Свойства действий с рациональными числами. Свойства действий с рациональными числами — Гипермаркет знаний

Открытый урок по математике в 6 «ф» классе.

Тема: Действия с рациональными числами. (Урок одного числа)

Цель: закрепить умения и навыки в действиях с положительными и отрицательными числами. Подготовка к контрольной работе.

Задачи:

Повторить понятия положительных и отрицательных чисел; закрепить навыки выполнения действий с положительными и отрицательными числами.

Способствовать воспитанию интереса к предмету через нетрадиционную форму проведения урока.
Развивать логическую смекалку, творческое мышление.

Тип урока: урок повторения и закрепления знаний учащихся с использованием ИТ.

Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная, парная, мозговой штурм.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация PowerPoint (прилагается), набор индивидуальных карточек.

Ход урока

Организационный момент.

Тему урока и число записываем в тетрадь. Почему тема записана так необычно? (Действия с рацион альными числа-ми.)

Разминка: на улице темно, кажется ночь, а пора просыпаться и собираться в школу. Чтоб не получилось как в поговорке: Поднять подняли, а разбудить забыли. Я на всякий случай решила вас разбудить…

Зарядка: Доброе утро: Я задаю вопрос ученику, если отвечает-сидится, нет может переадресовать другому, тому кто еще не сидит. Ответил правильно, называет кому следующий вопрос. (Мозговой штурм)

1) наименьшее натуральное число (1)

2) результат умножения (Произведение)

3) Число, противоположное 4?

4) Отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром (Радиус)

5) Сотая часть числа (Процент)

6) инструмент для измерения углов (Транспортир)

7) Можно ли при делении чисел получить 0 (да)

8) что есть у растений и уравнения? (Корень)

9) чему равно 10² ? (100)

10) числа, которые применяют при счете предметов?

12) что тяжелее 1 кг ваты или 1кг железа?

13) расстояние от начала отсчета до числа на координатной прямой (модуль)

14) сумма двух противоположных чисел (0)

15) 2³ (8)

16) можно ли делить на нуль?

17) модуль – 9 (9)

18) результат деления (частное)

19) Какое число получается при умножении двух отрицательных чисел (положительное)

20) произведение взаимообратных чисел (1)

21) Числа со знаком «-» называют (отрицательные)

22) результат сложения (сумма)

23) Число, показывающее положение точки на координатной прямой (координата)

24) Числа со знаком «+» называют (положительные)

25) Натуральные числа, им противоположные и ноль- это (целые)

26) Какое число не является ни положительным, ни отрицательным. (ноль)

Сегодня на уроке мы с вами повторим, обобщим и систематизируем знания, полученные вами на предыдущих занятиях. Подготовимся к контрольной работе.

А поможет нам в этом одно очень интересное число. Попробуйте догадаться какое?

Подсказки:

Правильно – это число 30.

Как вы думаете, почему именно это число? (Наш класс -30 человек)

Я думаю, что в жизни каждого из вас с числом 30 связано какое-то событие. У меня например - это дата свадьбы. А у вас? (ответы учащихся)

Устная работа.

Ответим на несколько вопросов.

Скажите пожалуйста что мы знаем о числе 30?

{положительное, целое, четное, составное}

А где расположено это число на координатной прямой?

{Это число на координатной прямой расположено слева от нуля}

Назовите два целых соседних с данным числа.

{29 и 31}

А какое число будет противоположно данному?

{Число -30}

Чему равен модуль данного числа?

{Модуль данного числа равен 30}

Число, обратное данному?

{ }

Число, симметрично числу 30, относительно 0?

{ }

Кроме этого в математике с числом 30 связано еще несколько интересных фактов:

Ну а мы с вами продолжим

Задания на повторение пройденного материала.

Изобразим фигуру на координатной плоскости:

(-5;3); (-4;4); (-2;4);(-1;3);(-1;1);(-3;0)(-1;-1);(-1;-4);(-2;-5);(-4;-5);(-5;-4)
(1;3);(2;4);(4;4);(5;3);(5;-4);(4;-5);(2;-5);(1;-4);(1;3).

Что же означает это число в мире чисел или духовной нумерологии:

Число 30 состоит из двух цифр 3 и 0. Поэтому чтобы по-настоящему понять значение числа 30 необходимо знать главный смысл этих чисел. Основной смысл тройки - это Любовь во всех её проявлениях, начиная от самых "низменных", физиологических, и заканчивая самыми "высокими", духовно-интуитивными.

Значение нуля в духовной нумерологии - покой, успокоенность, умиротворённость. Поэтому тридцать с языка чисел переводится как "успокоенность в любви" или "успокоение в любви", или "любовь, исчерпавшая себя". Выбор формулировки зависит от целого ряда субъективных и объективных факторов в жизни личности.

значение числа 30

Число 30 косвенно создаёт предпосылки для успешности во всём. Число 30 не связано напрямую с получением прибыли, с материальным процветанием и карьерой. Но(!) косвенно это число может способствовать и прибыли, и карьере, и вообще ВСЕМУ!

Всё же главное, чему способствует число 30 - это любви. Число 30 не любит резких движений, горячих слов и громких клятв. Число 30 просто наполняет всех, кто с ним соприкасается, ЛЮБОВЬЮ или ПОКОЕМ!

В качестве даты число 30 заканчивает собой значительную часть месяцев в году.

30-е число календаря идеально подходит для подведения итогов. Пусть даже, в крайнем случае, коммерческих итогов, если никаких других вы подводить в принципе не собираетесь. Главное 30-го числа ничего не начинать!

Люди, родившиеся 30-го числа, миролюбивы, но очень сильны. Они спокойны и основательны. Им нужен конкретный итог. Итог всего: итог любви, коммерции или, скажем, спектакля.

Люди числа 30 не любят туманных фраз. Им нужно чёткое и ясное "да" или "нет".

Практические задания. (физминутка + практическое применение)

У каждого на столе число. Ваша задача: найти в классе пару, так чтобы сумма ваших чисел была равна 30.

(Числа: -30 и 60;-5и 35; -2,72 и 32,72; 2 и 27 ; -0,25 и 30 ; и 29,5; -6 и 36; I-2,5I и 27,5; I- I и 21; - и 30,5; 5 и 24,25; 38,6 и -8 ; -120 и 150.)

Каждая пара как только нашли друг друга берут с доски задание (С самым наименьшим номером) и выполняют его: (цепочка вычислений). Цепочка проектируется на экран. Пара, закончившая раньше и правильно, получает «5».

Интересные факты о числе 30:

В библии

Возраст, в котором Иисус был крещен.
Иуда получил 30 серебряников за предательство Иисуса

В литературе

В сказках: в тридесятом царстве, в тридесятом государстве…
В сказке Пушкина «О золотой рыбке» старик со старухой прожили 30 лет и 3 года.
В романе Достоевского «Преступление и наказание» число 30 приурочено к повествованию о различных денежных проблемах героев. 30 рублей приносит Соня, 30 рублей обещает выслать мать Раскольникову, за 30 тысяч выкуплен Свидригайлов.
19 октября 1811 года Пушкин был принят в число 30 воспитанников Царскосельского лицея.

В естествознании

В таблице Менделеева под номером 30 расположен хрупкий металл – цинк.
Количество дней в апреле , июне , сентябре , ноябре
При температуре ниже тридцати градусов отменяются занятия для 1-9 классов.
30 февраля . Три раза в истории в некоторых странах в феврале было 30 дней.

Остальные в это время работают с таблицей чисел.

Связь чисел: синих и красных. По вариантам найти знак действия (один) благодаря которому результат вычислений равен 30. Первый вариант-синие, второй – красные. (синие произведение чисел равно 30; красные сумма чисел равна 30).


		0,25

Расставить числа в порядке возрастания.

А теперь проверим, что у вас получилось.

{Синие:-2/3; -1/3; 0,25; 5/7;21;36

Красные: }

Подведем итог.

Тест

Какому числовому промежутку принадлежит число 30.

А) C) (25,7;30)

2. Чему равна абсцисса точки, если сумма координат точки равна 30,

А ордината в 5 раз больше абсциссы.

5 B) 6 C) 4

Найти значение выражения: 2,7: (-0,3)+(-7,63+9,24) – 11,305*2

– 30 B) 30 C) 0,3

20 B) 75 C) 12

Ключ к тесту: BACAC. (Оценки за правильность решения теста). Слайд 2

Цели и задачи урока: закрепить умения и навыки в действиях с положительными и отрицательными числами. Отработать построение точек по ее координатам. Подготовка к контрольной работе. Закрепление мета предметных связей.

ЧИСЛО ЗАГАДКА Чему равна половина часа? Чему равны 2/3 урока? Сколько дней в сентябре?

Что мы знаем о числе 30 Что вы скажите о числе 30? положительное, целое, четное, составное А где расположено это число на координатной прямой? справа от нуля Назовите два целых соседних с данным числа. 29 и 31 А какое число будет противоположно данному? -30 Чему равен модуль данного числа? 30 Число, обратное данному? 1/30 Число, симметрично числу 30, относительно 0 ? -30

Факты из математики 10 30 называется нониллион. 2 30 = 1 073 741 824, двоичная приставка: гиби (Ги). Число рёбер икосаэдра и додекаэдра. Сумма квадратов первых четырёх чисел. (1²+2²+3²+4²). Минимальное число, являющееся произведением трёх различных простых чисел. (2*3*5) Три идущие подряд одинаковые цифры в римской системе счисления (XXX).

Координатная плоскость Изобразите фигуру на координатной плоскости: (-5;3); (-4;4); (-2;4); (- 1;3);(-1;1);(-3;0) (- 1;-1);(-1;-4);(-2;-5);(-4;-5);(-5;-4) (1;3);(2;4);(4;4);(5;3);(5;-4);(4;-5);(2;-5);(1;-4);(1;3).

Значение числа 30 (духовная нумерология) Число 30 состоит из двух цифр 3 и 0. Основной смысл 3 - это Любовь. 0 – это покой, успокоенность, умиротворённость. 30 - переводится как "успокоенность в любви" или "успокоение в любви", или "любовь, исчерпавшая себя ". Число 30 косвенно создаёт предпосылки для успешности во всём. . Число 30 наполняет всех, кто с ним соприкасается, ЛЮБОВЬЮ или ПОКОЕМ! 30-е число календаря идеально подходит для подведения итогов. Люди, родившиеся 30-го числа, миролюбивы, но очень сильны.

Найди пару -30 и 60 ; - 5и 35; - 2,72 и 32,72; 2 и 27 ; - 0,25 и 30 ; и 29,5 ; -6 и 36; I - I и 21 ; - и 30,5; 5 и 24,25; 38,6 и -8 ; - 120 и 150 . I -2,5 I и 27,5;

Цепочка вычислений -27,5 +(-7,24)= –(-35,96)= *2,3= +(- 3,906)= : = *(-5) = : (-0,25) = + 58,4 = * 3 = : 8 = *(- 8,6)= –(- 8,56)= + 11,12 =

Интересные факты о числе 30: В литературе В сказках: в тридесятом царстве, в тридесятом государстве… В сказке Пушкина «О золотой рыбке» старик со старухой прожили 30 лет и 3 года. В романе Достоевского «Преступление и наказание» число 30 приурочено к повествованию о различных денежных проблемах героев. 30 рублей приносит Соня, 30 рублей обещает выслать мать Раскольникову, за 30 тысяч выкуплен Свидригайлов. 19 октября 1811 года Пушкин был принят в число 30 воспитанников Царскосельского лицея. В библии Возраст, в котором Иисус был крещен. Иуда получил 30 серебряников за предательство Иисуса В естествознании В таблице Менделеева под номером 30 – цинк. Количество дней в апреле, июне, сентябре, ноябре При температуре ниже тридцати градусов отменяются занятия для 1-9 классов. 30 февраля. Три раза в истории в некоторых странах в феврале было 30 дней.

Связь чисел - 2,5 0,1 9,6 21 0,25 36 8,9 - 2,5 0,1 9,6 21 0,25 36 8,9 Синие:-2/3; -1/3; 0,25; 5/7;21;36 Красные:

Тест 1. Какому числовому промежутку принадлежит число 30. А) C) (25,7;30) 2 . Чему равна абсцисса точки, если сумма координат точки равна 30, а ордината в 5 раз больше абсциссы. А)5 B) 6 C) 4 3. На какое число надо разделить (-2 чтобы частное было равно 30. А) 13 B) - 66 C) – 13,5 4. Найти значение выражения: 2,7: (-0,3)+(-7,63+9,24) – 11,305*2 А)– 30 B) 30 C) 0 ,3 5.Сколько раз содержится в 30. А) 20 B) 75 C) 12

Рисунок. Арифметические действия над рациональными числами.

Текст:

Правила при действиях с рациональными числами:
. при сложении чисел с одинаковыми знаками необходимо сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак;
. при сложении двух чисел с разными знаками из числа с большим модулем вычитают число с меньшим модулем и перед полученной разностью ставят знак числа, имеющего больший модуль;
. при вычитании одного числа из другого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - b = а + (-b)
. при умножении двух чисел с одинаковыми знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак плюс;
. при умножении двух чисел с разными знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак минус;
. при делении чисел с одинаковыми знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак плюс;
. при делении чисел с разными знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак минус;
. при делении и умножении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль:
. на нуль делить нельзя.

Бадамшинская средняя школа №2

Методическая разработка

по математике
в 6 классе

«Действия с рациональными числами»

подготовила

учитель математики

Бабенко Лариса Григорьевна

с. Бадамша
2014

Тема урока: « Действия с рациональными числами ».

Тип урока :

Урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока:

образовательные:

Обобщить и систематизировать знания учащихся о правилах действий над положительными и отрицательными числами;

Закрепить умение применять правила в процессе выполнения упражнений;

Формировать навыки самостоятельной работы;

развивающие:

Развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки; - развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач; - расширение кругозора;

воспитывающие:

Воспитание познавательного интереса к предмету.

Оборудование:

Листы с текстами задач, заданий для каждого ученика;

Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/

Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С. И. Щварцбурд. – М., 2010.

План урока:

Организационный момент.

Работа устно

Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.

Решение заданий по учебнику

Выполнение теста

Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания

Рефлексия

Ход урока

Организационный момент.

Приветствие учителя и учащихся.

Сообщение темы урока, плана работы на уроке.

Сегодня у нас необычный урок. На этом уроке мы вспомним все правила действий с рациональными числами и умения выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Девизом нашего урока будет китайская притча:

«Скажи мне - и я забуду;

Покажи мне – и я запомню;

Дай сделать – и я пойму»

Я хочу вас пригласить в путешествие.

Среди пространства, где ясно виден восход солнца, тянулась узкая, необитаемая страна – числовая прямая. Неведомо где она начиналась и неведомо где она заканчивалась. И первыми, кто заселил эту страну, были натуральные числа. Какие числа называются натуральными и как они обозначаются?

Ответ:

Числа 1, 2, 3, 4,…..использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными ( N ).

Устный счет

88-19 72:8 200-60

Ответы: 134; 61; 2180.

Их было бесконечно много, но и страна была хоть и небольшой в ширину, зато бесконечной в длину, так что поместились все от единицы до бесконечности и образовали первое государство множество натуральных чисел.

Работа над задачей.

Страна была необычайно красивой. Великолепные сады располагались на всей ее территории. Это вишневые, яблочные, персиковые. В один из которых мы сейчас заглянем.

На вишне каждые три дня становится на 20 процентов больше спелых вишенок. Сколько спелых плодов будет на этой вишне через 9 дней, если в начале наблюдения на ней было 250 спелых вишенок?

Ответ: 432 спелых плода будет на этой вишне через 9 дней(300;360;432).

Самостоятельная работа.

На территории первого государства стали поселяться какие то новые числа и эти числа, вместе с натуральными, образовали новое государство, узнаем какое, решив задание.

На столах у учеников два листа:

1. Вычислите:

1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4х(-15)

1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12

1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6х1/3

1)-12х(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)

Задание: соедините последовательно не отрывая руки все натуральные числа и назовите получившуюся букву.

Ответы к тесту:

5 68 15 60

72 6 20 16

Вопрос: Что означает этот символ? Какие числа называются целыми?

Ответы:1) Слева, от территории первого государства поселилось число 0, левее его -1, еще левее -2 и т.д. до бесконечности. Эти числа образовали вместе с натуральными числами новое расширенное государство множество целых чисел.

2) Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами ( Z ).

Повторение изученного .

1) Следующая страничка нашей сказки заколдована. Расколдуем ее, исправляя ошибки.

27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0

63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124

50 · 8 27 -18: (-2)

Ответы:

-27 · 4 27 0 · (-27) = 0

-50 · 8 4 -36: 6

2) Продолжаем слушать сказку.

На свободных местах числовой прямой к ним подселялись дроби 2/5; −4/5; 3,6; −2,2;… Дроби вместе с первопоселенцами образовали очередное расширенное государство множество рациональных чисел. (Q )

1)Какие числа называются рациональными?

2)Является ли любое целое число, десятичная дробь рациональным числом?

3)Покажите, что любое целое число, любая десятичная дробь является рациональным числом.

Задание на доске: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .

Ответы:

1)Число, которое можно записать в виде отношения , где а – целое число, а п – натуральное число, называют рациональным числом .

2) Да.

3) .

Вам известны теперь целые и дробные, положительные и отрицательные числа, да ещё – число нуль. Все эти числа называют рациональными , что в переводе на русский язык значит «подвластные уму».

Рациональные числа

положительные нуль отрицательные

целые дробные целые дробные

Чтобы в дальнейшем успешно учиться математике (и не только математике), надо хорошо знать правила арифметических действий с рациональными числами, в том числе и правила знаков. А они такие разные! Запутаться недолго.

Физкультминутка.

Динамическая пауза.

Учитель: Любая работа требует перерыва. Отдохнем!

Выполним восстановительные упражнения:

1)Раз, два, три, четыре, пять -

Раз! Подняться, подтянуться,

Два! Согнуться, разогнуться,

Три! В ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре - руки шире.

Пять - руками помахать. Шесть - за парту тихо сесть.

(Дети выполняют движения за учителем по содержанию текста.)

2) Быстро поморгайте, закройте глаза и посидите так, считая до пяти. Повторите 5 раз.

3) Крепко зажмурьте глаза, досчитайте до трех, откройте их и посмотрите вдаль, считая до пяти. Повторите 5 раз.

Историческая страничка.

В жизни, как и в сказке, люди « открывали» рациональные числа постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Сначала возникли только числа 1 и 2. Слова «солист», «солнце», «солидарность» происходят от латинского «солюс» (один). Во многих племенах не было других числительных. Вместо «3» они говорили «один-два», вместо «4»- «два-два». И так до шести. А затем шло «много». С дробями люди столкнулись при разделе добычи, при измерении величин. Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввел в 1585 году голландский математик.

Работа над уравнениями

Фамилию математика узнаете, решив уравнения, и по координатной прямой найдя букву соответствующую данной координате.

1) -2,5 + х = 3,5 2) -0,3 · х = 0,6 3) у – 3,4= -7,4

4) – 0,8: х = -0,4 5)а · (-8) =0 6) m + (- )=

Е А Т М И О В Р Н У С

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Ответы:

6 (С) 4)2 (В)

-2 (Т) 5) 0 (И)

-4(Е) 6)4 (Н)

СТЕВИН – голландский математик и инженер (Симон Стевин)

Историческая страничка.

Учитель:

Не зная прошлого в развитии науки, нельзя понять её настоящее. Выполнять действия с отрицательными числами люди научились еще до нашей эры. Индийские математики представляли себе положительные числа как «имущества», а отрицательные числа как «долги». Вот как индийский математик Брахмагупта (VII в.) излагал некоторые правила выполнения действий с положительными и отрицательными числами:

«Сумма двух имуществ есть имущество»,

«Сумма двух долгов есть долг»,

«Сумма имущества и долга равна их разности»,

«Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество», «Произведение имущества и долга есть долг».

Ребята, переведите, пожалуйста, древнеиндийские правила на современный язык.

Сообщение учителя:

Как нет на свете без солнца тепла,

Без снега зимы и без листьев цветов,

Так нет в математике действий без знаков!

Ребятам предлагается отгадать, какой знак действия пропущен.

Задание. Вставьте пропущенный знак.

− 1,3 2,8 = 1,5

− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9

Ответы: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :

Самостоятельная работа (на листе записывают ответы к заданиям):

Сравнить числа

найти их модули

сравнить с нулем

найти их сумму

найти их разность

найти произведение

найти частное

написать числа, противоположные им

найти расстояние между этими числами

10) сколько целых чисел расположено между ними

11) найти сумму всех целых чисел, расположенных между ними.

Критерии оценок: решено все верно – «5»

1-2 ошибки - «4»

3-4 ошибки - «3»

более 4 ошибок - «2»

Индивидуальная работа по карточкам (дополнительно).

Карточка 1. Решите уравнение: 8,4 – (х – 3,6)=18

Карточка 2. Решите уравнение: -0,2х · (-4) = -0,8

Карточка 3. Решите уравнение: =

Ответы к карточкам :

1) 6; 2) -1; 3) 4/15.

Игра «Экзамен» .

Жители страны жили весело, играли в игры, решали задачи, уравнения и предлагают нам поиграть с целью подведения итогов.

Учащиеся подходят к доске берут карточку и отвечают на вопрос, записанный с обратной стороны.

Вопросы:

1. Какое из двух отрицательных чисел считают большим?

2.Сформулируйте правило деления отрицательных чисел.

3.Сформулируйте правило умножения отрицательных чисел.

4. Сформулируйте правило умножения чисел, имеющих разные знаки.

5. Сформулируйте правило деления чисел, имеющих разные знаки.

6.Сформулируйте правило сложения отрицательных чисел.

7. Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками.

8.Как найти длину отрезка на координатной прямой?

9.Какие числа называются целыми?

10. Какие числа называются рациональными?

Подведение итогов.

Учитель: Сегодня домашнее задание будет творческим:

Подготовить сообщение «Положительные и отрицательные числа вокруг нас» или сочинить сказку.

« Спасибо за урок!!!»

В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.

Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби , где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.

В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа .

Навигация по уроку:

Пример 1. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:

Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа . Поэтому мы из вычли . Получили ответ . Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .

Некоторые примитивные действия, такие как: заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:

Пример 2. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами и является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.

Пример 3. Найти значение выражения:

В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Если испытываете трудности, обязательно повторите урок .

После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Вычислим данное выражение в следующем : слóжим рациональные числа и , затем из полученного результата вычтем рациональное число .

Первое действие:

Второе действие:

Пример 5 . Найти значение выражения:

Представим целое число −1 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Получили ответ .

Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.

Итак, вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно :

Вычислим целые части:

(−1) + (+2) = 1

В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:

Полученное выражение . Для этого запишем единицу и дробь вместе:

Запишем решение этим способом покороче:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 7. Найти значение выражение

Представим целое число −5 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Таким образом, значение выражения равно .

Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:

Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Вычислим целые части:

В главном выражении вместо запишем полученное число −7

Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь вместе, образуя окончательный ответ:

Запишем это решение покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Таким образом, значение выражения равно

Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные и

Запишем это решение покороче:

Пример 9. Найти выражения выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе своим знаком. Рациональное число в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Таким образом, значение выражения равно

Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.

В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:

Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.

Пример 10. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением:

В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:

Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:

Пример 11. Найти значение выражения

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Пример 12. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно , в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.

Сначала вычислим выражение , затем выражение Полученные результаты слóжим.

Первое действие:

Второе действие:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 13. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Таким образом, значение выражения равно

Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:

(−3,2) + (+4,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих десятичных дробей до их вычисления:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2

Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8

Этот пример можно записать покороче:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31

Этот пример можно записать покороче:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:

(−4,9) − (+5,9)

Заменим вычитание сложением:

(−4,9) + (−5,9)

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3

Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками

(+7) − (+9,3)

Заменим вычитание сложением

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3

Запишем решение этого примера покороче:

7 − 9,3 = −2,3

Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)

Заменим вычитание сложением:

−0,25 + (+1,2)

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Запишем решение этого примера покороче:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)

Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5

Первое действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второе действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.

Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:

Первое действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второе действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Третье действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.

Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:

Первое действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второе действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Третье действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.

Пример 24. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения:

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с применением компьютерных технологий.

Цели урока:

Образовательные :
- совершенствовать навыки решения примеров и уравнений по теме «Свойства действий с рациональными числами»;
- закрепить умения выполнять арифметические действия над рациональными числами;
- проверить умение использовать свойства арифметических действий для упрощения выражений с рациональными числами;
- обобщить и систематизировать теоретический материал.
Развивающие :
- развивать навыки устного счёта;
- развивать логическое мышление;
- формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
- развивать математическую речь учащихся в процессе выполнения устной работы по воспроизведению теоретического материала;
- расширить кругозор учащихся.
Воспитательные :
- воспитывать умение работать с имеющейся информацией;
- воспитывать уважение к предмету;
- воспитывать умение слушать своего товарища, чувство взаимопомощи и взаимоподдержки;
- способствовать воспитанию самоконтроля и взаимоконтроля учащихся.

Оборудование и наглядность: компьютер, мультимедийный проектор, экран, интерактивная презентация, сигнальные карточки для устного счета, цветные мелки.

Структура урока:

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Сообщение темы и целей урока

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение учащимся целей и плана урока.

– Тема нашего урока: «Свойства действий с рациональными числами», а девиз урока я прошу вас прочитать хором:

Да, путь познания не гладок.
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!

И сегодня мы с вами на уроке дружно и активно создадим математическую газету. Я – буду главным редактором, а вы – корректорами. Как вы понимаете значение этого слова?
Чтобы проверить других, нам необходимо систематизировать свои знания по теме «Свойства действий с рациональными числами».

А газета наша называется «Рациональные числа». А в переводе на татарский язык?
Я слышала, что вы хорошо знаете и английский язык, а как англичане назовут эту газету?
Представляю вам макет газеты, которая состоит из следующих рубрик: чтение хором: «Спрашивают – отвечаем », «Новости дня », «Аукцион проектов », «Актуальный репортаж », «А знаете ли вы…?» .

III. Актуализация опорных знаний

Устная работа:

В первой рубрике «Спрашивают – отвечаем» нам нужно проверить правильность информации, которую нам прислали в письмах наши корреспонденты. Посмотрите внимательно и скажите, какие правила нам нужно вспомнить, чтобы проверить эту информацию.

1.Правило сложения отрицательных чисел:

«Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули, 2) поставить перед полученным числом знак минус».

2. Правило деления чисел с разными знаками:

«При делении чисел с разными знаками, надо: 1) разделить модуль делимого на модуль делителя, 2) поставить перед полученным числом знак минус».

3. Правило умножения двух отрицательных чисел:

«Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули».

4. Правило умножения чисел с разными знаками:

«Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак минус».

5. Правило деления отрицательного числа на отрицательное число:

«Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное число, надо разделить модуль делимого на модуль делителя».

6. Правило сложения чисел с разными знаками:

«Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший, 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)

– Молодцы, хорошо справились.

IV. Закрепление пройденного материала

– А сейчас мы переходим к рубрике «Новости дня ». Чтобы заполнить эту рубрику, нам необходимо систематизировать знания о числах.
– Какие вы знаете числа? (Натуральные, дробные, рациональные)
– А какие числа относятся к рациональным? (Положительные, отрицательные и 0)
– А какие свойства рациональных чисел вы знаете? (Переместительное, сочетательное и распределительное, умножение на 1, умножение на 0)
– А теперь перейдем к письменной работе. Открыли тетради, записали число, классная работа, тема «Свойства действий с рациональными числами».
Используя эти свойства, упростим выражения:

А) х + 32 – 16 = х + 16
Б) – х – 18 – 23 = – х – 41
В) – 1,5 + х – 20 = – 21,5 + х
Г) 12 – 26 + х = х – 14
Д) 1,7 + 3,6 – х = 5,3 – х
Е) – х + а + 6,1 – а + 2,8 – 8,8 = – х + 0,1

– А следующие примеры требуют от нас еще более рационального решения с объяснением.

– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961

12.04.1961 – Вам о чем-нибудь говорят полученные ответы?
50 лет назад 12 апреля 1961 года Юрий Гагарин полетел в космос. Город Заинск тоже имеет свою космическую историю: 9 марта 1961 года спускаемый аппарат №1 космического корабля «ВОСТОК-4» совершил мягкую посадку в районе села Старый Токмак Заинского района с манекеном человека, собакой и другими мелкими животными на борту. И в честь этого события в нашем районе поставят памятник. Сейчас в городе работает конкурсная комиссия. В конкурсе участвуют 3 проекта, они перед вами на экране. А сейчас мы с вами проведем аукцион проектов.
Я прошу проголосовать за понравившийся вам проект. Ваш голос может оказаться решающим.

V. Физкультминутка

– Свое мнение вы выражаете аплодисментами и топаньем. Давайте прорепетируем! Три хлопка и три притопа.
– Еще раз попробуем. Итак, голосование начинается:

– Отдаем свои голоса за Макет №1
– Отдаем свои голоса за Макет №2
– Отдаем свои голоса за Макет №3
– А теперь за все макеты вместе.
– Победу одержал Макет № ... Спасибо, я записала ваши голоса (поднимает сотовый телефон и показывает детям) и передам в счетную комиссию.
– Молодцы, спасибо. А впереди не менее важный – Актуальный репортаж.

VI. Подготовка к ГИА

В рубрику «Актуальный репортаж» пришло письмо, где ученик просит помочь ему в решении заданий к итоговому экзамену в 9 классе. Нам нужно каждому самостоятельно прорешать задания, тесты <Приложение 1 > у вас на столах:

1. Решить уравнения:

а) (х + 3)(х – 6) = 0

1) х = 3, х = – 6
2) х = – 3, х = – 6
3) х = – 3, х = 6

Главная » Обучение за рубежом » Свойства действий с рациональными числами. Свойства действий с рациональными числами — Гипермаркет знаний