Нахождение неизвестного по двум суммам. Задачи с решением

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причём даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям .

Таблица 3

Задача. Купили по одинаковой цене 14 м полотна и 10 м шерсти. За всё полотно уплатили на 280 р. больше, чем за всю шерсть. Сколько заплатили за полотно и шерсть в отдельности?

Задачи этого типа представляют определённую трудность для детей в связи с тем, что стоимость и количество заданы в виде разностей: купили больше и заплатили больше. В связи с этим работу над задачами данного типа нужно построить так, чтобы дети осознали, что (на примере данной задачи) за полотно, купленное сверх 10 м заплатили 280 р. В связи с этим до формального разбора при поиске решения задачи на этапе ознакомления целесообразно выполнить разбор по существу, позволяющий развязать этот «трудный узел» задачи. Приведём полное рассуждение ученика при решении задачи данного типа, но прежде выполним разбор по существу, который осуществляется по вопросам учителя.

После выделения условия, требования задачи и выполнения краткой записи задачи в виде таблицы, учитель ставит вопросы:

За какое количество полотна уплатили столько же, сколько за всю шерсть? (За 10 м.)

Сколько уплатили за полотно, купленное сверх 10 м? (280 р.)

Если мы будем знать количество полотна, купленного сверх 10м и знаем его стоимость, то, что сможем узнать по этим данным? (Цену 1 м полотна или шерсти.)

4) Знаю, что купили 14 м полотна и 10м шерсти.

5) Могу узнать, сколько полотна купили за 280 р.

6) Действием вычитания.

4а) Знаю стоимость полотна (280 р.) и буду знать количество, за которое уплатили 280 р.

5а) Могу узнать цену полотна.

6а) Действием деления.

4б) Буду знать цену полотна и знаю его количество.

5б) Могу узнать стоимость полотна.

6б) Действием умножения.

4в) Буду знать стоимость полотна и знаю, что за полотно заплатили на 280 р. больше, чем за шерсть. Значит, за шерсть заплатили на 280 р. меньше.

5в) Могу узнать стоимость шерсти.

6в) Действием вычитания.

7. Составляю план решения: сначала действием вычитания узнаю, за какое количество полотна уплатили 280 р., затем действием деления узнаю цену полотна или шерсти, потом действием умножения узнаю стоимость полотна, затем действием вычитания узнаю стоимость шерсти.

8. Запишу решение по действиям с полным пояснением:

1) 14-10=4(м)- за столько полотна заплатили 280 р.;

2) 280:4=70(р.) - цена полотна (шерсти);

3) 70 14=980(р.) - стоимость полотна;

4) 980-280=700 (р.) - стоимость шерсти.

Ответ: 980 р. и 700 р.

На основе анализа содержания задачи и деятельности по её решению можно увидеть, что необходимые знания, умения и навыки у детей уже сформированы (знания связи между величинами цена, количество, стоимость и умение находить одну из них по двум значениям других величин) в процессе решения задач на нахождение четвёртого пропорционального и на пропорциональное деление. Однако в задачах данного типа дано не значение одной из переменных величин, а разность двух её значений, что и составляет проблему задачи (нужно найти цену, имея не значения стоимости и количества, а значения разности стоимостей и разности количеств).

В связи с этим на подготовительном этапе к введению задач данного типа необходимо предусмотреть специальные задания, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи:

1) Ученик купил по одинаковой цене 9 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку. Каких тетрадей ученик купил больше? За какие тетради он уплатил денег больше?

Ученик купил по одинаковой цене тетрадей в клетку на 4 больше, чем тетрадей в линейку, и уплатил за них на 16 р. больше, чем за тетради в линейку. Сколько стоила одна тетрадь? К первой задаче ученики выполняют чертёж, затем отвечают на поставленные вопросы (Ученик купил тетрадей в клетку на 4 тетради больше, чем в линейку; за тетради в клетку он уплатил больше, потому что он купил их больше, а цена одинаковая.). Далее выясняется, за сколько тетрадей в клетку он уплатил столько же, сколько за все тетради в линейку.

Как вы понимаете выражение «тетрадей в клетку купил на 4 больше, чем тетрадей в линейку»(тетрадей в клетку столько же, сколько в линейку и ещё 4). Покажите это на чертеже.

Что значит «уплатил за тетради в клетку на 16 р. больше»? (Уплатил за тетради в клетку столько же, сколько за тетради в линейку, и ещё 16 р.) Покажите это на чертеже.

За сколько тетрадей ученик уплатил 16 р.? (За 4 тетради.)

Значением какой величины является 16 р.? (16 р, - значение стоимости.)

Значением какой величины является 4 т.? (4 тетради - значение количества.)

Значит, нам известны значения двух величин - стоимости и количества - и знаем, что цена одинаковая. Что можно найти по этим данным? (Цену.) Каким действием? Учитель может предложить аналогичные задания из учебника, а также составленные им с другими величинами.

Ознакомление с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить разными путями: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав её из задачи на нахождение четвёртого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и другом случае работа над задачей ведётся по одному и тому же плану: выделение условия, требования задачи, её иллюстрации в виде краткой записи (в виде таблицы) и чертежа, затем разбор по существу, формальный разбор и т.д. (см. выше).

На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать задания аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида по аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решений. Полезно также выполнить задания по сравнению задач на пропорциональное деление и задач с соответствующими величинами на нахождение неизвестных по двум разностям.

Моршанск, 2016 год

Подготовила и провела:

учитель начальных классов

Карцова Л.В.

урок математики
на тему:

«Задачи на нахождение неизвестного по двум суммам»

Технологическая карта урока

Ход урока:

Организация начала урока.

Запомните все, что без точного счёта

Не сдвинется с места любая работа!

Мы с вами уже 4 год учимся математике, поэтому во многих вопросах, можно сказать, знатоки. Попробуйте свои знания доказать на сегодняшнем уроке.

2. Актуализация материала.

Итак, приготовьтесь знатоки решения задач, то есть - все!!! Но, как в известной игре «Что, где, когда», будем работать в команде. Помогайте знатоку, составляйте алгоритмы решения задач, а знаток обязательно запишет правильное решение по вашим подсказкам.

В 4 одинаковых банках 20 кг мёда. Сколько понадобится таких банок для 50 кг мёда?

Когда Юра купил 6 дисков по 15 рублей, у него ещё осталось 60 рублей. Сколько денег было у Юры до покупки?

На столе лежало 20 тетрадей. Сколько тетрадей убрали со стола, если их осталось в 4 раза меньше.

Рак ползёт со скоростью 18 м /мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы преодолеть расстояние в 54 метра?

Из 2 рулонов ткани длиной 36 м и 18 м сшили 27 одинаковых платьев. Сколько метров пошло на 1 платье?

3. Сообщение темы и целей урока.

Прочтите эпиграф к сегодняшнему уроку. «Всякая хорошо решённая задача доставляет умственное наслаждение» (Г.Гессе)

Я думаю, что вы уже догадались, какова цель урока. Сформулируйте её. Действительно, мы будем решать задачи уже известных нам видов и познакомимся с новым видом задач.

4. Устный счёт.

Вы, конечно, понимаете, что для решения любой задачи необходимы отличные навыки устного счёта. Итак, знатоки-счетоводы, приготовьтесь! Задание - «Цепочка-молчанка». Конечный результат запишите на листочках, которые лежат у вас на столах.

480: 8 + 180: 10X4-51: 3 + 9.

Работа над новым материалом.

Пришло время познакомиться с содержанием новой задачи. Внимание на экран (задача читается, иллюстрируется, заносится в таблицу).

Прочитайте на экране название данной задачи, так как в ней есть подсказка.

Расскажите задачу по более привычной нам краткой записи (на доске).

Давайте разберёмся, что же это за 2 суммы, которые помогут решить нам задачу.

Поможет решить эту задачу, как и всегда, алгоритм, который написан у вас на листках. Но последовательность шагов в нём нарушена. Пообщайтесь в парах и восстановите правильную последовательность, (чтение алгоритма учащимися).

Запишите решение задачи, пользуясь правильным алгоритмом. (1 у доски)

Проблемная ситуация.

Молодцы! Вы хорошо освоили алгоритм решения новой задачи, но... Оказывается, есть немного другой путь (способ) решения этой же задачи. Наверное, групповая работа поможет найти этот способ. Пользуясь тем же алгоритмом, запишите 2 способ решения, вы же сегодня - знатоки!

Закрепление материала.

Задача № 2 со страницы 77 представлена у меня в таблице. Решит у доски её тот, кто найдёт ошибку в моей таблице. (нахождение ошибки и запись решения без алгоритма).

Я думаю, что мы стали уже знатоки и в решении задач на нахождение неизвестного по двум суммам. Я права? Тогда докажите и решите задачу в уме (решение задачи по компьютеру).

Подведение итогов, рефлексия.

1. Из двух рулонов ткани длиной 56 м и 40 м сшили 24 одинаковых плаща. Сколько плащей сшили из каждого рулона?

2. За 6 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линейку по одинаковой цене заплатили 84 р. Сколько рублей заплатили за тетради в клетку и сколько - за тетради в линейку?

3. Выполни действия

35:4-91:7*6=11 (329+127) : 8 -105:3=22
603:9+84:6*25=417 (900-156) : 6+31*4=248

4. Лыжнику нужно было пройти 50 км. В течение первых двух часов он шёл со скоростью 9 км/ч, а потом стал проходить по 8 км в час. За сколько часов лыжник прошёл весь путь?

5. Для новогодних подарков купили 6 кг мандаринов….

Дополни условие задачи так, чтобы она решилась следующим образом:

1) 45*6= 270 р. - заплатили за мандарины.
2) 510-270=240 р. - заплатили за печенье.
3) 240:8=30 р. - стоит 1 кг печенья.

6. Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Объясни, почему площадь прямоугольника уменьшается в 4 раза.

7. Сравни.

200 к. и 2 р. 167 см и 16 дм 309 м и 39 дм
500 г и 5 кг 948 м и 10 км 2 ч 8 мин и 128 мин

8. Нарисуй в тетради прямоугольник, имеющий такую же площадь, как и данная фигура. Попробуй найти 2 варианта.

9. Лодка проплыла от пристани 8 км по течению реки, потом 14 км против течения, а затем 12 км по течению. На какое расстоянии от пристани оказалась лодка? Построй схематический чертёж и реши задачу.

1. (Устно.) Что больше и во сколько раз:

разность чисел 10 и 8 или их произведение;
частное чисел 25 и 5 или их сумма;
сумма чисел 56 и 40 или их разность;
частное чисел 36 и 6 или их произведение?

2. В одном мешке было 55 кг картофеля, а в другом - 35 кг. Весь картофель расфасовали поровну в 18 пакетов. Сколько пакетов понадобилось для расфасовки каждого мешка?

3. За 3 батона белого хлеба и 2 буханки чёрного хлеба заплатили 56 р. Сколько рублей заплатили за белый хлеб и сколько - за чёрный, если один батон стоит 12 р.?

4. Вычисли удобным способом.

14*(5*9) 28*(2*5) 45*(7*2) 19*(3*10)
9*(4*25) 10*(29*2) 18*(10*4) 10*(2*36)

5. За день в магазине продали цветные карандаши и фломастеры, всего 196 штук. Карандаши были в 8 коробках, по 12 штук в каждой, а фломастеры - в 10 коробках, поровну в каждой. Сколько фломастеров было в каждой коробке?

6. Выполни действия.

320-306:6=269 610-497:7+48=587 (700-285:3*4) :2=160
536: (68:17)=134 (150-125:5) *8=1000 27*(840:7-19*6)=162

7. Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Сравни результаты в третьей и четвёртой строках таблицы. Какой вывод можно сделать? При каких размерах прямоугольник имеет наибольшую площадь? Как называется такой прямоугольник?

8. Из Санкт-Петербурга в Москву выехали одновременно три автомобиля. Первый из них прибыл в Москву через 8 ч 45 мин, второй - на 2 ч 56 мин позднее первого, а третий - на 1 ч 48 мин раньше второго. Сколько времени был в пути третий автомобиль?

9. (Задача Л.Н.Толстого.) Продавец продаёт шапку, которая стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает своего помощника с этими деньгами к соседке разменять. Помощник прибегает и отдаёт 10 р. +10 р. + 5 р. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 р. Через какое-то время приходит соседка говорит, что полученная ею банкнота 25 р. фальшивая и требует вернуть ей её деньги. Ну что делать? Продавец возвращает ей деньги. На сколько рублей обманули продавца?

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ПО ДВУМ РАЗНОСТЯМ

Рассмотрим пример решения задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Задача: Две машины шли с одинаковой скоростью. Одна прошла 400 км, а другая - 480 км. Вторая машина была в пути на 2 часа меньше первой. Сколько часов была в пути каждая машина?

Решение:

1. Найдем разность расстояний пройденных машинами:

480 - 400 = 80(км)

2. Вторая разность нам известна из условия задачи - это 2 часа (разность по времени в пути).

3. По этим двум разностям вычислим скорость машин:

80: 2 = 40 (км/ч)

4. Зная скорость машин и расстояния, пройденные каждой машиной, найдем время в пути каждой машины:

400: 40 = 10 (ч) время в пути первой машины;

480: 40 = 12 (ч) время в пути второй машины.

Ответ: 10ч, 12ч.

Примеры задач на нахождение неизвестного по двум разностям для тренировки:

1) В столовой в 1-м зале 15 одинаковых столов, а во 2-м зале 10 таких же столов. Сколько мест в 1-м зале и сколько во 2-м зале, если в 1-м зале на 20 мест больше, чем во 2-м зале?

2) Один шофер сделал за день 5 рейсов, другой - 3 рейса. В каждый рейс перевозили зерна поровну. Первый шофер перевез на 30 т зерна больше, чем второй. Сколько зерна перевёз каждый шофер?

3) Купили 5 красных карандашей и 7 синих. Синие на 4 рубля дороже, чем красные. Сколько стоит один красный и один синий карандаш?

4) В одном куске было 6 м ткани, а в другом - 12 м такой же ткани. Второй кусок стоил на 24 руб. дороже, чем первый. Сколько стоил каждый кусок ткани?

5) В первом куске 3 м ткани, во втором - 7 м ткани. Второй кусок стоит на 240 рублей дороже. Сколько стоит каждый кусок?

6) Один мотоциклист был в пути 3 часа, другой - 5 часов. Они ехали с одинаковой скоростью. Второй проехал на 80 км больше первого. Сколько километров проехал каждый?

7) С базы отправили в один магазин 3 грузовика муки, а в другой - 5. Во второй магазин отправили на 40 ц больше. Сколько центнеров муки отправили в каждый магазин?

8) С одного участка собрали 25 мешков лука, а с другого 19. Со второго участка собрали на 360 кг меньше. Сколько килограммов лука собрали с каждого участка?

9) Магазин продал в 1-й день 72 кг слив, а во 2-й - 56 кг. Во 2-й день продано на 2 ящика меньше, чем в 1-й день. Сколько ящиков слив продали в каждый день?

10) Два велосипедиста выехали навстречу друг другу с одинаковой скоростью и встретились через 10 часов. Один ехал до встречи на 2 часа больше другого и проехал на 24 км больше. Какое расстояние между городами?

11) В мастерской было два куска материи длиной 96 м и 84 м. Из них сшили плащи. Из 2-го куска получили на 3 плаща меньше, чем из 1-го куска. Сколько всего плащей сшито из каждого куска?

12) На одной пасеке 48 ульев, а на другой 44. С 1-й пасеки сняли на 80 кг больше мёду, чем со 2-й. Сколько мёду собрали с каждой пасеки?

13) Для откачивания воды из баржи поставили 2 одинаковых насоса. Один работал 5 мин, а другой 8 мин. Сколько воды выкачал каждый насос, если 2-й выкачал на 15 вёдер больше 1-го насоса?

14) В одном мешке 54 кг муки, а в другом 72 кг. Муку рассыпали в пакеты. Из первого мешка получилось на 6 пакетов меньше. Сколько пакетов муки заготовили из двух мешков?

Задача 1

Два автомобиля ехали с одинаковой скоростью. Один из них проехал 400 км, а другой - 480 км. Сколько часов был в пути каждый автомобиль, если первый был в пути на 2 часа меньше чем второй?

Решение:
• 1) 480 - 400 = 80
• 2) 80: 2 = 40 (скорость автомобилей)
• 3) 400: 40 = 10 (был в пути первый автомобиль)
• 4) 480: 40 = 12 (был в пути второй автомобиль)
• Ответ: 10 и 12 часов.

Задача 2

Два мотоциклиста ехали с одинаковой скоростью. Один из них был в пути 5 часов, а другой - 3 часа. Сколько километров проехал каждый мотоциклист, если первый проехал на 80 километров больше, чем второй?

Решение:
• 1) 5 - 3 = 2
• 2) 80: 2 = 40 (скорость каждого мотоциклиста)
• 3) 5 * 40 = 200 (проехал первый мотоциклист)
• 4) 3 * 40 = 120 (проехал второй мотоциклист)
• Ответ: 200 и 120 километров.

Задача 3

Портниха купила два куска ткани. Один кусок 6 метров, а другой 12 метров. За первый кусок она заплатила на 24 рубля меньше, чем за второй. Сколько заплатила портниха за каждый из кусков ткани, если метр ткани в каждом из кусков стоит одинаково?

Решение:
• 1) 12 - 6 = 6
• 2) 24: 6 = 4 (стоит метр ткани)
• 3) 6 * 4 = 24 (стоит первый кусок)
• 4) 12 * 4 = 48 (стоит второй кусок)
• Ответ: 24 и 48 рублей.

Задача 4

Два шофера возили зерно. Один из них сделал 3 рейса, другой - 5 рейсов за день. Второй шофер перевез на 30 т зерна больше, чем первый. Сколько зерна перевез каждый из шоферов по отдельности, если каждый рейс перевозилось одинаковое количество зерна?

Решение:
• 1) 5 - 3 = 2
• 2) 30: 2 = 15 (тонн зерна перевозил один грузовик за рейс)
• 3) 3 * 15 = 45 (тонн зерна перевез первый грузовик)
• 4) 5 * 15 = 75 (тонн зерна перевез второй грузовик)
• Ответ: 45 и 75 тонн.

Задача 5

В столовой в одном из залов 15 одинаковых столов, в другом зале 10 таких же столов. Сколько мест в первом зале и во втором зале по отдельности, если во втором зале на 20 мест меньше, чем в первом?

Решение:
• 1) 15 - 10 = 5
• 2) 20: 5 = 4 (места за одним столом)
• 3) 15 * 4 = 60 (мест в первом зале)
• 4) 10 * 4 = 40 (мест во втором зале)
• Ответ: 60 и 40 мест.

Задача 6

Саше купили 7 зеленых карандашей и 5 оранжевых. Оранжевые карандаши на 4 рубля дешевле, чем зеленые. Сколько стоит один зеленый и один оранжевый карандаш?

Решение:
• 1) 7 - 5 = 2
• 2) 4: 2 = 2
• Ответ: 2 рубля.

Задача 7

В первом куске 3 метра ткани, а во втором - 7 метров. Первый кусок стоит на 240 рублей дешевле, чем второй. Сколько стоит каждый кусок по отдельности, если метр ткани в каждом куске стоит одинаково?

Решение:
• 1) 7 - 3 = 4
• 2) 240: 4 = 60 (стоит метр ткани)
• 3) 3 * 60 = 180 (рублей стоит первый кусок)
• 4) 7 * 60 = 420 (рублей стоит второй кусок)
• Ответ:

Задача 8

Грузовики возили с базы муку в два разных магазина. В первый магазин отвезли 3 грузовика муки, а во второй 5. Сколько центнеров муки отправили в каждый магазин по отдельности, если в первый магазин отправили муки на 40 центнеров меньше, чем во второй?

Решение:
• 1) 5 - 3 = 2
• 2) 40: 2 = 20 (центнеров муки вез грузовик за 1 раз)
• 3) 3 * 20 = 60 (отвезли в первый магазин)
• 4) 5 * 20 = 100 (отвезли во второй магазин)
• Ответ: 60 и 100 центнеров.

Задача 9

На двух участках собирали лук. С одного собрали 19 мешков, а с другого 25. Сколько килограммов лука собрали с каждого участка, если с первого собрали на 360 кг меньше чем со второго?

Решение:
• 1) 25 - 19 = 6
• 2) 360: 6 = 60 (килограмм лука в 1 мешке)
• 3) 19 * 60 = 1140 (кг. лука собрали с 1-го участка)
• 4) 25 * 60 = 1500 (кг. лука собали со 2-го участка)
• Ответ: 1140 и 1500 килограмм.

Главная » Методики обучения » Нахождение неизвестного по двум суммам. Задачи с решением