Свойство 1 . Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS BS = CS DS, то есть DS/BS = AS/CS.

Доказательство . Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны.

Вписанные углы DCB и DAB равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.

Углы ASD и BSC равны как вертикальные.

Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и СSB подобны. Из подобия треугольников следует пропорция

DS/BS = AS/CS, или AS BS = CS DS,

что и требовалось доказать.

Свойство 2. Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то АР/СР = DP/BP.

Доказательство . Пусть А и С - ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью. Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы В и D равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Из подобия треугольников следует пропорция АР/СР = DP/BP, что и требовалось доказать.

Свойство биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство. Пусть CD биссектриса треугольника ABC. Если треугольник ABC - равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса является и медианой. Рассмотрим общий случай, когда АС не равно ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD. Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: АС/ВС = AF/BE. Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия следует: AF/BE = AD/BD. Сравнивая это равенство с предыдущим, получим: АС/ВС = AD/BD или AC/AD = BC/BD, то есть AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС.

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

10. Теоремы о пропорциональных линиях

Доказательство. Требуется доказать следующие три пропорции: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Треугольники ABD и ADC подобны, так как

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки

Треугольник ABC – прямоугольный (рис. 11), C = 90°, СD перпендикулярна АВ, ВD и DА – проекции катетов ВС и АС на гипотенузу АВ. Теоремы: 1) высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, т.е. ; 2) каждый катет – средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, т. е. , .

Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема. Если через точку, взятую внутри

круга, проведены диаметр и произвольная хорда,

то произведение длин отрезков диаметра рав-

но произведению длин отрезков хорды, т.е. (рис. 12).

Следствие. Произведения длин отрезков пересекающихся хорд равны, т.е.

Теорема. Если из точки вне круга проведены касательная и се-кущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной, т.е. (рис. 13).

Определения. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе, косинусом – отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенсом отношение противолежащего катета к прилежащему, котангенсом – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Из точки А вне окружности проведены касательная и секущая. Расстояние от А до точки касания 16 см, а от А до одной из точек пересечения секущей с окружностью 32 см. Найдите радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.

На рис. 14 АВ – касательная к окружности с центром O, AD – се-кущая. OK перпендикулярна DC, АВ = 16 см, АD = 32 см, OК = 5 см. По теореме о касательной и секущей или , АС = 8 см. см. По теореме о хордах, пересекающихся внутри круга, , но DK = KC, так как EP – диаметр, перпендикулярный хорде DС. Получим . Заменим в этом равенстве ЕК на , КР на , DК на 12, получим: OE = 13 см – искомый радиус.

104. Стороны прямоугольника 30 и 40 см. Найдите расстояние

от вершины прямоугольника до диагонали, не проходящей через эту вершину.

105. Периметр ромба равен 1 м. Одна диагональ длиннее другой на

1 дм. Вычислите диагонали ромба.

В круге по разные стороны от центра проведены параллельные хорды длиной 36 и 48 мм, расстояние между ними 42 мм. Вычислите радиус круга.

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5: 6, гипотенуза 122 см. Найдите отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.

Касательная и секущая, проведенные из одной точки к окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12, внутренняя часть секущей равна 10. Найдите радиус окружности.

К окружности с радиусом 7 см проведены две касательные из одной точки, удаленной от центра на 25 см. Найдите расстояние между точками касания.

Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм, хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Найдите радиусы окружностей.

Радиус окружности 7 см. Из точки, удаленной от центра на

9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью на равные части. Найдите длину этой секущей.

Касательная к окружности равна 20 см, а наибольшая секущая, проведенная из той же точки, равна 50 см. Найдите радиус.

Из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, длина которой а, а её внутренний отрезок больше внешнего на длину касательной. Найдите длину касательной.

В круг радиусом R вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Найдите высоту треугольника.

В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 48 и 30 дм. Вычислите радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.

Рассмотрим сначала секущую АС, проведенную из внешней по отношению к данной окружности точки А (рис. 288). Из той же точки проведем касательную АТ. Будем называть отрезок между точкой А и ближайшей к ней точкой пересечения с окружностью внешней частью секущей (отрезок АВ на рис. 288), отрезок же АС до более далекой из двух точек пересечения - просто секущей. Отрезок касательной от А до точки касания также коротко называем касательной. Тогда справедлива

Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

Доказательство. Соединим точку . Треугольники ACT и ВТ А подобны, так как угол при вершине А у них общий, а углы ACT и равны, поскольку оба они измеряются половиной одной и той же дуги ТВ. Следовательно, Отсюда получаем требуемый результат:

Касательная равна среднему геометрическому между секущей, проведенной из той же точки, и ее внешней частью.

Следствие. Для любой секущей, проведенной через данную точку А, произведение ее длины на внешнюю часть постоянно:

Рассмотрим теперь хорды, пересекающиеся во внутренней точке. Справедливо утверждение:

Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (имеются в виду отрезки, на которые хорда разбивается точкой пересечения).

Так, на рис. 289 хорды АВ и CD пересекаются в точке М, и мы имеем Иначе говоря,

Для данной точки М произведение отрезков, на которые она разбивает любую проходящую через нее хорду, постоянно.

Для доказательства заметим, что треугольники МВС и MAD подобны: углы СМВ и DMA вертикальные, углы MAD и МСВ опираются на одну и ту же дугу. Отсюда находим

что и требовалось доказать.

Если данная точка М лежит на расстоянии l от центра, то, проведя через нее диаметр и рассматривая его как одну из хорд, найдем, что произведение отрезков диаметра, а значит, и любой другой хорды, равно Оно же равно квадрату минимальной полухорды (перпендикулярной к указанному диаметру), проходящей через М.

Теорема о постоянстве произведения отрезков хорды и теорема о постоянстве произведения секущей на ее внешнюю часть суть два случая одного и того же утверждения, различие состоит лишь в том, проводятся ли секущие через внешнюю или внутреннюю точку круга. Теперь можно указать еще один признак, отличающий вписанные четырехугольники:

Во всяком вписанном четырехугольнике произведения отрезное, на которые разбиваются диагонали точкой их пересечения, равны.

Необходимость условия очевидна, так как диагонали будут хордами описанной окружности. Можно показать, что это условие также и достаточно.

Теорема 111 . 1) Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, среднепропорционален между частями диаметра. Этот перпендикуляр называется иногда ординатой.

2) Хорда, соединяющая конец диаметра с точкой окружности, среднепропорциональна между диаметром и отрезком, прилежащем хорде.

Дано. Опустим из какой-нибудь точки C окружности перпендикуляр CD на диаметр AB (черт. 169).

Требуется доказать, что 1) AD/CD = CD/DB, а также 2) AD/AC = AC/AB.

Доказательство . Соединим точку C с концами диаметра AB, тогда при точке C образуется прямой угол ACB, в котором отрезок CD есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

На основании теоремы 100 имеет место пропорция:

на основании теоремы 101 пропорция:

AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)

Следствие . Квадраты хорд относятся как соответствующие отрезки диаметра.

Доказательство . Из пропорции (1) следуют равенства:

AC 2 = AB · AD, CB 2 = AB · BD

откуда по разделении находим:

AC 2 /CB 2 = AD/DB.

Теорема 112 . Части пересекающихся хорд обратно пропорциональны между собой.

Даны две пересекающиеся хорды AB и CD (черт. 170).

Требуется доказать, что

т. е. большая часть первой хорды относится к большей части второй как меньшая часть второй хорды к меньшей части первой .

Доказательство . Соединим точку A с C и B с D, тогда образуются два подобных треугольника ACE и DBE, ибо углы при точке E равны как вертикальные, ∠CAB = ∠CDB как опирающиеся на концы дуги CB, ∠ACD = ∠ABD как опирающиеся на концы дуги AD.

Из подобия треугольников ACE и DBE вытекает пропорция:

BE/DE = CE/AE (a)

Из пропорции (a) вытекает равенство:

BE · AE = DE · CE

показывающее, что произведение отрезков одной равно произведению отрезков другой хорды.

Теорема 113 . Две секущие, проведенные из одной и той же точки вне окружности, обратно пропорциональны внешним своим частям.

Даны две секущие AB и AC, проведенные из точки A (черт 171).

Требуется доказать, что

т. е. первая секущая относится ко второй, как внешняя часть второй относится к внешней части первой секущей.

Доказательство . Соединим точки D с C, а B с E.

Два треугольника ∠ABE и ∠ADC подобны, ибо угол A общий, B = C как опирающиеся на концы одной и той же дуги DE, следовательно и ∠ADC = ∠AEB.

Из подобия треугольников ADC и ABE вытекает пропорция:

AC/AB = AD/AE (ЧТД).

Из этой же пропорции вытекает равенство

AC · AE = AB · AD

показывающее, что произведение секущей на ее внешний отрезок равно произведению другой секущей на ее отрезок (если секущие выходят из одной точки).

Теорема 114 . Касательная среднепропорциональна между целой секущей и внешней ее частью.

Дана касательная AB и секущая BC (черт. 172).

Требуется доказать, что

Доказательство . Соединим точку A с точками C и D.

Треугольники ABC и ABD подобны, ибо угол B общий, ∠BAD = ∠ACD, следовательно, ∠CAB = ∠ADB.

BC/AB = AB/BD (ЧТД).

Из этой пропорции вытекает равенство:

AB 2 = BC · BD

показывающее, что квадрат касательной равен произведению секущей на внешнюю ее часть .

Свойство сторон вписанного четырехугольника

Теорема 115 . Во всяком четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Это предположение, известное под именем теоремы Птоломея, встречается в первый раз в сочинении Птоломея «Альагест» во II веке по Р. Х.

Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 173) и проведены диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что AC · BD = AB · CD + BC · AD.

Доказательство . Проведем прямую BE так, чтобы угол EBC равнялся углу ABD. Два треугольника ABD и BEC подобны, ибо ∠ABD = ∠CBE по построению, ∠ADB = ∠BCE как опирающиеся на одну и ту же дугу AB, следовательно,

Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:

BC/BD = EC/AD (a)

Треугольники ABE и BCD подобны, ибо ∠ABE = ∠DBC по построению, ∠BAE = ∠BDC как опирающиеся на дугу BC, следовательно,

∠BEA = ∠BCD.

Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:

AB/BD = AE/CD (b)

Из пропорций (a) и (b) вытекают равенства:

BC · AD = BD · EC
AB · CD = BD · AE

Сложив эти равенства, имеем:

BC · AD + AB · CD = BD · EC + BD · AE = BD (EC + AE)

Так как EC + AE = AC, то

BD · AC = BC · AD + AB · CD (ЧТД).

Теорема 116 . Во всяком вписанном четырехугольнике диагонали относятся как суммы произведений сторон, опирающихся на концы диагоналей.

Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 174) и проведены диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что

BD/AC = (AD · DC + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)

Доказательство . а) От точки B отложим дугу BE равную DC и соединим точку E с точками A, B, D.

Для вписанного четырехугольника ABED имеет место равенство:

AE · BD = AD · BE + AB · DE.

Так как BE = CD по построению, DE = BC, ибо ◡DE = ◡DC + ◡CE и ◡BC = ◡BE + ◡CE.

Заменив BE и DE их величинами, имеем равенство:

AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)

b) Отложив от точки A дугу AF равную дуге BC и соединив точку F с точками A, D, C, имеем для четырехугольника AFCD равенство:

AC · DF = AF · CD + AD · CF

В этом равенстве AF = BC по построению, CF = AB (ибо ◡CF = ◡BC + ◡BF и ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF)

Заменяя величины AF и CF их величинами, найдем равенство:

AC · DF = BC · CD + AD · AB (b)

В равенствах (a) и (b) отрезки AE и DF равны, ибо

◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF

Разделяя равенства (a) и (b), находим:

BC/AD = (AD · C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB) (ЧТД).

Главная » Словарный запас » Теоремы выражающие пропорциональные линии в круге. Дополнительные свойства