Нахождение суммы по двум разностям. Литература для самостоятельной работы

На первый взгляд сложные для детей задачи, но если понять логику и уяснить алгоритм, они становятся предельно простыми

План (алгорим) решения задач на нахождение чисел по их сумме и частному

1. Нарисовать схему задачи.

2. Найти количество частей.

3. Разделить сумму чисел на количество частей.

4. Умножить полученное число на число его частей.

Задачи с решением

В математическом и историческом кружках занимаются 36 учащихся. В историческом кружке учащихся в 2 раза больше, чем в математическом. Сколько учащихся занимается в каждом из кружков?

Рисуем схему:

Если посмотрим на схему, то заметим, что для математического кружка мы взяли один отрезок, а для исторического - два, причем все отрезки равны. Найдем количество равных отрезков (частей):

1) 1+2 = 3 (ч.) - всего.

Вычислим, сколько учащихся приходится на один отрезок (часть), для этого сумму разделим на количество частей:

2) 36: 3 = 12 (уч.) - занимаются в математическом кружке.

Так как в историческом кружке занимается в два раза больше учащихся, чем в математическом, то:

3) 12 ∙ 2 = 24 (уч.) - занимаются в историческом кружке.

Ответ: 12 учащихся в математическом кружке; 24 учащихся в историческом.

Кот Матроскин пошёл на рыбалку и поймал 20 ершей и окуней, причём ершей в 3 раза больше. Сколько ершей и сколько окуней поймал Кот Матроскин?

Рисуем схему.

Желтым отрезком обозначим окуней, которые поймал Матроскин. Ершей в три раза больше, значит и отрезок будет в 3 раза длиннее – обозначим его фиолетовым цветом. А что значит в 3 раза длиннее? Это значит, что желтый отрезок поместится в фиолетовый 3 раза. А всего рыб 20.

Получилось, что количество окуней обозначено одним отрезком, т.е. одной частью, а количество ершей – тремя такими же частями. А все эти части вместе и составляют 20 рыб. Мы можем узнать, сколько всего частей.

1) 3 + 1 = 4 (части) составляют число 20

Итак, если 20 рыб – это 4 равных части, то мы можем узнать, сколько рыб в одной части. И это мы находим действием деления.

2) 20: 4 = 5 (рыб) – в одной части. А мы знаем, что одна часть – это количество окуней.

А если мы знаем, сколько было окуней, как узнать сколько ершей? Ершей в 3 раза больше, чем окуней, значит надо умножить.

3) 5 · 3 = 15 (рыб) – ершей

Ответ: Кот Матроскин поймал 5 окуней и 15 ершей.

Кот Мурзик охотился на мышей. За 4 дня он поймал 24 мыши, отлавливая в каждый следующий день столько, сколько за все предыдущие вместе. Сколько мышей поймал Мурзик в первый день и сколько в последний день?

Если кот ловил каждый день мышей столько, сколько в предыдущий день, то первый день - это 1 часть. Второй - еще 1 часть. Третий - 2 части. Четвертый - 4 части. Всего 8 частей. 24:8=3 (м.) 3 мыши кот поймал в первый день. В последний день он поймал 3 умноженное на 4 = 12 мышей.

Ответ: 3 мыши в 1 день и 12 мышей в последний поймал кот.

Задачи на нахождение чисел по их разности и частному

Пьеро в своей оранжерее выращивал розы, причём красных роз в 4 раза меньше, чем жёлтых. Сколько красных и сколько жёлтых роз вырастил Пьеро, если красных роз было на 24 меньше, чем жёлтых?

Рисуем схему.

Красным отрезком обозначим красные роза, жёлтым отрезком – жёлтые роза. Красный отрезок короче, т.к. по условию задачи красных роз меньше в 4 раза. Значит, жёлтый отрезок будет длиннее в 4 раза.

А если красных роз меньше на 24, то разница между двумя отрезками будет составлять 24 розы. Мы должны узнать, сколько частей составляют эти 24 розы. На рисунке мы видим, что верхний отрезок это одна часть, а нижний отрезок в 4 раза больше, т.е. 4 части. Узнаем, на сколько 4 больше одного.

1) 4 – 1 = 3 (ч.) – составляют 24 розы. Теперь мы можем узнать, по сколько роз в каждой части.

2) 24: 3 = 8 (роз) – составляет одна часть - это красные розы.

Если мы знаем, что красных в 4 раза меньше чем жёлтых. Как узнать, сколько жёлтых роз? Надо количество красных роз умножить на 4.

3) 8 · 4 = 32 (розы) – жёлтых роз вырастил Пьеро

Можно и по-другому найти количество жёлтых роз. Ведь мы знаем, что красных роз было на 24 меньше, чем жёлтых. Значит, жёлтых на 24 больше, чем красных. И мы к количеству красных роз можем прибавить 24. И это будет уже другой способ решения этой же задачи.

Первые два действия будут такие же, как и в первом способе. А в третьем действии мы просто 8 увеличим на 24. Ведь по условию сказано, что красных роз на 24 меньше, значит, жёлтых на 24 больше.

3) 8 + 24 = 32 (розы) – столько жёлтых роз вырастил Пьеро

Ответ: Пьеро вырастил 8 красных и 32 жёлтые розы.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причём даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям .

Таблица 3

Задача. Купили по одинаковой цене 14 м полотна и 10 м шерсти. За всё полотно уплатили на 280 р. больше, чем за всю шерсть. Сколько заплатили за полотно и шерсть в отдельности?

Задачи этого типа представляют определённую трудность для детей в связи с тем, что стоимость и количество заданы в виде разностей: купили больше и заплатили больше. В связи с этим работу над задачами данного типа нужно построить так, чтобы дети осознали, что (на примере данной задачи) за полотно, купленное сверх 10 м заплатили 280 р. В связи с этим до формального разбора при поиске решения задачи на этапе ознакомления целесообразно выполнить разбор по существу, позволяющий развязать этот «трудный узел» задачи. Приведём полное рассуждение ученика при решении задачи данного типа, но прежде выполним разбор по существу, который осуществляется по вопросам учителя.

После выделения условия, требования задачи и выполнения краткой записи задачи в виде таблицы, учитель ставит вопросы:

За какое количество полотна уплатили столько же, сколько за всю шерсть? (За 10 м.)

Сколько уплатили за полотно, купленное сверх 10 м? (280 р.)

Если мы будем знать количество полотна, купленного сверх 10м и знаем его стоимость, то, что сможем узнать по этим данным? (Цену 1 м полотна или шерсти.)

4) Знаю, что купили 14 м полотна и 10м шерсти.

5) Могу узнать, сколько полотна купили за 280 р.

6) Действием вычитания.

4а) Знаю стоимость полотна (280 р.) и буду знать количество, за которое уплатили 280 р.

5а) Могу узнать цену полотна.

6а) Действием деления.

4б) Буду знать цену полотна и знаю его количество.

5б) Могу узнать стоимость полотна.

6б) Действием умножения.

4в) Буду знать стоимость полотна и знаю, что за полотно заплатили на 280 р. больше, чем за шерсть. Значит, за шерсть заплатили на 280 р. меньше.

5в) Могу узнать стоимость шерсти.

6в) Действием вычитания.

7. Составляю план решения: сначала действием вычитания узнаю, за какое количество полотна уплатили 280 р., затем действием деления узнаю цену полотна или шерсти, потом действием умножения узнаю стоимость полотна, затем действием вычитания узнаю стоимость шерсти.

8. Запишу решение по действиям с полным пояснением:

1) 14-10=4(м)- за столько полотна заплатили 280 р.;

2) 280:4=70(р.) - цена полотна (шерсти);

3) 70 14=980(р.) - стоимость полотна;

4) 980-280=700 (р.) - стоимость шерсти.

Ответ: 980 р. и 700 р.

На основе анализа содержания задачи и деятельности по её решению можно увидеть, что необходимые знания, умения и навыки у детей уже сформированы (знания связи между величинами цена, количество, стоимость и умение находить одну из них по двум значениям других величин) в процессе решения задач на нахождение четвёртого пропорционального и на пропорциональное деление. Однако в задачах данного типа дано не значение одной из переменных величин, а разность двух её значений, что и составляет проблему задачи (нужно найти цену, имея не значения стоимости и количества, а значения разности стоимостей и разности количеств).

В связи с этим на подготовительном этапе к введению задач данного типа необходимо предусмотреть специальные задания, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи:

1) Ученик купил по одинаковой цене 9 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку. Каких тетрадей ученик купил больше? За какие тетради он уплатил денег больше?

Ученик купил по одинаковой цене тетрадей в клетку на 4 больше, чем тетрадей в линейку, и уплатил за них на 16 р. больше, чем за тетради в линейку. Сколько стоила одна тетрадь? К первой задаче ученики выполняют чертёж, затем отвечают на поставленные вопросы (Ученик купил тетрадей в клетку на 4 тетради больше, чем в линейку; за тетради в клетку он уплатил больше, потому что он купил их больше, а цена одинаковая.). Далее выясняется, за сколько тетрадей в клетку он уплатил столько же, сколько за все тетради в линейку.

Как вы понимаете выражение «тетрадей в клетку купил на 4 больше, чем тетрадей в линейку»(тетрадей в клетку столько же, сколько в линейку и ещё 4). Покажите это на чертеже.

Что значит «уплатил за тетради в клетку на 16 р. больше»? (Уплатил за тетради в клетку столько же, сколько за тетради в линейку, и ещё 16 р.) Покажите это на чертеже.

За сколько тетрадей ученик уплатил 16 р.? (За 4 тетради.)

Значением какой величины является 16 р.? (16 р, - значение стоимости.)

Значением какой величины является 4 т.? (4 тетради - значение количества.)

Значит, нам известны значения двух величин - стоимости и количества - и знаем, что цена одинаковая. Что можно найти по этим данным? (Цену.) Каким действием? Учитель может предложить аналогичные задания из учебника, а также составленные им с другими величинами.

Ознакомление с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить разными путями: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав её из задачи на нахождение четвёртого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и другом случае работа над задачей ведётся по одному и тому же плану: выделение условия, требования задачи, её иллюстрации в виде краткой записи (в виде таблицы) и чертежа, затем разбор по существу, формальный разбор и т.д. (см. выше).

На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать задания аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида по аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решений. Полезно также выполнить задания по сравнению задач на пропорциональное деление и задач с соответствующими величинами на нахождение неизвестных по двум разностям.

Моршанск, 2016 год

Подготовила и провела:

учитель начальных классов

Карцова Л.В.

урок математики
на тему:

«Задачи на нахождение неизвестного по двум суммам»

Технологическая карта урока

Ход урока:

Организация начала урока.

Запомните все, что без точного счёта

Не сдвинется с места любая работа!

Мы с вами уже 4 год учимся математике, поэтому во многих вопросах, можно сказать, знатоки. Попробуйте свои знания доказать на сегодняшнем уроке.

2. Актуализация материала.

Итак, приготовьтесь знатоки решения задач, то есть - все!!! Но, как в известной игре «Что, где, когда», будем работать в команде. Помогайте знатоку, составляйте алгоритмы решения задач, а знаток обязательно запишет правильное решение по вашим подсказкам.

В 4 одинаковых банках 20 кг мёда. Сколько понадобится таких банок для 50 кг мёда?

Когда Юра купил 6 дисков по 15 рублей, у него ещё осталось 60 рублей. Сколько денег было у Юры до покупки?

На столе лежало 20 тетрадей. Сколько тетрадей убрали со стола, если их осталось в 4 раза меньше.

Рак ползёт со скоростью 18 м /мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы преодолеть расстояние в 54 метра?

Из 2 рулонов ткани длиной 36 м и 18 м сшили 27 одинаковых платьев. Сколько метров пошло на 1 платье?

3. Сообщение темы и целей урока.

Прочтите эпиграф к сегодняшнему уроку. «Всякая хорошо решённая задача доставляет умственное наслаждение» (Г.Гессе)

Я думаю, что вы уже догадались, какова цель урока. Сформулируйте её. Действительно, мы будем решать задачи уже известных нам видов и познакомимся с новым видом задач.

4. Устный счёт.

Вы, конечно, понимаете, что для решения любой задачи необходимы отличные навыки устного счёта. Итак, знатоки-счетоводы, приготовьтесь! Задание - «Цепочка-молчанка». Конечный результат запишите на листочках, которые лежат у вас на столах.

480: 8 + 180: 10X4-51: 3 + 9.

Работа над новым материалом.

Пришло время познакомиться с содержанием новой задачи. Внимание на экран (задача читается, иллюстрируется, заносится в таблицу).

Прочитайте на экране название данной задачи, так как в ней есть подсказка.

Расскажите задачу по более привычной нам краткой записи (на доске).

Давайте разберёмся, что же это за 2 суммы, которые помогут решить нам задачу.

Поможет решить эту задачу, как и всегда, алгоритм, который написан у вас на листках. Но последовательность шагов в нём нарушена. Пообщайтесь в парах и восстановите правильную последовательность, (чтение алгоритма учащимися).

Запишите решение задачи, пользуясь правильным алгоритмом. (1 у доски)

Проблемная ситуация.

Молодцы! Вы хорошо освоили алгоритм решения новой задачи, но... Оказывается, есть немного другой путь (способ) решения этой же задачи. Наверное, групповая работа поможет найти этот способ. Пользуясь тем же алгоритмом, запишите 2 способ решения, вы же сегодня - знатоки!

Закрепление материала.

Задача № 2 со страницы 77 представлена у меня в таблице. Решит у доски её тот, кто найдёт ошибку в моей таблице. (нахождение ошибки и запись решения без алгоритма).

Я думаю, что мы стали уже знатоки и в решении задач на нахождение неизвестного по двум суммам. Я права? Тогда докажите и решите задачу в уме (решение задачи по компьютеру).

Подведение итогов, рефлексия.

Цели:

образовательная: продолжить работу по формированию умения решения задач на нахождение неизвестного по двум разностям с использованием графической модели задачи;

развивающая: развивать мышление, математическую речь, зоркость, память, внимание;

воспитательная: воспитывать самостоятельность, находчивость, аккуратность, инициативу.

1. Сообщение темы.

На доске записан текст задачи.

В один магазин привезли 18 одинаковых бидонов молока, а в другой – 12 таких же бидонов. В первый магазин привезли на 228 л молока больше, чем во второй. Сколько литров молока привезли в каждый магазин?

Прочитайте запись на доске и определите тему урока.

(На предыдущих уроках мы рассматривали решение задач на нахождение неизвестного по двум разностям. Сегодня мы продолжим работу над решением задач данного типа.)

2. Решение задач.

Прочитайте задачу;

Что известно в задаче?

Как понимаете одинаковые бидоны?

Что можете сказать о вопросе?

2) Графическая модель.

К доске пойдет…и составит графическую модель рассуждения.

3) Анализ задачи.

Рассуждай. Класс внимательно слушает, т.к. схему анализа задачи будете чертить самостоятельно.

(Чтобы ответить на первый главный вопрос задачи “Сколько литров молока привезли в первый магазин?” надо знать: сколько литров молока в первом бидоне, я это не знаю, и сколько таких бидонов привезли в первый магазин, я это знаю 18.

А чтобы узнать “сколько литров молока в одном бидоне?” надо знать: на сколько больше литров молока привезли в первый магазин, я это знаю - на 228 л и на сколько больше бидонов молока привезли в первый магазин, я это не знаю. А чтобы узнать: на сколько больше бидонов привезли в первый магазин, чем во второй (в этих “лишних” бидонах и содержатся 228 литров молока) надо знать: сколько бидонов молока привезли в первый магазин, я это знаю 18, и сколько бидонов молока привезли во второй магазин, я это знаю 12.

4) Схема анализа задачи.

Теперь самостоятельно начертите схемы анализа задачи. Один человек за доской.

5) Решение задачи.

Решайте задачу самостоятельно.

6) Проверка

Запишет решение задачи выражением…

228: (18 – 12) * 18 = 684 (л)

228: (18 – 12) * 12 = 456 (л)

Объясняй.

(Первым действием я узнал…

Вторым действием я узнал: сколько литров молока в одном бидоне)

Стоп! Дети, задайте ему вопрос по существу! Какие данные условия задачи помогли тебе ответить на этот вопрос?

(В задаче сказано, что в первый магазин привезли 18 бидонов молока, а во второй – 12, и говорится, что в первый магазин привезли на 228 л молока больше. Если в первый магазин привезли на 228 л молока больше, то эти лишние 228 л молока и находятся в “лишних” бидонах. Отсюда я смог найти, сколько молока в одном бидоне.)

Третьим действием…

Кто последнее действие выполнил по-другому? А можно его было выполнить по-другому? Как? А почему вы не стали выполнять по-другому?

(Я руководствовался своей схемой анализа задачи.)

Прочитайте вторую задачу

В один магазин привезли в одинаковых бидонах 684 л молока, а в другой – 456 л в таких же бидонах. В первый магазин привезли на 6 бидонов молока больше, чем во второй. Сколько бидонов молока привезли в каждый магазин?

Какие изменения надо внести в графическую модель и схему анализа задачи, чтобы она подходила ко второй задаче.

Составь графическую модель своего рассуждения.

Ваше мнение?

Как бы вы назвали вторую задачу по отношению к первой? (Обратной.)

Запишите решение этой задачи выражением.

У доски…

684: ((684 – 656) : 6) = 18 (б.)

656: ((684 – 656) : 6) = 12 (б.)

Ваше мнение?

Решение задачи с геометрическими величинами: длина, ширина, площадь.

На доске: Длина прямоугольника 12 см, что в три раза больше его ширины. Найти площадь этого прямоугольника.

Какие знания нам потребуются, чтобы решить эту задачу? (Знания нахождения площади.)

Как найти площадь? (Чтобы найти площадь, нужно длину умножить на ширину.)

Что мы знаем об этих величинах?

Зная это, как найдём ширину? Почему делением? (Если длина прямоугольника в три раза больше его ширины, то ширина в три раза меньше его длины.)

Смоделируй это.

Рассуждай. (Надо 12 разделить на 3 равные части и взять одну такую часть.)

Решаем самостоятельно. (12: 3) * 12 = 48 (см 2)

Проверка: чему равна площадь? (48 см 2)

Итак, чтобы грамотно выполнять все вычисления, которые встречаются в задачах, что мы должны хорошо знать? (Порядок выполнения действий.)

А что уметь выполнять? (Уметь выполнять арифметические действия с числами.)

3. Решение примеров.

Закрепим эти умения.

С этой целью самостоятельно вычислите значение выражения:

8014 – 132 * 54 + 44892: 36

Проверка:

1) расставить порядок действий;

2) объяснить вычислительный прием деления многозначного числа на двузначное;

3) назовите значение выражения;

4) ваше мнение.

4. Итог урока.

Итак, что нам помогает в решении задач?

1. Прочные вычислительные навыки.

2. Графическая модель задачи. Какую помощь она оказывает?

1) Помогает видеть зависимость между искомым и данными задачи.

2) Помогает составить схему анализа задачи.

3) Помогает проанализировать задачу, опираясь на схему анализа.

4) Помогает составить план решения задачи и решить её.

1. Из двух рулонов ткани длиной 56 м и 40 м сшили 24 одинаковых плаща. Сколько плащей сшили из каждого рулона?

2. За 6 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линейку по одинаковой цене заплатили 84 р. Сколько рублей заплатили за тетради в клетку и сколько - за тетради в линейку?

3. Выполни действия

35:4-91:7*6=11 (329+127) : 8 -105:3=22
603:9+84:6*25=417 (900-156) : 6+31*4=248

4. Лыжнику нужно было пройти 50 км. В течение первых двух часов он шёл со скоростью 9 км/ч, а потом стал проходить по 8 км в час. За сколько часов лыжник прошёл весь путь?

5. Для новогодних подарков купили 6 кг мандаринов….

Дополни условие задачи так, чтобы она решилась следующим образом:

1) 45*6= 270 р. - заплатили за мандарины.
2) 510-270=240 р. - заплатили за печенье.
3) 240:8=30 р. - стоит 1 кг печенья.

6. Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Объясни, почему площадь прямоугольника уменьшается в 4 раза.

7. Сравни.

200 к. и 2 р. 167 см и 16 дм 309 м и 39 дм
500 г и 5 кг 948 м и 10 км 2 ч 8 мин и 128 мин

8. Нарисуй в тетради прямоугольник, имеющий такую же площадь, как и данная фигура. Попробуй найти 2 варианта.

9. Лодка проплыла от пристани 8 км по течению реки, потом 14 км против течения, а затем 12 км по течению. На какое расстоянии от пристани оказалась лодка? Построй схематический чертёж и реши задачу.

1. (Устно.) Что больше и во сколько раз:

разность чисел 10 и 8 или их произведение;
частное чисел 25 и 5 или их сумма;
сумма чисел 56 и 40 или их разность;
частное чисел 36 и 6 или их произведение?

2. В одном мешке было 55 кг картофеля, а в другом - 35 кг. Весь картофель расфасовали поровну в 18 пакетов. Сколько пакетов понадобилось для расфасовки каждого мешка?

3. За 3 батона белого хлеба и 2 буханки чёрного хлеба заплатили 56 р. Сколько рублей заплатили за белый хлеб и сколько - за чёрный, если один батон стоит 12 р.?

4. Вычисли удобным способом.

14*(5*9) 28*(2*5) 45*(7*2) 19*(3*10)
9*(4*25) 10*(29*2) 18*(10*4) 10*(2*36)

5. За день в магазине продали цветные карандаши и фломастеры, всего 196 штук. Карандаши были в 8 коробках, по 12 штук в каждой, а фломастеры - в 10 коробках, поровну в каждой. Сколько фломастеров было в каждой коробке?

6. Выполни действия.

320-306:6=269 610-497:7+48=587 (700-285:3*4) :2=160
536: (68:17)=134 (150-125:5) *8=1000 27*(840:7-19*6)=162

7. Заполни пропуски в таблице, выполнив вычисления.

Сравни результаты в третьей и четвёртой строках таблицы. Какой вывод можно сделать? При каких размерах прямоугольник имеет наибольшую площадь? Как называется такой прямоугольник?

8. Из Санкт-Петербурга в Москву выехали одновременно три автомобиля. Первый из них прибыл в Москву через 8 ч 45 мин, второй - на 2 ч 56 мин позднее первого, а третий - на 1 ч 48 мин раньше второго. Сколько времени был в пути третий автомобиль?

9. (Задача Л.Н.Толстого.) Продавец продаёт шапку, которая стоит 10 р. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 р. Продавец отсылает своего помощника с этими деньгами к соседке разменять. Помощник прибегает и отдаёт 10 р. +10 р. + 5 р. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 р. Через какое-то время приходит соседка говорит, что полученная ею банкнота 25 р. фальшивая и требует вернуть ей её деньги. Ну что делать? Продавец возвращает ей деньги. На сколько рублей обманули продавца?

Главная » Словарный запас » Нахождение суммы по двум разностям. Литература для самостоятельной работы