формально, теория хаоса определяется как учение о сложных нелинейных динамических системах. Под термином сложные это и понимается, а под термином нелинейные понимается рекурсия и алгоритмы из высшей математики, и, наконец, динамические - означает непостоянные и непериодические. Таким образом, теория хаоса это учение о постоянно изменяющихся сложных системах, основанное не математических концепциях рекурсии, в форме ли рекурсивного процесса или набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему.

Неправильные представления о теории хаоса

Широкая общественность обратила внимание на теорию хаоса благодаря таким фильмам, как Парк юрского периода, и благодаря им же, постоянно увеличивается опасение теории хаоса со стороны общества. Однако, как и в отношении любой вещи, освещаемой средствами массовой информации, в отношении теории хаоса возникло много неправильных представлений.

Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса - это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок - и даже не просто порядок, а сущность порядка.

Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы - наследственной непредсказуемости системы - а на унаследованном ей порядке - общем в поведении похожих систем.

Таким образом, было бы неправильным сказать, что теория хаоса о беспорядке. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца. Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.

Теория хаоса о беспорядке

Аттрактор представляет поведение газа в любое заданное время, и его состояние в определенный момент зависит от его состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, скажем, эти величины малы настолько, что соизмеримы с вкладом отдельных атомов в число Авогадро (что является очень маленьким числом по сравнению со значениями порядка 1024), проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.

Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть достаточно похоже. Обе системы будут иметь абсолютно разные значения в любой заданный момент времени, но график аттрактора останется тем же самым, т.к. он выражает общее поведение системы.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы - в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.

Применение теории хаоса в реальном мире

При появлении новых теорий, все хотят узнать что же в них хорошего. Итак что хорошего в теории хаоса? Первое и самое важное - теория хаоса - это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые - вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени - представляют общее поведение системы. Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные - т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.

Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего - от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована - рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов в отличие от точных соотношений; процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Фракталы находятся везде, наиболее заметны в графических программах как например очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как например коэффициента сжатия 600:1. Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

И, конечно, теория хаоса дает людям удивительно интересный способ того, как приобрести интерес к математике, одной из наиболее мало-популярной области познания на сегодняшний день.

Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе.

ХАОС НЕ СЛУЧАЕН

Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью - ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления.

И если относиться к рынку как к случайным блужданиям, то это как раз тот самый случай. Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, то вы должны иметь ввиду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема.

Непредсказуемость хаоса

Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям.

Эти ошибки могут возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от нашего внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях.

"Эффект бабочки"

Применительно к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий иногда называют "эффектом бабочки". "Эффект бабочки" указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе.

Дополнительные неточности в результат исследований и расчетов могут вносить самые на первый взгляд незаметные факторы воздействия на систему, которые появляются в период ее существования с начального момента до появления фактического и окончательного результата. При этом факторы воздействия могут быть как экзогенные (внешние), так и эндогенные (внутренние).

Ярким примером хаотического поведения является движение бильярдного шара. Если вы когда-либо играли в бильярд, то знаете, что от начальной точности удара, его силы, положения кия относительно шара, оценка месторасположения шара, по которому наносится удар, а также расположения других шаров, находящихся на столе, зависит конечный результат. Малейшая неточность в одном из этих факторов приводит к самым непредсказуемым последствиям - шар может покатиться совсем не туда, куда ожидал бильярдист. Более того, даже если бильярдист все сделал правильно, попробуйте предсказать движения шара после пяти-шести столкновений.

Рассмотрим еще один пример влияния начальных условий на конечный результат. Представим себе, например, камень на вершине горы. Стоит его чуть-чуть подтолкнуть, и он покатится вниз до самого подножия горы. Понятно, что совсем малое изменение силы толчка и его направления может привести к очень значительному изменению места остановки камня у подножия. Есть, правда, одна очень существенная разница между примером с камнем и хаотической системой.

В первом факторы воздействия на камень во время его падения с горы (ветер, препятствия, изменения внутренней структуры вследствие столкновений и т.п.) уже не оказывают сильного воздействия на конечный результат по сравнению с начальными условиями. В хаотических системах малые изменения оказывают значительное воздействие на результат не только в начальных условиях, но и прочих факторах.

Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем - будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий.

То же самое по-простому - малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия.

Рисунок 1. Существенная зависимость результата от начальных условий и факторов воздействия

Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса - эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости.
Второй вывод теории хаоса - достоверность прогнозов со временем быстро падает.

Данный вывод является существенным ограничением для применимости фундаментального анализа, оперирующего, как правило, именно долгосрочными категориями.

Рисунок 2. Экспоненциальное снижение достоверности прогнозов

Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка - с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка. Например, дым от сигарет сначала поднимающийся в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными.

Еще один пример хаотичности в природе - лист с любого дерева. Можно утверждать, что вы найдете много похожих листьев, например дуба, однако ни одной пары одинаковых листьев. Разница предопределена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).

Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью вселенной, какие бы проявления ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе - правому. Левое полушарие отвечает сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется "если…, то…". В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.

Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем.

Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot).

Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды.

До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем" . Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: "Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир".

Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: "Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы.

Аттрактор (от англ. to attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.

Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства. Итак, фазовое пространство - это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и положением.

Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая. В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль.

Рисунок 3. Движение маятника как пример фазового пространства

По простому, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается.

Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку.
Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой.
Третий тип аттрактора - тор. На рисунке 4. тор показан в верхнем правом углу.

Рисунок 4. Основные типы аттракторов. Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора.

Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его.

И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.

Первым хаотическим аттрактором стал аттрактора Лоренца. На рисунке 3.7. он показан в левом нижнем углу.

Рисунок 5. Хаотический аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения - разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.

Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости - возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации.

В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука - способностью устанавливать связи между причинами и следствиями - в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет.

Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.

Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются

Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия , фрактал - это противоположность хаоса.

Главное различие между хаосом и фракталом заключается в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.

ФРАКТАЛ

Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие.

Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.

Фактически все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.

Рисунок 6. Фрактал "ковер Серпинского"

Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация (от лат. iteratio - повторение) - повторное применение какой-либо математической операции.

Рисунок 7. Построение ковра Серпинского

Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как и во фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым.

В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия.

Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию или, как он ее еще назвал - геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд "Фрактальная геометрия природы" (The Fractal Geometry of Nature) . Многие называют Мандельброта отцом фракталов, т.к. он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм.

Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например, 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.

Логика существования нецелых измерений очень простая. Так, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, 3-мерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения.

Вот для измерения таких неправильных, фрактальных фигур и было введено понятие фрактальное измерение. Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но меньше 3-х. Это плохо укладывается в евклидовую геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5.

Детерминистские фракталы

Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя и генерируются простой формулой.

Классическим примером сложного фрактала является множество

Мандельброта, получаемое из простой формулы Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число. На рисунке 8 мы видим фрактал 2-й степени, где а = 2.

Рисунок 8. Множество Мандельброта

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций.

Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.

Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.

Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.

Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения.

Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2).

Результатом расчетов являются следующие выводы:

при С < 1 популяция с ростом n вымирает;
в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка былапритягивающая фиксированная ;
в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается;
при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим.

Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке.

Рисунок 9. Переход к хаосу через бифуркации, начальная стадия уравнения Xn+1=CXn - С(Хn)2

Динамические переменные Xn принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).

Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).

Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. "дерево Фейгенбаума".

Рисунок 10. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической формулы)

Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу.

Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми.

Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу.

С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения.

Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.

На сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

Квантовая психология и теория хаоса

Квантовая психология появилась вследствие моего желания познать самого себя. Мой индийский учитель Нисаргадатта Махарадж говорил:

Ты не сможешь избавиться от чего-либо, пока не узнаешь о нем; чтобы понять, нем ты являешься, ты должен прежде понять, нем ты не являешься.

Именно поэтому, прежде чем освободиться от какого-то поведенческого паттерна (являющегося на самом деле энергетическим паттерном), мы сначала должны понять, что он собой представляет. Эта книга отдает должное психологии за ее попытки разобраться в этом вопросе. Современная психология уже сделала первый шаг. изучение личностных моделей поведения и создание новых моделей посредством формирования новых убеждений; но следующие три шага еще только предстоит сделать.

Второй шаг. постижение и организация хаоса. Полное и всестороннее объяснение движения энергии и сознания.

Третий шаг. технология, позволяющая человеку научиться создавать свой собственный порядок внутри хаоса.

Четвертый шаг. понять, кем мы являемся.

Психология пока сделала лишь первый шаг - самоанализ. Чтобы сделать следующие три шага, нам предстоит начать путь в направлении единой теории поля человеческого поведения.

Упорядочение хаоса

Как уже сказано в главе 1, необходим опыт встречи с хаосом, а затем надо осознать скрытый в нем порядок для того, чтобы переместить притяжение с одного энергетического уровня на другой.

В теории хаоса термин центр притяжения (аттрактор) используется для описания движения энергии внутри системы в направлении какой-либо части этой системы.

Аттрактор - это область пространства, оказывающая «магнетическое» воздействие на систему; кажется, что она притягивает к себе все остальные части системы… в природных системах потоки энергии устремляются к низменностям, отталкиваясь от возвышенностей.

На языке психологии это означает, что энергия стремится к самоорганизации и порядку и поэтому ее привлекают скорее долины, нежели горы. Например, ребенок учится контролировать энергию злости и превращать ее в улыбку (низменность), чтобы справиться с хаосом разгневанного родителя. Это гораздо проще, чем выразить собственный гнев и прикрикнуть на мать - такой поступок кажется ребенку недоступной вершиной. Стремление к порядку рождает устойчивые модели поведения, которые все дальше уводят нас от самих себя. Иными словами, наша постоянная привычка скрывать свои чувства за милой улыбкой уводит нас прочь от нашей истинной Сущности гораздо чаще, чем приближает к ней.

В приведенном выше примере ребенок организует хаос и превращает энергию ярости в улыбку ради дружбы с мамочкой. В будущем это станет привычкой, и вместо того чтобы использовать энергию злости для движения в сторону единения, мы остаемся в одиночестве, так как вынуждены скрывать наши истинные чувства за улыбающейся маской.

Таким образом, задача упаковщика энергии, обычно называемого психотерапевтом, заключается в том, чтобы помочь клиенту распознать свой энергетический шаблон и научить правильно паковать собственную энергию, создавая порядок из хаоса и приближаясь к пониманию своей истинной природы. Это позволит клиенту (концентрированному сгустку энергии) осознать, кем он является на самом деле.

Наблюдение и пробуждение - движущие силы осознания.

Что является движущей силой, помогающей различить порядок внутри хаоса? Прежде всего давайте уточним, что именно мы называем энергией.

Для этого мы должны вспомнить основные принципы, открытые Альбертом Эйнштейном в квантовой физике. Эйнштейн утверждает: «Все создано из пустоты, а форма - сгусток пустоты». Из этой пустоты, представляющей собой недифференцированное сознание, возникают формы, которые мы можем назвать дифференцированным сознанием.

Под термином «недифференцированное» подразумевается состояние, в котором нет ни субъекта, ни объекта, ни наблюдаемого, ни наблюдателя, ни знания, ни знающего.

Затем это недифференцированное сознание сгущается и рождает две формы дифференцированного сознания: наблюдателя и объект наблюдения. Сгущаясь дальше, сознание создает идею пространства, идею времени, идею плотности, или массы, и идею энергии.

Наблюдатель, хотя он и состоит из того же вещества, что и объект наблюдения, создает различные идеи. Это прежде всего идея о том, что в пространстве есть множество различных мест и уровней (в теории хаоса это называется многоуровневым пространством). Затем наблюдатель разделяет время на прошлое, настоящее и будущее (многоуровневое время). Далее наблюдатель разделяет плотность, или массу, на более плотную и менее плотную (многоуровневая масса), и наконец разделяет энергию по степени интенсивности (многоуровневая энергия).

Хотя все состоит из сознания, которое есть не что иное, как сгусток пустоты, наблюдатель видит различия там, где их на самом деле нет. Как только появляется наблюдатель, сразу же появляются и различия.

И наблюдатель, и объект наблюдения состоят из одного и того же сознания, но наблюдателю они кажутся разграниченными. Эта идея разделения порождает страдания. Индийский философ мог бы сказать, что, хотя сознание и кажется разграниченным на наблюдателя и объект наблюдения, на самом деле оно никогда не утрачивает своей истинной природы - чистого недифференцированного сознания. Тем не менее сознание может притвориться разграниченным внутри самого себя и таким образом постичь опыт разграничения. На санскрите это называется Кришаки Вилас - «игра сознания». Дао хаоса предлагает нам начать исследование этой игры сознания, войдя внутрь хаоса. Проще говоря, случайные взлеты и падения, движения и повороты сознания кажутся хаотичными. Позволив себе отдаться этому опыту отсутствия контроля и приятия хаоса, мы сможем войти в состояние Сущности, пребывающей прежде сознания, - иными словами, в состояние второго неявного порядка (этот вопрос будет обсуждаться в разделе II).

Во время одной из наших бесед Нисаргадатта Махарадж произнес: «Оставайся там, где еще не успела появиться твоя последняя мысль». Он говорил в тот момент, что мысль сознательна ив то же время кажется хаотичной. Ее возникновению предшествует пустота, или второй неявный уровень. Люди часто хотят избежать этого случайного и хаотического потока мыслей, но если вы в течение одной минуты посидите спокойно с закрытыми глазами, то обнаружите множество бессвязных мыслей, случайно возникающих в вашем сознании. Сначала это кажется хаосом, но если мы проникнем глубже, то сумеем обнаружить скрытый порядок.

Книга «Дао хаоса» так же, как и «Квантовое сознание», содержит множество упражнений, которые должны помочь вам испытать новые знания на собственном опыте - иначе они останутся просто игрой ума. Помня об этом, давайте приступим к освоению дао хаоса.

Дао хаоса. Упражнение 1

Поток случайных мыслей. Закройте глаза.

Шаг 1. Наблюдайте, как приходят и уходят мысли.

Шаг 2. Сконцентрируйте внимание на отсутствии связи между мыслями.

Некоторые люди удивляются, обнаружив, что их мысли никак не связаны между собой. Например, вы можете вспомнить эпизод из прошлого, представить себе картину или мелодию, почувствовать во рту вкус пиццы, подумать о выгодном помещении капитала, затем о будущем отпуске - и все это в течение каких-то нескольких секунд.

Этот поток мыслей кажется случайным и хаотичным. Он поднимает волны хаоса. Но если мы взглянем глубже, то обнаружим интервалы между мыслями - участки пустого пространства. Это и есть порядок внутри хаоса.

Наблюдатель и объект наблюдения

Как было сказано в книге «Квантовое сознание», наблюдатель и объект наблюдения, так же как наблюдатель эмоции и сама эмоция, взаимосвязаны, но кажутся отделенными от других наблюдателей и эмоций.

Это позволяет сознанию создавать якобы независимые вселенные, в каждой из которых присутствует наблюдатель, создающий объекты наблюдения. Так гласит теория параллельных вселенных в квантовой психологии.

Каждый наблюдатель и объекты наблюдения обитают в своей собственной вселенной. Каждый индивид, или параллельная вселенная, продолжает создавать собственную внутреннюю реальность, которая является самоорганизующейся. Например, я убежден в том, что «все люди мерзавцы». Наблюдатель - мы назовем его «наблюдатель А» - организует наше поведение вокруг этого энергетического паттерна.

Представьте себе солнечную систему, в которой наблюдатель является солнцем, а вращающиеся вокруг него планеты - его верованиями и убеждениями. Наблюдатель остается неподвижным и устойчивым, а квантовая сила поддерживает стабильность его структуры (это будет подробно описано позже).

Или представьте себе атом, в котором наблюдатель является ядром, а электроны - его системами верований и убеждений.

Система, или сгусток энергии, кажется устойчивой. Но, как нам уже известно, посторонние энергии могут в любой момент проникнуть внутрь этой системы, ускоряя движение электронов (верований) и вызывая у вас (ядра) чувство хаоса и потери контроля.

В случае семейной терапии энергия психотерапевта вливается в энергосистему супружеской пары. Например, психотерапевт хочет навести порядок во взаимодействии двух ядер (мужа и жены), чтобы эти отношения были не слишком хаотичными и электроны не совершили квантового скачка из состояния брака в состояние развода.

При встрече вашей энергосистемы с энергосистемой психотерапевта ваша система активизируется, получив дополнительную энергию терапевта. Поэтому в присутствии психолога, гуру, учителя или ведущего вы часто ощущаете реальное изменение. Но стоит вам вернуться домой, на работу или в семью - ваша энергия возвращается на тот же уровень, что и раньше. Почему? Изменение произошло оттого, что терапевт добавил вам порцию собственной энергии, поэтому изменение осталось контекстно-зависимым. Ведь эта энергия не ваша собственная. Вот почему в присутствии другого человека или группы людей мы можем почувствовать обновление и порой даже принимаем новые и важные решения, но как только мы покинем группу или психотерапевта, все возвращается на круги своя. Дао хаоса предлагает вам стать генераторами собственной энергии на уровне Сущности. Сущность предшествует личности и ее способам организации жизненного пространства; Сущность является источником нашей истинной природы, вторым неявным порядком (мы подробно обсудим это в разделе III).

Эта тема обсуждается во множестве различных духовных учений. Но мало кто станет отрицать, что любая психологическая или духовная школа обладает системами верований, с помощью которых она пытается навести порядок внутри хаоса.

Осознание порядка внутри хаоса

Организация энергии

Для обнаружения порядка внутри хаоса квантовая психология предлагает иную точку зрения. Наблюдатель должен увидеть, что все наблюдаемые им объекты созданы из энергии.

Когда с наблюдаемых объектов убирают ярлыки, начинает возникать порядок внутри хаоса. Как вы сможете обнаружить этот порядок? Этот вопрос снова возвращает нас в квантовое поле или пустоту, предшествующую появлению самого вопроса.

Здесь мы снова вспомним процесс, посредством которого сознание пытается навести порядок внутри самого себя.

«Я» вызываю «Тебя»

Во-первых, представим себе любую субличность или пару противоположных субличностей: субличность 1 - «Жизнь тяжела» и субличность 2 - «Не бери в голову!». Субличность 1 представляет собой энергетическую модель поведения, в которой содержатся многочисленные искажения восприятия и трансы. Все они являются способами, посредством которых субличность 1 занимается самоорганизацией, поэтому субъективный опыт этой субличности постоянно воспроизводит одни и те же ситуации.

Способы организации

Если субличность хочет быть более устойчивой и закостеневшей, она может применить множество психодуховных стратегий, которые помогут энергетическому паттерну уплотниться и превратиться в жесткую структуру. Например, когда мой друг и я узнали, что наш знакомый Мэд-жик Джонсон болен СПИДом, мы оба ощутили растерянность и хаос. Чтобы справиться с этим хаосом, мой друг применил духовно-метафизическую стратегию установления порядка. «Интересно, почему он выбрал этот путь: заболеть СПИДом, и какой урок он хочет извлечь из этого?» Мэджик Джонсон также упорядочил собственный хаос с помощью утверждения: «Господь избрал меня для особой миссии». Можно представить себе, что Господь говорит Мэджику: «Переспи с 2500 женщинами без презерватива, потому что у меня в запасе специальная миссия для тебя». Такая спиритуализация является утонченной формой отрицания, помогающей организовать хаос.

Хотя такое наведение порядка и помогло ему почувствовать себя лучше, на самом деле он сопротивлялся хаосу и чувству беспомощности. Используя эту стратегию, его нервная система создала совокупность убеждений, якобы стабилизирующих его энергию, а на самом деле превращающих ее в жесткую и ригидную структуру, не позволяющую ему принять собственный хаос и благодаря этому погрузиться в опыт порядка второго уровня или более глубокое постижение реальности.

Однажды я беседовал с магистром естественных наук Кристи Л. Кеннен, являющейся специалистом по лечению посттравматических синдромов и последствий инцеста. Мы размышляли о том, как много современных психотерапевтических школ утверждают, что клиенту, страдающему от последствий таких травм, следует забыть о том, что с ним произошло. Кроме того, множество новых философских учений убеждают нас в том, что бессознательное, будучи отделенным от клиента, само может решить, в чем он нуждается для исцеления. Кеннен сказала:

Люди будут цепляться за любой вид философии или терапии, которая поможет им верить, что для них же самих лучше не знать и не помнить о травме, боли и хаосе. Интересно, что все эти виды терапии снова и снова убеждают нас в том, что говорить об инцесте или изнасиловании - очень плохо.

Разрушение системы

Для того чтобы реорганизовать систему, сначала нужно принять ее. Именно поэтому психологическое применение теории хаоса - приятие хаоса и позволение ему быть здесь и сейчас - помогает ощутить хаос как энергию, переключающую систему и переводящую ее на новый уровень. Это способствует созданию нового порядка внутри хаоса. Для этого система должна ощутить свое разрушение. На самом деле система просто позволила себе прийти в движение и ощутить, как начинает оживать то, что прежде было мертвым и застывшим вследствие сопротивления хаосу. Поэтому хаос кажется посланцем, несущим вам весть об изменении, ожидающем вас. Иными словами, внутренний хаос свидетельствует о том, что одной из ваших застывших структур брошен вызов.

По этой причине внутренний хаос следует приветствовать как указание на то, что какие-то из ваших глубинных убеждений, взглядов или представлений о себе следует пересмотреть. Когда вы осознаете сковывающие вас рамки и освободитесь от них, вы обретете больше свободы и пространства. На этом пути хаос станет для вас ракетой, уносящей вас в открытый космос квантового сознания.

Из книги Психология труда автора Прусова Н В

25. Теория ERG. Двухфакторная теория Ф. Герцберга (по Д. Шульц, С. Шульц, «Психология и работа») Теория ERG (existence – «существование», related-ness – «взаимоотношения», growth – «рост»), автор К. Алдерфер. Теория основана на иерархии потребностей по А. Маслоу. Автор считал основными

Из книги Дао хаоса автора Волински Стефен

Из книги Социальное влияние автора Зимбардо Филип Джордж

Психология самооправдания: теория диссонанса Ознакомьтесь с описанными ниже ситуациями и поставленными в них вопросами. Билла попросили солгать, и за свою «безобидную ложь» он получил 20 долларов. Том получил за ту же самую ложь только один доллар. Один из этих парней в

Из книги Трансперсональный проект: психология, антропология, духовные традиции Том I. Мировой трансперсональный проект автора Козлов Владимир Васильевич

1. Психология религии У. Джеймса и его теория сознания Философия и психология Уильяма Джеймса (1842-1910) вновь возрождается после периода относительного забвения. Совсем недавно его основные работы были переизданы и теоретические воззрения получили новую оценку. Его

Из книги Тени разума [В поисках науки о сознании] автора Пенроуз Роджер

Из книги Трансперсональная психология. Новые подходы автора Тулин Алексей

Из книги Психоанализ [Введение в психологию бессознательных процессов] автора Куттер Петер

Из книги Процессуальный ум. Руководство по установлению связи с Умом Бога автора Минделл Арнольд

Из книги Квантовый ум [Грань между физикой и психологией] автора Минделл Арнольд

Часть 3 Квантовая теория и трансперсональная

Из книги Иллюзия пользователя [Урезание сознания в размерах] автора Норретрандерс Тор

Квантовая теория личности и сознания В квантовой парадигме выделяют две ведущие теории личности: Станислава Грофа и квантовая концепция сознания М. Б. Менского.Гроф (1975) разделил опыты с психоделиками на четыре категории: абстрактные, психодинамичные, перинатальные и

Из книги Психологический стресс: развитие и преодоление автора Бодров Вячеслав Алексеевич

Квантовая теория: объяснение некоторых паранормальных явлений Квантовая теория говорит о том, что в природе множество явлений, которые не укладываются в рамки традиционной физики. По С. И. Доронину, это «магические» состояния, которые выходят за все мыслимые рамки с

Из книги автора

2.3. Психология Я и теория объектных отношений С точки зрения психологии Я и теории объектных отношений, психические структуры возникают в результате взаимодействия трех факторов: конфликтов, типичных для развития и для определенных позиций; травматических

Из книги автора

Глава 14. На грани Хаоса «Чем дальше, тем больше отличий» - таким было название статьи, опубликованной в «Science» в 1972 году, в которой американский физик твердых тел и нобелевский лауреат П.В. Андерсон изложил то, что в 80-е годы должно было стать противостоянием холизма против

Из книги автора

2.3.2. Модель усиления отклонений и теория хаоса Системный подход предлагает теоретическую базу для взаимодействия множества факторов. Основу этой теории составляет понятие гомеостаза, в которой обратные связи регулируют изменения системы и в конечном счете возвращают

Одной из наиболее интересных и до конца не исследованных теорий классической механики является теория хаоса.

Теория хаоса представляет собой математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос. Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной.

Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, биологические популяции, общество и другие социальные системы.

Теория хаоса - это область исследований, связывающая математику, физику и философию.

Она гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.

Первооткрывателями теории считаются французский физик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд, Мозер, построившие теорию хаоса. Теория вводит понятие аттракторов, устойчивых орбит системы.

Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре–Бендиксона, непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трех измерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.

Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории. Таким образом, произвольно маленькое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к начальным условиям.

Чувствительность к начальным условиям более известна как “Эффект бабочки”. Термин возник в связи со статьёй “Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас”, которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской “Ассоциации для продвижения науки” в Вашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой.

Несмотря на попытки понять хаос в первой половине двадцатого столетия, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда некоторым ученым стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты. Чтобы заранее исключить неточности при изучении - простые “помехи” в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы. Основным катализатором для развития теории хаоса стала электронно-вычислительная машина.

Одним из первых исследователей теории хаоса был также Эдвард Лоренц, интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что Метеорология не может точно предсказать погоду на период более недели. Годом ранее, Бенуа Мандельброт нашел повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что Структура помех подобна набору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была константа - значит, ошибки неизбежны и должны быть запланированы. В 1967 он издал работу, где доказывал, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения. В 1975 году Мандельброт опубликовал работу “Природа фрактальной геометрии”, которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.

В настоящее время теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследований, вовлекая много разных дисциплин (математика, топология, физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, и т.д.).

Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника.

Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности. В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов. Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и квантовой механикой. Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам общей теории относительности .

Vocabulary notes:

детерминированная модель - deterministic model;

турбулентные потоки - turbulent flows;

Анри Пуанкаре - Henri Poincare;

теоремa Пуанкаре–Бендиксона - Poincaré-Bendixson theorem;

аттрактор – attractor;

неевклидова геометрия - non-Euclidean geometry;

Эдвард Лоренц – Edward Lorentz;

Бенуа Мандельброт - Benoit Mandelbrot.

Изучение комплексных и динамических систем для выявления закономерностей порядка (нехаоса) из очевидных хаотичных явлений. Объяснение Chaos Theory (Теория хаоса) Lorenz ("60) и Poincaré. (ca 1900)

Что такое Chaos Theory (Теория хаоса) ? Описание

Методом Chaos Theory (Теория хаоса) от Lorenz и Poincaré будет методика можно использовать для систем изучать сложных и динамических для того чтобы показать закономерности порядка (нехаоса) из по-видимому хаотичных поведений.

«Chaos Theory (Теория хаоса) - Качественное изучение неустойчивого апериодического поведения в детерминистических нелинейных динамичных системах» (Kellert, 1993, P. 2). Апериодическое поведение наблюдается, когда нет ни одной переменной, описывающей состояние системы, которое испытывает регулярное повторение значений. Неустойчивое апериодическое поведение очень сложно: оно никогда не повторяется и проявляет эффект любого небольшого возмущения.

Согласно сегодняшней математической теории хаотичная система характеризуется «чувствительностью к начальным условиям». Другими словами, для того чтобы предсказать будущее состояние системы с определенностью, вам необходимо знать начальные условия с огромной точностью, в виду того что ошибки увеличиваются быстро из-за даже самой небольшой неточности.

Поэтому погоду настолько трудно прогнозировать. Теория также применялась к экономическим циклам, динамике животных популяций, в движении текучей среды, области планетарных орбит, электрического тока в полупроводниках, медицинских состояний (например, эпилептический припадок) и моделировании гонки вооружений.

Во 1960-х Edward Lorenz, метеоролог из MIT, работал над проектом по имитации закономерностей погоды на компьютере. Он случайно столкнулся с Эффектом бабочки (butterfly effect) после того, как отклонения в вычислениях на тысячные доли в значительной степени меняли процесс имитации. Эффект бабочки показывает, как изменения небольшого маштаба могут оказывать влияние на вещи большого масштаба. Это классический пример хаоса, где небольшие изменения могут повлечь большие изменения. Бабочка, хлопая своими крыльями в Гон Конге, может изменить закономерности торнадо в Техасе.

Chaos Theory (Теория хаоса) рассматривает организации/бизнес группы как сложные, динамические, нелинейные, созидательные и далекие от состояния равновесия системы. Их будущие результаты нельзя предсказать на основе прошлых и текущих событий и действий. В состоянии хаоса, организации одновременно ведут себя непредсказуемо (хаотично) и систематично (упорядоченно).

Происхождение Теории хаоса. История

Ilya Prigogine, лауреат Нобелевской премии, показал, что сложные структуры могут происходить от более простых. Это как порядок исходящий из хаоса. Henry Adams ранее описал данное явление цитатой «Chaos often breeds life, when order breeds habit». Однако Henri Poincaré был настоящим «отцом-основателем теории хаоса» . Планета Нептун была открыта в 1846 и была предсказана на основе наблюдений отклонений в орбите Урана. Король Норвегии Oscar II был готов дать награду любому, кто бы смог доказать или опровергнуть то, что солнечная система устойчива. Poincaré предложил свое решение, но когда его друг нашел ошибку в его вычислениях, награду отобрали до тех пор, пока он не смог придумать новое решение. Poincaré пришел к выводу, что решения не было. Даже законы Isaac Newton не помогали в решении этой огромной проблемы. Poincaré пытался найти порядок в системе, где его не было. Теория хаоса была сформулирована в 1960-х. Значительная и более практическая работа была проделана Edward Lorenz в 1960-х. Название хаос было придуманно Jim Yorke, ученым в области прикладной математики в университете Maryland (Ruelle, 1991).

Вычисление Chaos Theory (Теория хаоса)? Формула

В применении Теории хаоса, одиночная переменная x (n) = x (t0 + nt) с начальным временем, t0, и временем задержки, t, обеспечивает n-мерное пространство, или фазовое пространство, которое представляет собой все многомерное пространство состояния системы; может потребоваться до 4 измерений для того, чтобы представить фазовое пространство хаотичной системы. Таким образом, в течение длительного периода времени, анализируемая система выработает закономерности в рамках нелинейного временного ряда, что можно использовать для предсказания будущих состояний (Solomatine et al, 2001).

Применение Теории хаоса. Формы применения

Принципы Теории хаоса были успешно использованы для описания и объяснения разнообразных естественных и искусственных явлений. Such as:

Предсказание эпилептических припадков. Предсказание финансовых рынков. Моделирование систем производства. Прогнозы погоды. Создание фракталов. Сгенерированные компьютером изображения с использованием принципов Chaos Theory (Теория хаоса) . (См. на этой странице.)

В условиях, когда Бизнес работает в неустойчивой, сложной и непредсказуемой среде, принципы Теории хаоса могут быть весьма ценны. Области применения могут включать:

Социальные науки

Стадии в Теории хаоса. Процесс

Для того, чтобы контролировать хаос, необходимо контролировать систему или процесс хаоса. Для контролирования системы, необходимы:

Цель, задача, которые система должна достигнуть и выполнить. Для системы с предсказуемым поведением (детерминистическим) это может быть определенное состояние системы. Система способная достигать цель или выполнять поставленные задачи. Некоторое способы оказания влияния на поведение системы. Включают Параметры контроля/control inputs (решения, правила принятия решений или начальные состояния).

Преимущества Теории хаоса. Преимущества

Теория хаоса имеет широкое применение в современном науке и технике. Коммуникация и менеджмент могут стать свидетелями смещения парадигмы, как и некоторые другие области бизнеса. Исследования и изучение этой области в академической среде могут быть весьма полезны для бизнеса и финансового мира.

Ограничения Теории хаоса. Недостатки

Ограничения применения Теории хаоса связаны, главным образом, с выбором вводных параметров. Методы, выбранные для вычисления этих параметров зависят от динамики, лежащей в основе данных и вида анализа, которая в большинстве случаев очень сложна и не всегда точна.

Непросто найти непосредственное и прямое применение теории хаоса в деловой среде, однако определенно стоит применять анализ деловой среды с использованием знаний о хаосе.

Предположения Теории хаоса). Условия

Небольшие действия приводят к достаточно большим последствиям, создавая хаотичную атмосферу.

Главная » Глаголы » Что такое теория хаоса. Теория хаоса: как поймать бабочку Лоренца? Введение в теорию хаоса