Примеры решения уравнений с частными производными. УМФ

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

Классификация

Размерность

Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Линейность

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными , либо известными функциями.

Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).

Однородность

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок

Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические , эллиптические и гиперболические .

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

где A , B , C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y , а многоточие означает члены, зависящие от x , y , u и частных производных первого порядка: и . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения :

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы , параболы и гиперболы , в зависимости от знака дискриминанта , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

В случае, когда все коэффициенты A , B , C - постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y . В случае, если коэффициенты A , B , C непрерывно зависят от x и y , множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа ), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых - эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения .

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

Невырожденным линейным преобразованием

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке ) рассматриваемого уравнения:

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

Гиперболический тип
1. Нормальный гиперболический тип , если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
2. Ультрагиперболический тип , если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
Параболический тип может быть дополнительно классифицирован на:
1. Эллиптически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
2. Гиперболически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
  1. Нормальный гиперболически-параболический тип
  2. Ультрагиперболически-параболический тип
3. Ультрапараболический тип , если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара-Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение . Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n ) для уравнения Лапласа :

где n - целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно для любого ненулевого значения y . Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации.

Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 12 мая 2011 .

Почти-решение дифференциального уравнения с частными производными - понятие, введенное В. М. Миклюковым в связи с исследованиями решений с неустранимыми особенностями.

Подборку статей, касающихся описания свойств почти-решений (принцип максимума, неравенство Гарнака и др.) см. на http://www.uchimsya.info .

Примеры

Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид

где u (t ,x ) - температура, и α - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:

где f (x ) - произвольная функция.

Уравнение колебания струны

Здесь u (t ,x ) - смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

Двумерное уравнение Лапласа

Связь с аналитическими функциями

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции комплексной переменной являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f =u +iv , то условия Коши-Римана утверждают следующее:

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S , а на границе области - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие кравевые задачи:

Решение уравнений математической физики

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Аналитическое решение

Уравнение колебаний

Рассмотрим задачу о колебаниях струны длины . Будем считать, что на концах струны функция обращается в ноль:

В начальный момент времени зададим начальные условия:

Представим решение в виде:

После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение получаем:

Правая часть этого уравнения зависит от , левая - от , следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через :

Отсюда находим уравнение для :

Нетривиальные решения этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при и имеют вид:

Рассмотрим уравнение для отыскания :

Его решение:

Следовательно, каждая функция вида

является решением волнового уравнения.

Чтобы удовлетворить решение начальным условиям, составим ряд:

Подстановка в начальные условия даёт:

Последние формулы представляют собой разложение функций и в ряд Фурье на отрезке . Коэффициенты разложений вычисляются по формулам:

Численное решение

Уравнение колебаний струны

Данный способ решения называется методом конечных дифференциалов. Он достаточно просто реализуем при помощи программирования.

Этот метод основан на определении производной функции :

Если имеется функция , то частичная производная будет следующая:

Так как мы используем достаточно маленький, знаки пределов можно отбросить. Тогда получим следующие выражения:

Для удобства в дальнейшем примем следующие обозначения:

Тогда предыдущие выражения можно записать так: ,

Эти выражения называют правыми дифференциалами. Их можно записать и по-другому: , - это левые дифференциалы.

Просуммировав оба выражения получим следующее:

из которых следует:

Оба выражения называют дифференциалом в центральной точке . Они приближают производную с большей точностью.

Аналогично можно получить и дифференциалы второго порядка:

Уравнение колебаний струны записывается в такой форме: .

Дополнительные условия задаются в виде: , , , ,

Где и - позиции концов (креплений) струны во времени, а и - начальное состояние и скорость струны из которой мы можем получить состояние струны в следующий момент времени используя формулу (см. Метод Эйлера):

Рассмотрим функцию нескольких независимых переменных .

Частные производные 1-го порядка данной функции по переменной вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования, при этом все переменные, кроме , рассматриваются как постоянные.

Обозначение: .

Частными производными 2-го порядка функции называются частные производные от ее частных производных 1-го порядка.

Обозначение: .

Пример. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функции .

Решение.Считая y постоянной переменной, получим:

Считая x постоянной, получим: .

Соответственно: , , .

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным . Если независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных .

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения . Например:

1. – обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка;

2. – обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;

3. – обыкновенное дифференциальное уравнение 3-го порядка;

4. – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка;

5. – уравнение в частных производных 1-го порядка;

6. – уравнение в частных производных 2-го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

1.1.1. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка.

Например:

1) при изучении различных видов волн − упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению:

− уравнение распространения волн в стержне;

− уравнение распространения волн в плоской пластине;

− уравнение распространения волн в пространстве,

где а − скорость распространения волн в данной среде;

2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:

− уравнение распространения тепла в стержне;

− уравнение распространения тепла в плоской пластине;

− уравнение распространения тепла в пространстве,

3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона

При отсутствии источников тепла внутри тела данное уравнение переходит в уравнение Лапласа

Приведенные уравнения называют основными уравнениями математической физики . Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.

Функция , удовлетворяющая какому-либо из приведенных уравнений, называется его решением.

1.1.2. Понятие об общем решении уравнения в частных производных

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка: . Его общий интеграл представляет собой некоторое семейство функций, зависящее от n произвольных постоянных . Любое частное решение получается из него, если параметрам придать определенные значения.

Рассмотрим решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Пример 1. Пусть дано уравнение , где .

Решение. Найдем его общий интеграл, т.е. функцию ,удовлетворяющую данному уравнению. Сначала запишем это уравнение в виде: .Поскольку производная по переменной х от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то последняя является некоторой произвольной функцией от у : . Поэтому

Интегрируя произвольную функцию ,получили функцию плюс произвольная функция . Таким образом, общий интеграл уравнения 2-го порядка содержит две произвольные функции.

Пример 2. Решить уравнение , где .

х :

где – произвольная функция.

Пример 3. Решить уравнение , где .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения по у :

где – произвольная функция.

Интегрируем повторно по у полученное равенство:

где – произвольные функции.

Пример 4. Решить уравнение , где .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения сначала по х , а затем по у :

где – произвольные функции.

Замечание. В отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от произвольных постоянных, общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций, количество которых равно порядку уравнения.

Дифференциальное уравнение в частных производных (частные случаи также известны как уравнения математической физики , УМФ ) - дифференциальное уравнение , содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Дифференциальные уравнения в частных производных. Привидение к каноническому виду.

✪ Уравнения математической физики. Шаньков В.В. Весенний семестр. Лекция №1

✪ Методы математической физики. Тихонов Николай Андреевич (Лекция 10)

✪ 8 Дифференциальные уравнения в частных производных Mathcad

✪ Дифференциальные уравнения 1. Вязкое торможение

Субтитры

Введение

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

∂ ∂ y u (x , y) = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}u(x,y)=0\,.}

Задачи доказательств существования и нахождения решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных решаются с использованием теории гладких многообразий , дифференциальной геометрии , коммутативной и гомологической алгебры . Эти методы применяются в физике при изучении лагранжева и гамильтонова формализма, исследовании высших симметрий и законов сохранения .

Классификация

Размерность

Линейность

Однородность

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок

Классификация линейных уравнений второго порядка

Две независимые переменные

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

A ∂ 2 u ∂ x 2 + 2 B ∂ 2 u ∂ x ∂ y + C ∂ 2 u ∂ y 2 + . . . = 0 , {\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,}

где A , B , C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y , а многоточие означает члены, зависящие от x , y , u и частных производных первого порядка: ∂ u / ∂ x {\displaystyle {\partial u}/{\partial x}} и ∂ u / ∂ y {\displaystyle {\partial u}/{\partial y}} . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения :

A x 2 + 2 B x y + C y 2 + ⋯ = 0. {\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы , параболы и гиперболы , в зависимости от знака дискриминанта D = B 2 − A C {\displaystyle D=B^{2}-AC} , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

Более двух независимых переменных

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j (x 1 , ⋯ , x n) ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j + F (x 1 , ⋯ , x n , u , ∂ u ∂ x 1 , ⋯ , ∂ u ∂ x n) = 0 , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\cdots ,x_{n}){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+F\left(x_{1},\cdots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)=0,}

оно может быть классифицировано в заданной точке M 0 (x 1 0 , ⋯ , x n 0) {\displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})} по аналогии с соответствующей квадратичной формой:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j (x 1 0 , ⋯ , x n 0) t i t j . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})t_{i}t_{j}.}

Невырожденным линейным преобразованием

s i = ∑ j = 1 n A i j t j , i = 1 , 2 ⋯ n , det ‖ A i j ‖ ≠ 0 {\displaystyle s_{i}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}t_{j},i=1,2\cdots n,\det \left\|A_{ij}\right\|\neq 0}

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

∑ i = 1 n λ i s i 2 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}s_{i}^{2}.}

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов λ i {\displaystyle \lambda _{i}} в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке M 0 {\displaystyle M_{0}} ) рассматриваемого уравнения:

Гиперболический тип
1. Нормальный гиперболический тип , если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
2. Ультрагиперболический тип , если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
Параболический тип может быть дополнительно классифицирован на:
1. Эллиптически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
2. Гиперболически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
  1. Нормальный гиперболически-параболический тип
  2. Ультрагиперболически-параболический тип
3. Ультрапараболический тип , если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара - Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши - Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение . Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви , ). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n ) для уравнения Лапласа :

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,} u (x , 0) = 0 , {\displaystyle u(x,0)=0,} ∂ u ∂ y (x , 0) = sin ⁡ n x n , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},}

u (x , y) = (s h n y) (sin ⁡ n x) n 2 . {\displaystyle u(x,y)={\frac {(\mathrm {sh} \,ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.}

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно π {\displaystyle \pi } для любого ненулевого значения y . Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной , так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных доказательства существования решений и поиск многообразий всех решений проводятся с использованием теории гладких многообразий , дифференциальной геометрии , коммутативной и гомологической алгебры . Эти методы применяются в физике при изучении лагранжева и гамильтонова формализма, исследовании высших симметрий и законов сохранения .

Примеры

Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне относится к параболическому типу и имеет вид

∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}

U (0 , x) = f (x) {\displaystyle u(0,x)\,=f(x)} ,

где f (x ) - произвольная функция.

Уравнение колебания струны

Уравнение относится к гиперболическому типу. Здесь u (t ,x ) - смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

u (0 , x) = f (x) , {\displaystyle u(0,x)=f(x),} ∂ u ∂ t (0 , x) = g (x) , {\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=g(x),}

Двумерное уравнение Лапласа

Связь с аналитическими функциями

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции f {\displaystyle f} комплексной переменной z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f =u +iv , то условия Коши-Римана утверждают следующее:

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ v ∂ x = − ∂ u ∂ y , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}},}

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 = 0. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.}

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S , а на границе области ∂ S {\displaystyle \partial S} - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие краевые задачи:

Решение уравнений математической физики

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Аналитическое решение

Аналитические решения уравнений математической физики можно получить различными способами. Например:

Используя функцию Грина ;
Используя метод разделения переменных Фурье;
С помощью теории потенциала ;
Используя формулу Кирхгофа .

Эти методы разработаны для различных типов уравнений и в некоторых простых случаях позволяют получить решение в виде некоторой формулы или сходящегося ряда, например для

Введение

Основы теории дифференциальных уравнений в частных производных

1 Основные определения теории уравнений в частных производных

2 Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных

Использование вероятностных методов в решении уравнений в частных производных

1 Общее описание методов Монте-Карло

2 Решение уравнений в частных производных методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона

Заключение

Литература

Введение

Для сложных математических моделей аналитические решения удаётся получить сравнительно редко. Поэтому среди приближённых математических методов основными методами решения задач являются численные. Эти методы позволяют добиться хорошего качественного и количественного описания исследуемого процесса или явления.

Задача Дирихле может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области, гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения. В рамках данной работы проведено рассмотрение решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа и уравнения Пуассона методом Монте-Карло на основе метода сеток.

Применяя метод сеток для решения краевых задач, прежде всего, появляется задача замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями - заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением.

Идея метода сеток восходит еще к Эйлеру . Однако практическое использование метода наталкивалось на серьезные трудности, так как получение достаточно точного решения краевой задачи приводило к системам алгебраических уравнений, на решение которых при ручном счете требовались затраты времени. Положение резко изменилось с появлением быстродействующих электронных вычислительных машин.

Методами Монте-Карло называются численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик. В данной работе приведено два метода решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с использованием методом Монте-Карло, и на основании одного из них приведена программа его реализующая.

Целью данной работы является исследование вероятностных методов решения уравнений в частных производных.

Задачи работы:

изучение основных положений теории дифференциальных уравнений в частных производных;

классификация уравнений в частных производных;

изучение методов решения уравнений в частных производных;

изучение методов Монте-Карло;

применение метода Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.

Объект исследования: дифференциальные уравнения в частных производных.

Предмет исследования: вероятностные методы решения уравнений в частных производных.

Работа состоит из двух глав, введения, заключения и списка литературы. В главе 1 приведены основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных и показано их практическое применение. В главе 2 приведено описание методов Монте-Карло в контексте задач решения уравнений в частных производных.

1. Основы теории дифференциальных уравнений в частных производных

1 Основные определения теории уравнений в частных производных

Теория дифференциальных уравнений - раздел математики, который занимается изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Её результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко - в физике.

Неформально говоря, дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от неё. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и её производными. Такие связи обнаруживаются в самых разных областях знания: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП). Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы .

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Одно из простейших применений дифференциальных уравнений - решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид. Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки .

Пусть - некоторая неизвестная функция и т.д. ее частные производные различного порядка.

Рассмотрим уравнение

связывающие независимые переменные х, у, искомую функцию u(х, у) и ее частные производные различного порядка. Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок уравнения определяется наивысшим порядком частной производной, входящей в это уравнение.

) - дифференциальное уравнение первого порядка.

) - дифференциальное уравнение второго порядка и т.п.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция u(х, у), обращающая его в тождество. Задачи, связанные с решением дифференциального уравнения в частных производных, как правило, более сложные по сравнению с задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений .

Мы знаем, что общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка зависит от n произвольных постоянных С1, С2, …, Сn. Более сложная ситуация складывается при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Например, решением дифференциального уравнения является любая функция т.е. общее решение зависит от бесконечного числа функций, зависящих только от одной переменной

Предмет теории уравнений в частных производных составляет изучение дифференциальных уравнений, описывающих то или иное явление природы, по преимуществу физической. Наш курс будет посвящен по преимуществу уравнениям в частных производных второго порядка.

В связи с этим рассмотрим некоторые физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений в частных производных .

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Первая особенность - это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др .

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например u

Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа :

параболические (пример:) - содержащие первую производную по одной переменной и вторую - по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;

гиперболические (пример:) - содержащие первую производную по одной переменной и вторую - по другой, входящие в уравнение с разными знаками;

эллиптические (пример: 1. ,) - содержащие только вторые производные, причем одного знака.

Некоторые более сложные уравнения нельзя однозначно подогнать под приведенную классификацию, тогда говорят о гибридных типах уравнений.

Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение дифференциального уравнения n-го порядка

определяется неоднозначно. Общее решение зависит от n произвольных постоянных и для однозначной разрешимости необходимо задать так называемые начальные условия

Решение задачи для уравнения (1) с начальными условиями (2) называется задачей Коши и при определенных условиях решение этой задачи существует и единственно .

Более сложная ситуация складывается при рассмотрении дифференциальных уравнений в частных производных. В самом деле: общим решением простейшего уравнения является произвольная функция

Для того, чтобы сделать решение определенным, нужно задать дополнительные условия, например, потребовать чтобы неизвестная функция, а возможно и ее производные принимали заданные значения на некоторых многообразиях. Каждая задача математической физики ставится как задача об отыскании решения некоторого уравнения при определенных дополнительных условиях, которые в большинстве случаев диктуются ее физической постановкой .

1.2 Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных

Рассмотрим некоторые физические задачи, решения которых приводят к уравнениям в частных производных.

Задача 1 (о поперечных колебаниях струны).

Пусть струна длиной l натянута с силой Т0 и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются некоторые отклонения и скорости .

Поставим задачу об определении малых поперечных колебаний точек струны при t>0, если концы струны:

а) жестко закреплены,

б) свободны,

в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.

Решение. Пусть ось ох совпадает с первоначальным положением струны в положении равновесия

Выделим участок струны от А до В и спроектируем все действующие на этот участок силы на ось u. Согласно принципу Даламбера сумма проекций должна равняться нулю.

так как мы рассматриваем малые колебания и - малой величиной пренебрегаем.

Это значит, что удлинение участка струны не происходит и, следовательно, по закону Гука величина натяжения не зависит ни от времени, ни от х.

Проекция силы натяжения

Пусть - непрерывная линейная плотность внешних сил. Тогда на АВ действует вдоль оси u сила

Для нахождения силы инерции воспользуемся выражением где Тогда

Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны.

Если ρ=const и то

Кроме того, искомая функция u(х, у) должна удовлетворять начальным условиям:

Начальное положение струны

Начальный импульс.

Краевые условия:

а) струна закреплена на концах

б) в случае свободных концов должно быть

в) - законы движения концов струны.

Задача 2. Уравнение неразрывности. Задача обтекания.

Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости в которой отсутствуют силы вязкости .

Пусть - вектор скорости движения жидкости, -ее плотность, - интенсивность источников. Выделим в жидкости некоторый объем ω, ограниченный поверхностью S. Изменение массы жидкости внутри ω в единицу времени равно

с другой стороны это изменение должно равняться приращению количества Q1 жидкости за счет источников

минус количество Q2, вытекающей через S

Формула Остроградского-Гаусса,

где - внешняя нормаль к S, таким образом

В силу произвольности ω

Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости.

Рассмотрим теперь задачу обтекания твердого тела Ω с границей S потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имеющей заданную скорость на бесконечности при отсутствии источников. В этом случае и Поэтому: при условии

Пусть u -потенциал скоростей, т.е. тогда

Задача 3. О распространении тепла

Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящего за время ∆t через малую площадку ∆S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой

где - нормаль к ∆S, направленная в сторону передачи тепла, k(x, u) - коэффициент внутренней теплопроводности, u(x, t) - температура тела в точке в момент времени t. Предполагается, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т.е. k(x, u) не зависит от направления площадки .

Выделим внутри тела объем ω, ограниченный S. Согласно закону Фурье, количество тепла, втекающее через S за промежуток , равно

Если - плотность тепловых источников, то количество тепла, образованного за их счет в ω за указанный промежуток времени, равно

Общее количество тепла притекающего в ω за время от t1 до t2 можно посчитать и за счет приращения температуры

где и - теплоемкость и плотность вещества. Тогда

В силу произвольности ω и промежутка времени t1, t2, следует равенство

называемое уравнением теплопроводности. Если (не зависит от температуры), то уравнение (5) становится линейным. Если же тело однородно и уравнение (5) примет вид :

Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса распространения тепла необходимо кроме уравнения, задать начальное распределение температуры

Начальное условие и температурный режим на границе

Граничное условие, (возможны и другие варианты задания граничных условий).

2. Использование вероятностных методов в решении уравнений в частных производных

1 Общее описание методов Монте-Карло

Далеко не всегда удается найти решение дифференциального уравнения в частных производных аналитическим путем. В случаях, не предполагающих нахождения решения уравнения аналитически, используются численные методы.

В рамках данной работы рассматривается группа численных методов, основанная на математическом аппарате теории вероятностей, называемая методами Монте-Карло.

Общепринятого определения методов Монте-Карло пока нет. Назовем методами Монте-Карло численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик. При таком определении приходится к методам Монте-Карло причислить некоторые другие методы, как, например, стохастические приближения или случайный поиск, которые по традиции рассматриваются отдельно. Однако специалисты, занимающиеся этими вопросами, нередко сами называют свои приемы методами Монте-Карло. В то же время в определении подчеркивается что :

а) речь идет о численных методах (и конкурировать они могут с классическими численными методами, а не с аналитическими методами решения задач);

б) решать методами Монте-Карло можно любые математические задачи (а не только задачи вероятностного происхождения, связанные со случайными величинами).

Необходимо сразу же подчеркнуть, что теоретические основы методов Монте-Карло были известны значительно раньше. Более того, фактически такие методы не раз использовались для расчетов в математической статистике. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) методы Монте-Карло не могли стать универсальными численными методами, ибо моделирование случайных величин вручную - весьма трудоемкий процесс .

Развитию методов Монте-Карло способствовало бурное развитие ЭВМ. Алгоритмы Монте-Карло (как правило, обладающие небольшой связностью) сравнительно легко программируются и позволяют рассчитывать многие задачи, недоступные для классических численных методов. Так как совершенствование ЭВМ продолжается, есть все основания ожидать дальнейшего развития методов Монте-Карло и дальнейшего расширения области их применения.

Важнейший прием построения методов Монте-Карло - сведение задачи к расчету математических ожиданий. Более подробно: для того чтобы приближенно вычислить некоторую скалярную величину а, надо придумать такую случайную величину, что; тогда, вычислив независимых значений величины, можно считать, что.

Пример. Требуется оценить объем некоторой ограниченной пространственной фигуры.

Выберем параллелепипед, содержащий, объем которого известен. Выберем случайных точек, равномерно распределенных в, и обозначим через количество точек, попавших в. Если велико, то, очевидно, : , откуда получаем оценку.

В этом примере случайная величина равна, если случайная точка попадает в, и равна нулю, если точка попадает в. Нетрудно проверить, что математическое ожидание, а среднее арифметическое

Легко видеть, что существует бесконечно много случайных величин таких, что. Поэтому теория методов Монте-Карло должна дать ответы на два вопроса :

) как выбрать удобную величину для расчета той или иной задачи;

) как находить значения произвольной случайной величины?

Изучение этих вопросов и должно составить основное содержание практического курса методов Монте-Карло.

Многие методы основаны на расчете математических ожиданий. Существуют методы случайного поиска (кроме простейшего) и стохастических приближений .

Среди методов Монте-Карло можно выделить методы, в которых полностью воспроизводится модель рассчитываемого процесса. Такие методы иногда называют «физическими», хотя автору представляется более удачным другое название этих методов - имитационные. Имитация естественных процессов широко используется в самых различных областях науки, техники, экономики.

Определение. Функция, имеющая непрерывные частные второго порядка в области и удовлетворяющая внутри уравнению Лапласа, называется гармонической функцией :

Простейшим примером гармонической функции двух переменных является функция вида, где (основное решение уравнения Лапласа).

Задача Дирихле в иных терминах может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области, гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения.

Если, то задача Дирихле удовлетворяет уравнению Пуассона Единственность решения задачи Дирихле и непрерывная запись ее от краевых условий (корректность краевой задачи) вытекают из следующих гармонических функций .

Свойство 1 (принцип максимума). Гармоническая в ограниченной области функция, непрерывная в замкнутой области, не может принимать внутри этой области значений больших, чем максимум ее значений на границе непрерывные заданные значения .

Доказательство. Пусть - максимум значений на границе. Допустим, что функция в некоторой точке внутри принимает значение, причем.

Составим вспомогательную функцию

где - диаметр области. Очевидно, имеем

причем при выполняется неравенство

Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения внутри области в некоторой точке, причем в этой точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции :

Из соотношения

вытекает, что по крайней мере одна из производных или положительна внутри. Поэтому функция ни в какой конкретной точке области не может иметь максимума, и, следовательно, приходим к противоречию. Таким образом, .

Аналогично доказывается, что, где - наименьшее значение функции на границе.

Следствие. Пусть функция - гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замкнутой области. В таком случае справедливо равенство, где на, на.

Замечание. Можно доказать более сильное утверждение, что гармоническая в ограниченной и замкнутой области функция, отличная от константы, не принимает внутри наибольшего и наименьшего значений.

Свойство II (единственность решения задачи Дирихле). Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единственное решение, т. е. не существует двух непрерывных гармонических функций в замкнутой ограниченной области, принимающих, на границе одни и те же значения .

Доказательство. Допустим, что две функции и гармонические в области, совпадают всюду на ее границе. Рассмотрим функцию

Очевидно, что на - гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. По свойству I эта функция не может принимать внутри значений больше или меньше нуля, следовательно, внутри и.

Замечание. Из свойства II не следует, что задача Дирихле для ограниченной замкнутой области имеет решение; это свойство лишь утверждает, что если существует решение задачи Дирихле для области, то оно единственно .

Можно доказать, что если область выпуклая, т. е. вместе с двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок, и граница ее действительно имеет решение (теорем Неймана).

Свойство III (корректность задачи Дирихле). Решение задачи Дирихле для замкнутой и ограниченной области непрерывно зависит от граничных данных.

Доказательство. Допустим, что и - решения задачи Дирихле, соответственно принимающее на границе значение и.

Пусть всюду на выполнено неравенство

где - произвольное малое положительное число.

Рассмотрим гармоническую функцию

На границе эта функция принимает значение

Так как на, то по свойству I имеем при, т.е. или.

Таким образом, для задачи Дирихле требование корректности выполнено при.

Пусть на плоскости дана область с кусочно-гладкой границей. В области построим квадратную сетку с шагом:

Мы предполагаем, что сетка состоит из внутренних узлов и граничных узлов первого рода. Граничные узлы сетки образуют ее границу. Грубо говоря, граница представляет собой линейный ряд точек, аппроксимирующий криво-криволинейную границу области с точностью до.

Представим себе частицу, которая совершает равномерное случайное блуждание по узлам сетки (1). А именно, находясь во внутреннем узле сетки, эта частица за один переход с одной и той же вероятностью, равной 1/4, может переместиться в один из четырех соседних узлов: или в (шаг влево), или в (шаг вправо), или в (шаг вниз), или в (шаг вверх), причем каждый такой единичный переход совершенно случаен и не зависит от положения частицы и ее прошлой истории. Будем считать, что блуждание частицы заканчивается, как только эта частица попадет на границу; в этом смысле граница представляет собой «поглощающий экран». Можно доказать, что с вероятностью, равной 1, блуждание точки через конечное число шагов заканчивается на границе .

Если частица начала свое блуждание с фиксированной внутренней точки сетки, то конечная совокупность последовательных положений этой частицы: где и, называется траекторией частицы (с шагами) или историей блуждания.

Равномерное случайное блуждание частицы на плоскости можно организовать с помощью равномерно распределенной последовательности одноразрядных случайных чисел, принимающих значения. Для этого, например, достаточно производить розыгрыш, т.е. случайную выборку из чисел; причем числа 8 и 9 переигрываются.

Случайные числа берутся из готовых таблиц или вырабатываются электронной машиной. Последний способ при работе на счетной машине предпочтительнее, так как он позволяет не загружать сильно память машины .

Пусть в точках границы Г области G определена некоторая функция. Перенесем эти значения на границу сетки. Например, для каждого граничного узла определим ближайшую по горизонтали (или вертикали) точку и положим.

Для краткости введем обозначение.

Пусть - вероятность того, что траектория частицы, вышедшей из узла сетки, закончится в граничном узле. Так как блуждание точки неизбежно заканчивается на границе в первой же точке выхода ее на границу, то

где суммирование распространяется на все точки границы, причем

где - граничный узел.

Составим сумму

где точка пробегает всю границу. Если функцию рассматривать как случайную величину, принимающую значения на границе, то сумма (4) представляет собой математическое ожидание (среднее значение) функции на границе для траекторий, начинающихся в точке («премия за выход на границу» из начальной точки). Частица, начавшая свое случайное блуждание из внутреннего узла, после первого шага с вероятностью, равной 1/4, попадает в один из четырех соседних узлов. Поэтому случайные блуждания, начинающиеся в узле, в зависимости от вида траекторий распадаются на четыре категории новых случайных блужданий :

Отсюда, умножая обе части равенства (5) на граничные значения и суммируя по всем возможным значениям и, на основании формулы (4) получим

Кроме того, в силу формулы (3) имеем

если точка.

Рассмотрим теперь задачу Дирихле об отыскании функции, гармонической области и принимающей на ее границе заданные непрерывные значения. Согласно методу сеток эта задача сводится к нахождению значений искомой функции во внутренних узлах некоторой сетки при условии, что значения в граничных узлах известны и равны. Неизвестные определяются из системы линейных уравнений

Сравнивая формулы (8) с формулами (6), (7), мы усматриваем, что они совпадают с точностью до обозначений. Следовательно, искомые неизвестные можно рассматривать как математические ожидания. Величины допускают экспериментальное определение. Рассмотрим достаточно большое число равномерных случайных блужданий частицы по узлам сетки, исходящих из фиксированного узла и заканчивающихся на границе. Пусть соответствующие точки выхода частицы на границу. Заменяя математическое ожидание эмпирическим математическим ожиданием, будем иметь

Формула (9) дает статистическую оценку величины и может быть применена для приближенного решения задачи Дирихле. Метод решения задач, основанный на использовании случайных величин, получил общее название метода Монте-Карло .

Заметим, что с помощью формулы (9) можно непосредственно найти приближенное значение решения задачи Дирихле в единственной фиксированной точке сетки, не зная решения задачи для остальных точек сетки. Этим обстоятельством метод Монте-Карло для задачи Дирихле резко отличается от обычных стандартных способов решения этой задачи.

Интересно отметить, что вероятность, в силу формулы (4), представляет собой аналог функции Грина для задачи Дирихле в области. Эта величина может быть найдена экспериментально на основании формулы (9), если задать следующие граничные условия :

Построив такую функцию Грина, мы получаем возможность, применяя формулу (9), просто

находить приближенное решение задачи Дирихле для области данной границей при любых граничных значениях.

Недостатком рассмотренного варианта метода Монте-Карло для задачи Дирихле является слабая сходимость по вероятности при эмпирического математического ожидания

к математическому ожиданию. Чтобы устранить это неблагоприятное обстоятельство, используют различные модификации случайных блужданий. Кроме того, при решении задачи полезно учитывать также, что блуждание частицы, начинающееся в точке автоматически является случайным блужданием частицы, начинающимся в любой промежуточной точке траектории этой частицы .

Укажем другой метод Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, не связанный с разностными уравнениями. Пусть задана ограниченная связная область и точка. Определим случайную траекторию следующим образом: положим; далее, если точка известна, то построим окружность произвольного радиуса, расположенную внутри, и на этой окружности выберем случайную точку.

Таким образом, где, и угол равномерно распределен в интервале.

Приведем теорему: если функция удовлетворяет в области уравнению Лапласа

то при каждом и при любых математическое ожидание равно значению в начале траектории .

Доказательство. Придадим более точный смысл утверждению о произвольности радиуса. Будем считать, что задана некоторая плоскость, которая тождественно равна нулю при всех, превосходящих минимальное расстояние от до границы, а также при; случай также допускается; и выбор осуществляется в соответствии с плотностью. Пусть - плотность распределения точки в. Тогда математическое ожидание величины равно

По теореме о среднем значении гармонической функции

Поэтому

При точка и. Применяя индукцию, получим утверждение теоремы.

Построение траекторий рассмотренного типа в трехмерном случае иногда называют блужданием по сферам.

Приведенную выше траекторию можно использовать для приближенного решения задачи Дирихле. Пусть на границе области задана ограниченная функция. Обозначим через искомое решение, удовлетворяющее внутри уравнению (1) и обращающееся в при.

Фиксируем достаточно малую окрестность границы (рис. 3, Приложение D). Чтобы вычислить, будем строить траектории вида до тех пор, пока случайная точка не попадет в. Пусть - ближайшая к точка границы. Можем считать, что значение случайной величины приближенно равно. Построив траекторий такого типа, получим значения, по которым оценивается искомое решение

Замети, что сходимость по вероятности

когда не вытекает из теоремы Хинчина, говорящей о том, что последовательность одинаково распределенных независимых величин, у которых существуют математические ожидания, подчиняется закону больших чисел, так как в сумме (3) фигурируют различных случайных величин, различающихся правилами выбора Можно, однако воспользоваться другой формой закона больших чисел - теоремой Чебышева :

Если величины независимы и существует и, то при

(Доказательство этой теоремы легко получить, применяя к величине неравенство Чебышева -).

В нашем случае все, а дисперсии, где. В самом деле, как известно, максимум и минимум гармонической функции достигаются на границе области, так что при всех.

Такой метод расчета считается более быстрым, чем метод использования разностных уравнений, так как вдали от границы позволяет делать большие шаги. Обычно рекомендуют выбирать максимально возможные радиусы.

Данный метод был предложен Дж. Брауном и обоснован М. Мюллером, который доказал, в частности, что вероятность того, что траектория никогда не попадет в, равна нулю. Дальнейшее развитие метода - организация зависимых испытаний, решение уравнений более общего вида, использование вместо кругов других фигур (для которых известны функции Грина) .

Пусть - решение уравнения Лапласа в единичном квадрате, удовлетворяющее граничным условиям. Вычислить значение.

Выберем в квадрате сетку с шагом и перенумеруем узлы (рис. (4), Приложение Е). Для уравнения Лапласа формула (8) все более упрощается: , так что равно значению в том узле, в котором цепь попадает на границу.

Если случайная цифра окажется 0 или 4, то будем перемещаться в соседний узел справа, если окажется 1 или 5, то будем перемещаться влево, окажется 2 или 6, то перемещаться вверх, если окажется 3 или 7, то перемещаться вниз; значения, равные 8 или 9, опускаем.

В таблице 2 (Приложение F) приведены 16 случайных цепей. В первой строке записаны использованные случайные цифры, а в третьей - сама цепь (номера). Соответствующие этим цепям значения равны. Среднее арифметическое этих величин дает нам приближенное значение решения в точке:

Из эмпирической оценки дисперсии

следует, что вероятная ошибка.

Точное решение рассмотренной задачи, так что, и фактическая ошибка расчета равна 0,08.

Приведенный здесь метод позволяет вычислять решения разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения.

Заключение

В рамках данной работы проведено изучение основных положений теории дифференциальных уравнений в частных производных, показана возможность применения вероятностных методов для их решения. В качестве примера была выбрана задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.

Во многих областях физики, математики и других естественных наук часто используются численные и эмпирические методы для решения прямых и обратных задач. Следует отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении таких задач, поскольку не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато часто удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто законы, которым подчиняются те или иные процессы, записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов.

уравнение производный задача лаплас

Литература

1.Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1964.

2.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Изд-во Государственной литературы, 1959. - 602 с.

3.Бицадзе А.В. Уравнения математической физики: Учеб. М.: Наука, 1982. 336 с.

4.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука, 1977. 222 с.

Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: Учеб. пособие. М.: Наука, 1980. 686 с.

6.Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его реализация в цифровых машинах. - М.: Физматгиз, 1961. - 315 с.

7.Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М., 1967. - 256с.

9.Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э. Численные методы анализа. - М.:Наука, 1967. - 368 с.

10.Канторович Л.В. и Крылов В.И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. - М., 1962. - 256с.

Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных: Учеб.пособие. М.: Наука, 1983. 424 с.

Петровский И.Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1999. - 213с.

14.Сдвижников О.А., Математика на компьютере: Maple8. М.: Солон-Пресс, 2003. -176 с.

Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.: В 4 т. Т.2. М.: Наука, 1981. 655 с.

16.Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. - М.: Наука, 1973. - 312 с.

17.Тихоненко А.В. Компьютерные математические пакеты в курсе «Линейные и нелинейные уравнения физики». Обнинск: ИАТЭ, 2005.- 80 с.

18.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб.Пособие. М.: Наука, 1977. 735 с.

В дальнейшем будем предполагать, что читатель уже знаком с основами теории обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, связывающих неизвестную функцию одной независимой переменной, ее производные и саму независимую переменную. Мы приведем лишь самые основные сведения.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой, содержащей одну произвольную постоянную: . Аналогично общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные: Выделение частного решения может быть произведено путем задания начальных условий, которые для уравнения второго порядка обычно имеют вид Подставляя эти значения в общее решение и в его производную, получим два уравнения для отыскания произвольных постоянных Q и С. Если правая часть уравнения - функция - непрерывна в некоторой окрестности значений и имеет там непрерывные частные производные , то существует единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям (теорема существования и единственности решения).

В дальнейшем особенно часто будут встречаться линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Для однородного уравнения

общее решение есть линейная комбинация двух его частных

решений если только эти решения линейно независимы (т. е. , где k - константа):

Общее решение неоднородного уравнения

есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

В этой книге будут изучаться дифференциальные уравнения с частными производными, т. е. уравнения, содержащие неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные. Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух или трех независимых переменных. Вот примеры таких уравнений - независимые переменные, u - неизвестная функция):

В первой строке написаны уравнения, содержащие частные производные только первого порядка. Такие уравнения называются уравнениями первого порядка. Соответственно уравнения, написанные во второй строчке, являются примерами уравнений второго порядка.

Мы вовсе не ставим перед собой задачу изучать вообще способы решений дифференциальных уравнений с частными производными. Мы будем рассматривать только те конкретные уравнения (да и то далеко не все), которые существенны для физики, механики и техники. Именно эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями математической физики.

Предварительно без доказательств познакомимся с простейшими свойствами уравнений с частными производными; будем считать, что неизвестная функция я зависит от двух переменных х и у.

Возьмем уравнение

Ясно, что искомая функция не зависит от переменной но может быть любой функцией от у.

Действительно, дифференцируя функцию по мы получаем нуль, а это и значит, что равенство (1) соблюдается. Следовательно, решение (2) уравнения (1) содержит одну произвольную функцию . В этом и заключается коренное отличие решения уравнения с частными производными первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (2), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1).

Рассмотрим болёе сложное уравнение

где - заданная функция. Все функции , удовлетворяющие уравнению (3), имеют вид

где -произвольная функция от Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (4) но у. Найденное решение уравнения (3) зависит от одной произвольной функции, т. е. является общим.

Легко проверить, что уравнение имеет общее решение , где - произвольная дифференцируемая функция.

Напомним для этого правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных (см. , п. 116). Если , где - функции переменных то

Аналогичные формулы имеют место и для производных по При этом число промежуточных аргументов , так же как и число независимых переменных может быть любым.

В нашем примере , где . Поэтому

Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество

Точно так же можно проверить, что уравнение имеет общее решение , а уравнение имеет общее решение , где произвольная дифференцируемая функция.

Рассмотрим теперь уравнения второго порядка. Пусть

Положим Тогда уравнение (5) примет вид . Общим решением уравнения будем произвольная функция . Возвращаясь к функции и, получим опять уравнение первого порядка

Согласно (4) его общим решением будет функция

Так как - произвольная функция от у, то и интеграл от нее также является произвольной функцией, которую мы обозначим через . В результате мы получили решение в виде

где - произвольные дифференцируемые функции. Лег ко проверить, что функция (6) действительно удовлетворяет уравнению (5).

До сих пор мы еще не ставили вопроса об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и дополнительным условиям.

Оказывается, что дифференциальные уравнения математической физики, которыми мы будем в дальнейшем заниматься, имеют между собой довольно много общих черт: все они - второго порядка и линейны относительно неизвестной функции и ее частных производных.

Чаще всего все коэффициенты перед функцией и ее производными - постоянные числа. Общий вид таких уравнений для функции и, зависящей от двух переменных х и у, таков:

где А, В, С, D, Е и F - постоянные числа, а правая часть - заданная функция переменных х и у.

Отметим, что характер и поведение решений этого уравнения существенно зависят от его коэффициентов. Об этом мы скажем в заключении, после того как познакомимся с простейшими уравнениями типа (7) и способами их решений 1).

Главная » Обучение за рубежом » Примеры решения уравнений с частными производными. УМФ