Определение что такое траектория. Расчет баллистической траектории

С древних времен человечество старалось добиться победы в столкновении с противником на максимально возможной дистанции, чтобы не губить собственных воинов. Пращи, луки, арбалеты, потом ружья, теперь и бомбы - все они нуждаются в точном расчете баллистической траектории. И если у старинной военной «техники» отследить точку попадания можно было визуально, что позволяло учиться и в следующий раз стрелять точнее, то в современном мире точка назначения обычно удалена настолько, что разглядеть ее без дополнительных приборов просто невозможно.

Что такое баллистическая траектория

Это путь, который преодолевает какой-либо объект. У него должна быть определенная начальная скорость. На него воздействует сопротивление воздуха и сила притяжения, что исключает возможность движения по прямой линии. Даже в космосе такая траектория будет искажаться под влиянием гравитации различных объектов, хоть и не так значительно, как на нашей планете. Если не учитывать сопротивление воздушных масс, то больше всего такой процесс перемещения будет напоминать эллипс.

Другой вариант - гипербола. И лишь в некоторых случаях это будет парабола или окружность (при достижении второй и первой космической скорости соответственно). В большинстве случаев такие расчеты проводятся для ракет. Они, как правило, летают в верхних слоях атмосферы, где влияние воздуха минимально. Как следствие, чаще всего баллистическая траектория все же напоминает именно эллипс. В зависимости от многих факторов, таких как скорость движения, масса, тип атмосферы, температура, вращение планеты и так далее, отдельные части пути могут принимать самые разнообразные формы.

Расчет баллистической траектории

Для того чтобы понять, куда именно упадет выпущенное тело, применяют дифференциальные уравнения и метод численного интегрирования. Уравнение баллистической траектории зависит от многих переменных, но существует и некий универсальный вариант, который не дает нужной точности, но вполне достаточен для примера.

y=x-tgѲ 0 -gx 2 /2V 0 2 -Cos 2 Ѳ 0, где:

• y - это максимальная высота над поверхностью земли.
• Х - дистанция от точки старта до момента, когда тело доберется до высшей точки.
• Ѳ 0 - угол бросания.
• V 0 - начальная скорость.

Благодаря указанной формуле появляется возможность описать баллистическую траекторию полета в безвоздушном пространстве. Получится она в форме параболы, что характерно для большинства вариантов свободного движения в подобных условиях и при наличии гравитации. Можно выделить следующие характерные особенности такой траектории:

• Самый оптимальный угол возвышения для максимальной дистанции - 45 градусов.
• Объект имеет одинаковую скорость движения как во время старта, так и в момент приземления.
• Угол броска идентичен углу, под которым произойдет падение.
• Объект долетает до вершины траектории за точно такое же время, за которое потом упадет вниз.

В подавляющем большинстве расчетов подобного рода принято пренебрегать сопротивлением воздушных масс и некоторых других факторов. Если их учитывать, то формула выйдет слишком уж сложной, а погрешность не так велика, чтобы значительно влиять на эффективность попадания.

Отличия от настильной

Под таким названием понимают другой вариант пути объекта. Настильная и баллистическая траектория - это несколько разные понятия, хотя общий принцип у них одинаков. Фактически такой вид движения подразумевает максимально возможное перемещение в горизонтальной плоскости. И на всем протяжении пути объект сохраняет достаточное ускорение. Баллистический вариант движения необходим для перемещения на большие дистанции. Например, настильная траектория наиболее важна для пули. Она должна лететь достаточно прямо максимально долго и пробивать все, что попадется у нее на пути. С другой стороны, ракета или снаряд из пушки наносят максимум разрушений именно в конце движения, так как набирают максимально возможную скорость. В промежутке своего движения они не столь сокрушительны.

Использование в современности

Баллистическая траектория чаще всего применяется в военной сфере. пули и так далее - все они летают далеко, и для точного выстрела нужно учитывать множество переменных. Кроме того, космическая программа также основана на баллистике. Без нее точно запустить ракету так, чтобы она в конечном итоге не упала на землю, а совершила несколько витков вокруг планеты (или вообще оторвалась от нее и отправилась дальше в космос), невозможно. В целом практически все, что умеет летать (вне зависимости от того, каким способом это делает), так или иначе связано с баллистической траекторией.

Заключение

Умение рассчитать все элементы и запустить какой-либо объект в нужное место - крайне важно в современности. Даже если не брать вооруженные силы, которые традиционно нуждаются в таких возможностях больше всех остальных, останется еще много вполне гражданских применений.

Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.

Определение

Линию, которую описывает частица при своем движении, называется траекторией движения .

В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:

• прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
• и криволинейное перемещение (траектория - кривая линия).

Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.

При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:

\[\overline{r}\left(t\right)={\overline{r}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t^2}{2}\left(1\right),\]

(где $\overline{r}\left(t\right)$ - радиус-вектор точки в момент времени $t$; ${\overline{v}}_0$ - начальная скорость движения точки; $\overline{a}$ - ускорение точки,) траектория движения представляет собой плоскую кривую, что означает все точки этой кривой находятся в одной плоскости. Положение этой плоскости в пространстве задают векторы ускорения и начальной скорости. Ориентацию координатных осей чаще всего выбирают так, чтобы плоскость движения совпадала с одной из координатных плоскостей. В этом случае векторное уравнение (1) можно свести к двум скалярным уравнениям.

Уравнение траектории движения

Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.

Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=v_0t{\cos \alpha \left(2\right),\ } \\ y=v_0t{\sin \alpha \ }-\frac{gt^2}{2}\left(3\right). \end{array} \right.\]

Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:

Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ меньше нуля.

Вершина этой параболы находится в точке с координатами:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=\frac{v^2_0{\sin \alpha {\cos \alpha \ }\ }}{g} \\ y=\frac{v^2_0{sin}^2\alpha }{2g} \end{array} \right.\left(5\right).\]

Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($\frac{dy}{dx}$) от нее по $x$.

Обратимость движения

Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.

Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t\ $ на $-t$ для всех уравнений. Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории. Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.

Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

Параметры траектории движения

Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:

• Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=\rho ,x_2=\varphi ,x_3=\ z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки - это значит указать эти функции:
\
• При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($\overline{r}$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $\overline{r}$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение:
\[\overline{r}=\overline{r}\left(t\right)\left(7\right).\]
• Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.

Путь - это скалярная величина, равная длине траектории.

Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:

Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:

где $s$ - путь точки по траектории; $t$ - время движения; $A$ - коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.

Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Точка движется в плоскости XOY из начала координат со скоростью $\overline{v}=A\overline{i}+Bx\overline{j}\ ,\ $где $\overline{i}$, $\overline{j}$ - орты осей X и Y; $A$,B - постоянные величины. Запишите уравнение траектории движения точки ($y(x)$). Изобразите траекторию. \textit{}

Решение: Рассмотрим уравнение изменения скорости частицы:

\[\overline{v}=A\overline{i}+Bx\overline{j}\ \left(1.1\right).\]

Из этого уравнения следует, что:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=A, \\ v_y=Bx \end{array} \right.\left(1.2\right).\]

Из (1.2) имеем:

Для получения уравнения траектории следует решить дифференциальное уравнение (1.3):

Мы получили уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Эта парабола проходит через начало координат. Минимум этой функции находится в точке с координатами:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=0 \\ y=0. \end{array} \right.\]

Пример 2

Задание: Движение материальной точки в плоскости описывает система уравнений: $\left\{ \begin{array}{c} x=At. \\ y=At(1+Bt) \end{array} \right.$, где $A$ и $B$ - положительные постоянные. Запишите уравнение траектории точки.

Решение: Рассмотрим систему уравнений, которая задана в условии задачи:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=At. \\ y=At\left(1+Bt\right) \end{array} \right.\left(2.1\right).\]

Исключим время из уравнений системы. Для этого из первого уравнения системы выразим время, получим:

Подставим вместо $t$ правую (2.2) часть во второе уравнение системы (2.1), имеем:

Ответ: $y=x+\frac{B}{A}x^2$

Траектория - это линия, которую тело описывает при движении.

Траектория пчелы

Путь - это длина траектории. То есть длина той, возможно, кривой линии, по которой двигалось тело. Путь скалярная величина ! Перемещение - векторная величина ! Это вектор, который проведен из начальной точки отправления тела в конечную точку. Имеет численное значение, равное длине вектора. Путь и перемещение - это существенно разные физические величины.

Обозначения пути и перемещения вы можете встретить разное:

Сумма перемещений

Пусть в течение промежутка времени t 1 тело совершило перемещение s 1 , а в течение следующего промежутка времени t 2 - перемещение s 2 . Тогда за все время движения перемещение s 3 - это векторная сумма

Равномерное движение

Движение с постоянной по модулю и по направлению скоростью. Что это значит? Рассмотрим движение машины. Если она едет по прямой линии, на спидометре одно и то же значение скорости (модуль скорости), то это движение равномерное. Стоит машине изменить направление (повернуть), это будет означать, что вектор скорости изменил свое направление. Вектор скорости направлен туда же, куда едет машина. Такое движение нельзя считать равномерным, несмотря на то, что спидометр показывает одно и то же число.

Направление вектора скорости всегда совпадает с направлением движения тела

Можно ли движение на карусели считать равномерным (если не происходит ускорение или торможение)? Нельзя, постоянно изменяется направление движения, а значит и вектор скорости. Из рассуждений можно сделать вывод, что равномерное движение - это всегда движение по прямой линии! А значит при равномерном движении путь и перемещение одинаковы (поясни почему).

Нетрудно представить, что при равномерном движении за любые равные промежутки времени тело будет перемещаться на одинаковое расстояние.

Траектория I Траекто́рия (от позднелат. trajectorius - относящийся к перемещению)

непрерывная линия, которую описывает точка при своём движении. Если Т. - прямая линия, движение точки называется прямолинейным, в противном случае - криволинейным. Вид Т. свободной материальной точки зависит от действующих на точку сил, начальных условий движения и от того, по отношению к какой системе отсчёта движение рассматривается; для несвободной точки вид Т. зависит ещё от наложенных связей (см. Связи механические).

Например, по отношению к Земле (если пренебречь её суточным вращением) Т. свободной материальной точки, отпущенной без начальной скорости и движущейся под действием силы тяжести, будет прямая линия (вертикаль), а если точке сообщить начальную скорость υ 0 , не направленную вдоль вертикали, то при отсутствии сопротивления воздуха её Т. будет парабола (рис. 1 ).

Т. точки, движущейся в центральном поле тяготения (См. Тяготение), в зависимости от величины начальной скорости может быть эллипс, парабола или гипербола (в частных случаях - прямая линия или окружность). Так, в поле тяготения Земли, если считать его центральным и пренебречь сопротивлением среды, Т. точки, получившей вблизи поверхности Земли начальную скорость υ 0 , направленную горизонтально (рис. 2 ), будет: окружность, когда км/сек (первая космическая скорость); эллипс, когда км/сек (вторая космическая скорость) и гипербола, когда R - радиус Земли, g - ускорение силы тяготения вблизи земной поверхности, а движение рассматривается по отношению к осям, перемещающимся вместе с центром Земли поступательно относительно звёзд; для тела (например, спутника) всё сказанное относится к Т. его центра тяжести. Если же направление υ 0 не будет ни горизонтальным, ни вертикальным, то при

Пример несвободной точки - небольшой груз, подвешенный на нити (см. Маятник). Если нить отклонить от вертикали и отпустить без начальной скорости, то Т. груза будет дугой окружности, а если при этом грузу сообщить начальную скорость, не лежащую в плоскости отклонения нити, то Т. груза могут быть кривые довольно сложного вида, лежащие на поверхности сферы (сферический маятник), но в частном случае это может быть окружность, лежащая в горизонтальной плоскости (конический маятник).

Т. точек твёрдого тела зависят от закона движения тела. При поступательном движении тела Т. всех его точек одинаковы, а во всех других случаях движения эти Т. будут вообще разными для разных точек тела. Например, у колеса автомобиля на прямолинейном участке пути Т. точки обода колеса по отношению к шоссе будет циклоида, а Т. центра колеса - прямая линия. По отношению же к кузову автомобиля Т. точки обода будет окружность, а центр колеса - неподвижен.

Определение Т. имеет важное значение как при теоретических исследованиях, так и при решении многих практических задач.

С. М. Тарг.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Траектория" в других словарях:

- (от лат. trajicere перебрасывать, пересекать), в геометрии: прямая или кривая линия, которую описывает движущееся или падающее тело, напр., ядро, по выходе из пушки. 2) кривая, пересекающая систему однородных кривых под одним и тем же углом.… … Словарь иностранных слов русского языка

- (Trajectory) путь движения точки или тела, напр. траектория полета снаряда. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 Траектория непрерывная линия, описываемая в пространстве движуще … Морской словарь

- (от ср. век. лат. trajectorius относящийся к перемещению) линия, которую описывает точка при своем движении. Если траектория прямая линия, то движение называется прямолинейным, в противном случае криволинейным …

- (от позднелат. trajectorius относящийся к перемещению), непрерывная линия, к рую описывает точка при своём движении. Если Т. прямая линия, движение точки наз. прямолинейным, в противном случае криволинейным. Вид Т. свободной материальной точки… … Физическая энциклопедия

Орбита, путь, прохождение; глиссада, линия Словарь русских синонимов. траектория сущ., кол во синонимов: 3 глиссада (3) … Словарь синонимов

траектория - — траектория Кривая, которую описывает точка при своем движении относительно выбранной системы координат. В экономико математические исследования этот термин вошел из аппарата… … Справочник технического переводчика

Траектория - (на средневековой латыни trajectorius относящийся к перемещению), линия, которую описывает материальная точка (или центр инерции твердого тела) при своем движении. Если траектория прямая линия, то движение называется прямолинейным, в противном… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Во внешней баллистике линия движения центра массы снаряда (ракеты, пули) от точки вылета из канала ствола огнестрельного оружия (направляющей или ствола пусковой установки) до точки встречи с целью (точки разрыва) … Большой Энциклопедический словарь

ТРАЕКТОРИЯ, путь летящего тела. Если бы на Земле отсутствовало сопротивление воздуха, все траектории представляли бы собой отрезки ЭЛЛИПСА, один из фокусов которого находится в центре Земли. Поскольку радиус Земли составляет 6400 км, что, как… … Научно-технический энциклопедический словарь

Изначально траектория - физико-математическое понятие, которое обозначает путь движения точки или физического тела. Сам термин происходит от латинского слова «trajectus», что означает «бросок» или «переброска». Впоследствии латинский термин поменял значение на «то, что относится к движению», а в остальных отраслях им стали обозначать линию перемещения в пространстве любого объекта, будь то артиллерийский снаряд или космический корабль.

Инструкция

• Траектория - это линия в трехмерном пространстве. В математике она представляет собой множество точек, через которые прошел, проходит или пройдет некий материальный объект. Сама по себе эта линия указывает путь данного объекта. По ней нельзя узнать о том, почему объект начал двигаться или почему искривился его путь. Но соотношение между силами и параметрами объекта позволяют вычислить траекторию. При этом сам объект должен быть значительно меньше пройденного им пути. Только в этом случае его можно считать материальной точкой и говорить о траектории.
• Линия движения объекта обязательно непрерывна. В математике и физике принято говорить о движении свободной или несвободной материальной точки. На первую действуют только силы. Несвободная точка находится под воздействием связей с другими точками, которые тоже влияют на ее движение и в конечном итоге на его след.
• Для описания траектории той или иной материальной точки необходимо определить систему отсчета. Системы могут быть инерциальными и неинерциальными, и след от движения одного и того же объекта будет выглядеть по-разному.
• Способом описания траектории является радиус-вектор. Его параметры зависят от времени. К данным, необходимым для описания траектории, относятся начальная точка радиус-вектора, его длина и направление. Конец радиус-вектора описывает в пространстве кривую, которая состоит из одной или нескольких дуг. Радиус каждой дуги чрезвычайно важен, поскольку он позволяет определить ускорение объекта в определенной точке. Это ускорение вычисляется как частное от деления квадрата нормальной скорости на радиус. То есть a=v2/R, где а - ускорение, v – нормальная скорость, а R- радиус дуги.
• Реальный объект практически всегда находится под действием тех или иных сил, которые могут инициировать его движение, прекращать его или менять направление и скорость. Силы могут быть как внешними, так и внутренними. Например, при движении космического корабля на него действует сила притяжения Земли и других космических объектов, сила двигателя и еще множество факторов. Они и определяют траекторию полета.
• Баллистическая траектория представляет собой свободное движение объекта под воздействием одной только силы тяжести. Таким объектом может быть снаряд, летательный аппарат, бомба и другие. В этом случае нет ни тяги, ни других сил, способных изменить траекторию. Этим видом движения занимается баллистика.
• Можно провести несложный опыт, позволяющий увидеть, как меняется баллистическая траектория в зависимости от начального ускорения. Представьте себе, что вы сбрасываете камень с высокой башни. Если вы не сообщите камню начальную скорость, а просто отпустите его, движение данной материальной точки будет прямолинейным по вертикали. Если же вы бросите его в горизонтальном направлении, то под воздействием различных сил (в данном случае силы вашего броска и силы тяжести) траектория движения будет представлять собой параболу. В данном случае вращение Земли можно не учитывать.

Главная » Глаголы » Определение что такое траектория. Расчет баллистической траектории