Пределы монотонных функций. Свойства функций — Гипермаркет знаний Что такое ограниченная функция

Так как указанные площади соответственно равны

S Δ OAC =0,5∙OC ∙OA ∙sinα= 0,5sinα,S сект. OAC = 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α,S Δ OBC =0,5∙OC ∙BC= 0,5tgα.

Следовательно,

sin α < α < tg α.

Разделим все члены неравенства на sin α > 0: .

Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами Примеры.

11.Предел и связанные с ним пределы.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1 ∞ и выглядит следующим образом

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу)

Примеры.

1. Функция f(x) =(x -1) 2 является бесконечно малой при x →1, так как (см. рис.).

2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x →0.

3. f(x) = ln (1+x )– бесконечно малая при x →0.

4. f(x) = 1/x – бесконечно малая при x →∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство .

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α| . Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|< ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .

2. Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α , то |α(x)|< ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x) , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε> 0 найдется δ> 0, такое, что для x , удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ , выполняется|f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε> 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ 1 > 0, что при |x – a|< δ 1 имеем |α(x)|< ε/ 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ 2 > 0, что при |x – a|< δ 2 имеем| β(x)|< ε/ 2.

Возьмем δ=min{ δ 1 , δ 2 } .Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/ 2 и | β(x)|< ε/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,

т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞ ) есть бесконечно малая функция.

Доказательство . Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a , то для произвольного ε> 0 найдется окрестность точки a , в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M . Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M = ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то

Следствие 2. Если и c= const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x) , предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство . Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

Примеры.

1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x 2 + 1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞ , т.е. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

3. , так как функции и - бесконечно малые при x→+∞ , то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0

13.Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые.

Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают . И, наконец, если не существует, то бесконечно малые функции и несравнимы.

ПРИМЕР 2. Сравнение бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции и называютсяэквивалентными , обозначают ~ .

Локально эквивалентные функции :

При если

Некоторые эквивалентности (при ):

Односторонние пределы.

До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a , слева или справа от a . Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→a , оставаясь с одной стороны от а , слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a , то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.

Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a

Аналогично, если x→a и принимает значения большие a , то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→a справа , если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а ), что для всех выполняется неравенство .

Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а .

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=f(x) , определенную на отрезке следующим образом

Найдем пределы функции f(x) при x→ 3. Очевидно, ,а

Другими словами, для любого сколь угодно малого числа эпсилон, существует такое число дельта, зависящее от эпсилон, что из того, что для любых иксов удовлетворяющих неравенству следует, что отличия значений функции в данных точках будет сколь угодно мало.

Критерий непрерывности функции в точке :

Функция будет непрерывна в точке A тогда и только тогда, когда она будет непрерывна в точке A и справа и слева, т.е чтобы в точке A существовали два односторонних предела, они были равны между собой и равнялись значению функции в точке A.

Определение 2 : Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.

Производная функции в точке

Пусть дана определена в окрестности . Рассмотрим

Если этот предел существует, то он называется производной функции f в точке .

Производная функции – предел отн6ошений приращения функции к приращению аргумента, при приращении аргумента .

Операция вычисления или нахождения производной в точке называется дифференцированием .

Правила дифференцирования.

Производной функции f(x) в точке х=х 0 называется отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.Нахождение производной называется дифференцированием . Вычисление производной функции производится по общему правилу дифференцирования: Обозначим f(x) = u, g(x) = v - функции, дифференцируемые в точке х . Основные правила дифференцирования 1) (производная суммы равна сумме производных) 2) (отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу) 3) Производная частного: , если g  0 4) Производная сложной функции: 5) Если функция задана параметрически: , то

Примеры.

1. y = x a – степенная функция с произвольным показателем.

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2 у -х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у".

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример:

Найти производную функции у, заданную уравнением х 3 +у 3 -3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х 3 +у 3 -3ху=0. Из полученного соотношения

3х 2 +3у 2 · у"-3(1· у+х· у")=0

следует, что у 2 у"-ху"=у-х 2 , т. е. у"=(у-х 2)/(у 2 -х).

Производные высших порядков

Ясно, что производная

функции y =f (x) есть также функция от x :

y" =f " (x)

Если функция f " (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y"" =f "" (x) x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y""=f""(x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

Вообще n -я производная или производная n -го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Ф-ла Лейбница:

Предположим, что функции и дифференцируемы вместе со своими производными до n-го порядка включительно. Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим

Сопоставим эти выражения со степенями бинома :

Бросается в глаза правило соответствия: чтобы получить формулу для производной 1-го, 2-го или 3-го порядков от произведения функций и , нужно заменить степени и в выражении для (где n = 1,2,3) производными соответствующих порядков. Кроме того, нулевые степени величин и следует заменить производными нулевого порядка, подразумевая под ними функции и :

Обобщая это правило на случай производной произвольного порядка n , получим формулу Лейбница ,

где - биномиальные коэффициенты:

Теорема Ролля.

Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.

Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке ; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0.

По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение.

f(x 1) = M – max , f(x 2) = m – min ; x 1 ;x 2 Î

1) Пусть M = m, т.е. m £ f(x) £ M

Þ ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а Þ ее производная будет равна нулю. f’(x)=0

2) Пусть M>m

Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) Þ свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а Þ будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.

Теорема Лагранжа.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a ;b ] и дифференцируема в интервале (a ;b ), то найдётся такая точка , что

Теорема Коши.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e. Примеры решения задач курс лекций Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Интегральное исчисление

Примеры выполнения курсовой работы Электротехника

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

При x→x 0 величина с также стремится к х 0 ; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как , то .

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Теорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции.

Функция не ограничена сверху

1.1. Пусть число b конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.

.

при .

Обозначим . Тогда для любого существует , так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).

b рано плюс бесконечности

Функция ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M : при .
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при . Или
при .

Итак, мы нашли, что для любого существует число , так что
при .
«Определения односторонних пределов на бесконечности»).

Функция не ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при .

Итак, для любого существует число , так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).

Функция не возрастает

Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем . Докажем, что в этом случае существует предел .

Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой . Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B существует такой аргумент , для которого
.
По условию теоремы, . Поэтому .

Поскольку функция не возрастает, то при . Поскольку , то
при .
Или
при .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b .

Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки , существует такая проколотая левая окрестность точки b , что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен :

(см. универсальное определение предела функции по Коши).

Предел в точке a

Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.

Рассмотрим функцию . По условию теоремы, функция является монотонной при . Заменим переменную x на - x (или сделаем подстановку , а затем заменим переменную t на x ). Тогда функция является монотонной при . Умножая неравенства на -1 и меняя их порядок приходим к выводу, что функция является монотонной при .

Аналогичным способом легко показать, что если не убывает, то не возрастает. Тогда согласно доказанному выше, существует предел
.
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
.

Теперь осталось показать, что если существует предел функции при , то существует предел функции при , и эти пределы равны:
.

Введем обозначение:
(1) .
Выразим f через g :
.
Возьмем произвольное положительное число . Пусть есть эпсилон окрестность точки A . Эпсилон окрестность определяется как для конечных, так и для бесконечных значений A (см. «Окрестность точки»). Поскольку существует предел (1), то, согласно определению предела, для любого существует такое , что
при .

Пусть a - конечное число. Выразим левую проколотую окрестность точки -a , используя неравенства:
при .
Заменим x на -x и учтем, что :
при .
Последние два неравенства определяют проколотую правую окрестность точки a . Тогда
при .

Пусть a - бесконечное число, . Повторяем рассуждения.
при ;
при ;
при ;
при .

Итак, мы нашли, что для любого существует такое , что
при .
Это означает, что
.

Теорема доказана.

Главная » Транскрипции » Пределы монотонных функций. Свойства функций — Гипермаркет знаний Что такое ограниченная функция