Физическое и математическое моделирование

Так как понятие «моделирование» является достаточно общим и универсальным, к числу способов моделирования относятся столь различные подходы как, например, метод мембранной аналогии (физическое моделирование) и методы линейного программирования (оптимизационное математическое моделирование). Для того чтобы упорядочить употребление термина «моделирование» вводят классификацию различных способов моделирования. В наиболее общей форме выделяются две группы различных подходов к моделированию, определяемых понятиями «физическое моделирование» и «идеальное моделирование».

Физическое моделирование осуществляется путем воспроизведения исследуемого процесса на модели, имеющей в общем случае отличную от оригинала природу, но одинаковое математическое описание процесса функционирования.

Совокупность подходов к исследованию сложных систем, определяемая термином «математическое моделирование », является одной из разновидностей идеального моделирования. Математическое моделирование основано на использовании для исследования системы совокупности математических соотношений (формул, уравнений, операторов и т.д.), определяющих структуру исследуемой системы и ее поведение.

Математическая модель - это совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д.), отражающих важнейшие для исследователя свойства технического объекта, процесса или системы.

Математическое моделирование - это процесс создания математической модели и оперирования ею с целью получения новой информации об объекте исследования.

Построение математической модели реальной системы, процесса или явления предполагает решение двух классов задач, связанных с построением «внешнего» и «внутреннего» описания системы. Этап, связанный с построением внешнего описания системы называется макроподходом. Этап, связанный с построением внутреннего описания системы называется микроподходом.

Макроподход - способ, посредством которого производится внешнее описание системы. На этапе построения внешнего описания делается упор на совместное поведение всех элементов системы, точно указывается, как система откликается на каждое из возможных внешних (входных) воздействий . Система рассматривается как «черный ящик», внутреннее строение которого неизвестно. В процессе построения внешнего описания исследователь имеет возможность, воздействуя различным образом на вход системы, анализировать ее реакцию на соответствующие входные воздействия. При этом степень разнообразия входных воздействий принципиальным образом связана с разнообразием состояний выходов системы. Если на каждую новую комбинацию входных воздействий система реагирует непредсказуемым образом, испытание необходимо продолжать. Если на основании полученной информации может быть построена система, в точности повторяющая поведение исследуемой, задачу макроподхода можно считать решенной.

Итак, метод «черного ящика» состоит в том, чтобы выявить, насколько это возможно, структуру системы и принципы ее функционирования, наблюдая только входы и выходы. Подобный способ описания системы некоторым образом аналогичен табличному заданию функции.

При микроподходе структура системы предполагается известной, то есть предполагается известным внутренний механизм преобразования входных сигналов в выходные. Исследование сводится к рассмотрению отдельных элементов системы. Выбор этих элементов неоднозначен и определяется задачами исследования и характером исследуемой системы. При использовании микроподхода изучается структура каждого из выделенных элементов, их функции, совокупность и диапазон возможных изменений параметров.

Микроподход - способ, посредством которого производится внутреннее описание системы, то есть описание системы в функциональной форме.

Результатом этого этапа исследования должен явиться вывод зависимостей, определяющих связь между множествами входных параметров, параметров состояния и выходных параметров системы. Переход от внешнего описания системы к ее внутреннему описанию называют задачей реализации.

Моделирование

Моделирование и его виды

Моделирование является одним из основных методов современных научных исследований.

Моделирование – это исследование объектов познания на их моделях, построение и изучение моделей реально существующих предметов, явлений и конструируемых объектов. Это воспроизведение изучаемых свойств объекта или явления с помощью модели при ее функционировании в определенных условиях. Модель – это образ, структура или материальное тело, которые воспроизводят с той или иной мерой сходства явление или объект. Модель изоморфна (сходственна, аналогична) с натурой (оригиналом), обобщением которой она является. Она воспроизводит наиболее характерные признаки изучаемого объекта, выбор которых определяется целью исследования. Модель всегда приближенно отображает объект или явление. В противном случае модель превращается в объект и теряет свое самостоятельное значение.

Для получения решения модель должна быть достаточно простой и в то же время она должна отражать существо задачи, чтобы найденные с ее помощью результаты имели смысл.

В процессе познания человек всегда, более или менее явно и сознательно, строит модели ситуаций окружающего мира и управляет своим поведением в соответствии с выводами, полученными им при изучении модели. Модель всегда отвечает конкретной цели и ограничена рамками поставленной задачи. Модель системы управления для специалиста по автоматике коренным образом отличается от модели этой же системы для специалиста по надежности. Моделирование в конкретных науках связывают с выяснением (или воспроизведением) свойств какого-либо объекта, процесса или явления с помощью другого объекта, процесса или явления, причем обычно предполагается соблюдение определенных количественных соотношений между моделью и оригиналом. Различают три вида моделирования.

1. Математическое (абстрактное) моделирование основывается на возможности описания изучаемого процесса или явления на языке некоторой научной теории (чаще всего на математическом).

2. Аналоговое моделирование основывается на изоморфизме (сходственности) явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими уравнениями. Примером может служить изучение гидродинамического процесса с помощью исследования электрического поля. Оба эти явления описываются дифференциальным уравнением Лапласа в частных производных, решение которого обычными методами возможно только для частных случаев. В то же время экспериментальные исследования электрического поля намного проще соответствующих исследований в гидродинамике.

3. Физическое моделирование состоит в замене изучения некоторого объекта или явления экспериментальным исследованием его модели, имеющей ту же физическую природу. В науке любой эксперимент, проводимый в целях выявления тех или иных закономерностей изучаемого явления или для проверки правильности и границ применимости теоретических результатов, фактически представляет собой моделирование, так как объект исследования – конкретная модель (образец), обладающая определенными физическими свойствами. В технике физическое моделирование используют тогда, когда трудно провести натурный эксперимент. В основу физического моделирования положены теории подобия и анализ размерностей. Необходимым условием реализации этого вида моделирования является геометрическое подобие (подобие формы) и физическое подобие модели и оригинала: в сходственные моменты времени и в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих явления, для оригинала должны быть пропорциональны тем же значениям для модели. Это позволяет производить соответствующий пересчет полученных данных.

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.

В настоящее время наибольшее распространение получили математические модели, реализуемые на ЭВМ. При построении данных моделей можно выделить следующие этапы:

1. Создание или выбор модели, соответствующей поставленной задаче.

2. Создание условий функционирования модели.

3. Эксперимент на модели.

4. Обработка результатов.

Рассмотрим более подробно перечисленные выше этапы.

На математическое описание исследуемого объекта (процесса) на первом этапе накладывается ряд требований: разрешимость используемых уравнений, соответствие математического описания изучаемому процессу с допустимой точностью, адекватность принятых допущений, практическая целесообразность использования модели. Степень удовлетворения этих требований определяет характер математического описания и является наиболее сложной и трудоемкой частью при создании модели.

Рис. 2.1. Схема процесса построения математической модели

Реальные физические явления, как правило, очень сложны, и их никогда нельзя проанализировать точно и в полном объеме. Построение модели всегда связано с компромиссом, т.е. с принятием допущений при которых справедливы уравнения модели (рис. 2.1). Таким образом, чтобы с помощью модели можно было получить имеющие смысл результаты, она должна быть достаточно детальной. В то же время она должна быть достаточно простой, чтобы можно было получить решение при ограничениях налагаемых на результат такими факторами как сроки, быстродействие ЭВМ, квалификация исполнителей и т. д.

Математическая модель, отвечающая требованиям первого этапа моделирования, обязательно содержит в себе систему уравнений основного определяющего процесса или процессов. Только такая модель пригодна для моделирования. Это свойство лежит в основе отличия моделирования от расчета и определяет возможность использования модели для моделирования. Расчет, как правило, базируется на основе зависимостей, полученных ранее, при исследованиях процесса, и поэтому отображает определенные свойства объекта (процесса). Следовательно, методику расчета можно назвать моделью. Но функционирование такой модели воспроизводит не изучаемый процесс, а изученный. Очевидно, понятия моделирования и расчета четко не разграничиваются, потому что и при математическом моделировании на ЭВМ алгоритм модели сводится к расчету. Но в этом случае расчет носит вспомогательный характер, так как результаты расчета позволяют получить изменение количественных характеристик модели. Самостоятельного значения, какое имеет моделирование, в данном случае расчет иметь не может.

Рассмотрим второй этап моделирования. Модель в ходе эксперимента так же как и объект, функционирует в определенных условиях, которые задаются программой эксперимента. Условия моделирования не входят в понятие модели, поэтому с одной и той же моделью можно проводить различные эксперименты при задании различных условий моделирования. Математическому описанию условий функционирования модели, несмотря на кажущуюся однозначность толкования, необходимо уделять серьезное внимание. При описании математической модели некоторые несущественные процессы следует заменять экспериментальными данными и зависимостями или трактовать их упрощенно. Если эти данные не будут полностью соответствовать предполагаемым условиям функционирования модели, то результаты моделирования могут быть неверными.

После получения математического описания модели и условий функционирования составляют алгоритмы расчетов, блок-схемы программ для ЭВМ, а затем и программы.

В процессе отладки программ их составные части и отдельные программы в целом подвергаются всесторонней проверке для выявления ошибки или недостаточности математического описания. Проверку производят путем сопоставления полученных данных с известными фактическими данными. Окончательной проверкой является контрольный эксперимент, который осуществляют при одинаковых условиях с проведенным ранее экспериментом непосредственно на объекте. Совпадение с достаточной точностью результатов эксперимента на модели и эксперимента на объекте служит подтверждением соответствия модели и объекта (адекватности модели реальному объекту) и достоверности результатов последующих исследований.

Отлаженная и отвечающая принятым положениям программа моделирования на ЭВМ имеет все необходимые элементы для проведения самостоятельного эксперимента на модели (третий этап), который называют также вычислительным экспериментом .

Четвертый этап математического моделирования – обработка результатов принципиально не отличается от обработки результатов обычного эксперимента.

Более подробно рассмотрим широко распространенное в настоящее время понятие вычислительного эксперимента. Вычислительным экспериментом называется методология и технология исследований, основанные на применении прикладной математики и ЭВМ как технической базы при использовании математических моделей. В таблице приведена сравнительная характеристика натурного и вычислительного экспериментов. (Натурный эксперимент поводится в естественных условиях и на реальных объектах).

Сравнительная характеристика натурного и вычислительного экспериментов

Таблица 2.1

На основе математического моделирования и методов вычислительной математики создались теория и практика вычислительного эксперимента. Рассмотрим подробнее этапы технологического цикла вычислительного эксперимента.

1. Для исследуемого объекта строится модель, формулируются допущения и условия применимости модели, границы, в которых будут справедливы полученные результаты; модель записывается в математических терминах, как правило, в виде дифференциальных или интегродифференциальных уравнений; создание математической модели проводится специалистами, хорошо знающими данную область естествознания или техники, а также математиками, представляющими себе возможности решения математической задачи.

2. Разрабатывается метод расчета сформулированной математической задачи. Эта задача представляется в виде совокупности алгебраических формул, по которым должны вестись вычисления и условия, показывающие
последовательность применения этих формул; набор этих формул н условий носит название вычислительного алгоритма. Вычислительный эксперимент имеет многовариантный характер, так как решения поставленных задач часто зависят от многочисленных входных параметров. Тем не менее каждый конкретный расчет в вычислительном эксперименте проводится при фиксированных значениях всех параметров. Между тем в результате такого эксперимента часто ставится задача определения оптимального набора параметров. Поэтому при создании оптимальной установки приходится проводить большое число расчетов однотипных вариантов задачи, отличающихся значением некоторых параметров. При организации вычислительного эксперимента обычно используются эффективные численные методы.

3. Разрабатываются алгоритм и программа решения задачи на ЭВМ. Программирование решений определяется теперь не только искусством и опытом исполнителя, а перерастает в самостоятельную науку со своими принципиальными подходами.

4. Проведение расчетов на ЭВМ. Результат получается в виде некоторой цифровой информации, которую далее необходимо будет расшифровать. Точность информации определяется при вычислительном эксперименте достоверностью модели, положенной в основу эксперимента, правильностью алгоритмов и программ (проводятся предварительные «тестовые» испытания).

5. Обработка результатов расчетов, их анализ и выводы. На этом этапе могут возникнуть необходимость уточнения математической модели (усложнения или, наоборот, упрощения), предложения по созданию упрощенных инженерных способов решения и формул, дающих возможности получить необходимую информацию более простым способом.

Возможности вычислительного эксперимента шире, чем эксперимента с физической моделью, так как получаемая информация более подробная. Математическая модель может быть сравнительно просто уточнена или расширена. Для этого достаточно изменить описание некоторых ее элементов. Кроме того, несложно выполнить математическое моделирование при различных условиях моделирования, что позволяет получить оптимальное сочетание конструкционных параметров, показателей работы объекта (характеристик процесса). Для оптимизации указанных параметров целесообразно использовать методику планирования эксперимента, подразумевая под последним вычислительный эксперимент.

Вычислительный эксперимент приобретает исключительное значение в тех случаях, когда натурные эксперименты и построение физической модели оказываются невозможными. Особенно ярко можно проиллюстрировать значение вычислительного эксперимента при исследовании масштабов современного воздействия человека на природу. То, что принято называть климатом – устойчивое среднее распределение температуры, осадков, облачности и т. д., – представляет собой результат сложного взаимодействия грандиозных физических процессов, протекающих в атмосфере, на поверхности земли и в океане. Характер и интенсивность этих процессов в настоящее время изменяются значительно быстрее, чем в сравнительно, близком геологическом прошлом в связи с воздействием загрязнения воздуха индустриальными выбросами углекислого газа, пыли н т. д. Климатическую систему можно исследовать, строя соответствующую математическую модель, которая должна описывать эволюцию климатической системы, учитывающей взаимодействующие между собой атмосферы океана и суши. Масштабы климатической системы настолько грандиозны, что эксперимент даже в одном каком-то регионе чрезвычайно дорог, не говоря уже о том, что вывести такую систему из равновесия было бы опасно. Таким образом, глобальный климатический эксперимент возможен, но не натурный, а вычислительный, проводящий исследования не реальной климатической системы, а ее математической модели.

В науке и технике известно немало областей, в которых вычислительный эксперимент оказывается единственно возможным при исследовании сложных систем.

Похожая информация.

Так как понятие «моделирование» является достаточно общим и универсальным, к числу способов моделирования относятся столь различные подходы как, например, метод мембранной аналогии (физическое моделирование) и методы линейного программирования (оптимизационное математическое моделирование). Для того чтобы упорядочить употребление термина «моделирование» вводят классификацию различных способов моделирования. В наиболее общей форме выделяются две группы различных подходов к моделированию, определяемых понятиями «физическое моделирование» и «идеальное моделирование».

Физическое моделирование осуществляется путем воспроизведения исследуемого процесса на модели, имеющей в общем случае отличную от оригинала природу, но одинаковое математическое описание процесса функционирования.

Совокупность подходов к исследованию сложных систем, определяемая термином «математическое моделирование », является одной из разновидностей идеального моделирования. Математическое моделирование основано на использовании для исследования системы совокупности математических соотношений (формул, уравнений, операторов и т.д.), определяющих структуру исследуемой системы и ее поведение.

Математическая модель - это совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д.), отражающих важнейшие для исследователя свойства технического объекта, процесса или системы.

Математическое моделирование - это процесс создания математической модели и оперирования ею с целью получения новой информации об объекте исследования.

Построение математической модели реальной системы, процесса или явления предполагает решение двух классов задач, связанных с построением «внешнего» и «внутреннего» описания системы. Этап, связанный с построением внешнего описания системы называется макроподходом. Этап, связанный с построением внутреннего описания системы называется микроподходом.

Макроподход - способ, посредством которого производится внешнее описание системы. На этапе построения внешнего описания делается упор на совместное поведение всех элементов системы, точно указывается, как система откликается на каждое из возможных внешних (входных) воздействий . Система рассматривается как «черный ящик», внутреннее строение которого неизвестно. В процессе построения внешнего описания исследователь имеет возможность, воздействуя различным образом на вход системы, анализировать ее реакцию на соответствующие входные воздействия. При этом степень разнообразия входных воздействий принципиальным образом связана с разнообразием состояний выходов системы. Если на каждую новую комбинацию входных воздействий система реагирует непредсказуемым образом, испытание необходимо продолжать. Если на основании полученной информации может быть построена система, в точности повторяющая поведение исследуемой, задачу макроподхода можно считать решенной.

Итак, метод «черного ящика» состоит в том, чтобы выявить, насколько это возможно, структуру системы и принципы ее функционирования, наблюдая только входы и выходы. Подобный способ описания системы некоторым образом аналогичен табличному заданию функции.

При микроподходе структура системы предполагается известной, то есть предполагается известным внутренний механизм преобразования входных сигналов в выходные. Исследование сводится к рассмотрению отдельных элементов системы. Выбор этих элементов неоднозначен и определяется задачами исследования и характером исследуемой системы. При использовании микроподхода изучается структура каждого из выделенных элементов, их функции, совокупность и диапазон возможных изменений параметров.

Микроподход - способ, посредством которого производится внутреннее описание системы, то есть описание системы в функциональной форме.

Результатом этого этапа исследования должен явиться вывод зависимостей, определяющих связь между множествами входных параметров, параметров состояния и выходных параметров системы. Переход от внешнего описания системы к ее внутреннему описанию называют задачей реализации.

Задача реализации заключается в переходе от внешнего описания системы к ее внутреннему описанию. Задача реализации представляет собой одну из важнейших задач в исследовании систем и, по существу, отражает абстрактную формулировку научного подхода к построению математической модели. В такой постановке задача моделирования заключается в построении множества состояний и вход-выходного отображения исследуемой системы на основе экспериментальных данных. В настоящее время задача реализации решена в общем виде для систем, у которых отображение вход-выход линейно. Для нелинейных систем общего решения задачи реализации пока не найдено.

Поэты знают – все похоже на все. На этом положении базируется творчество метафор:

В саду горит костер рябины красной,

Но никого не может он согреть.

На этом же положении базируется моделирование. Моделирование – это построение и исследование моделей. В свою очередь моделью называется некоторая система, исследуя которую получают информацию о другой системе.

С первого взгляда это кажется нонсенсом. Можно ли, разглядывая один предмет, получить представление о другом предмете. Где то море, а где та дача?

Между тем, чтобы посмотреть на себя со стороны, мы пользуемся зеркалом. При этом свое отражение в зеркальном стекле мы отождествляем с собой. Хотя наше отражение кое в чем и отличается от оригинала. Например, правое и левое в зеркале меняется местами. Но мы почти автоматически делаем поправку на это не существенное в данном случае различие, и пользуемся зеркалом к своей пользе и вящему удобству. Все мальчики отходят от зеркала чистыми и причесанными. А девочки вообще красавицы!

Модель, метафорически выражаясь, и есть такое зеркало, приставленное к изучаемому предмету.

Создавая модель, мы решаем, какие свойства изучаемой системы для нас важны, а какие – второстепенны. Например, при исследовании крыльев летательных аппаратов в аэродинамической трубе, нам важна их форма и материал, из которого они изготовлены. Цвет же крыльев в данном случае несущественен. Хотя при расчете видимости самолета цвет его плоскостей будет, пожалуй, самой важной информацией.

Определившись с главными и не главными свойствами моделируемой системы или объекта, мы устанавливаем определенные соотношения между свойствами системы и ее модели. Например, если размер модели дома вдвое меньше размера реального дома, объем, а следовательно, вес модели будет в восемь раз меньше реального.

Затем мы начинаем исследование модели и определяем различные интересующие нас соотношения между параметрами. Например, при какой скорости воздушного потока начнутся вибрации крыла. Это – формулировка проблемы флаттера, колебаний летательного аппарата, неожиданно возникающих при определенных значениях скорости воздушного потока, обтекающего крыло. Без решения этой проблемы самолеты не смогли бы летать с высокими скоростями. Чтобы решить ее пришлось наблюдать в аэродинамической трубе разрушение большого количества моделей крыльев. Здесь мы сразу видим в чем достоинства моделирования. Мы испытываем на прочность не дорогой самолет, а дешевую модель, пересчитывая свойства модели в свойства моделируемого реального самолета. Экономия средств, а главное, летчики-испытатели не должны рисковать жизнью.

Другая область применения моделей – сопротивление материалов и строительная механика. Насколько прочной должна быть сталь для моста? Какой толщины делать несущие колонны, чтобы здание не обрушилось? Можно ли построить небоскреб из кирпича? Здесь моделью реального материала является образец, подвергаемый испытаниям на специальных испытательных стендах. Прочностные характеристики, полученные по результатам испытаний, пересчитываются в прочностные характеристики реальных деталей машин или зданий.

А при «заселении» нового здания тоже не обойтись без моделирования. Для того, чтобы оптимально расставить мебель в комнатах, никто не таскает туда-сюда тяжелые столы и громоздкие холодильники. Все предметы моделируются небольшими бумажными прямоугольничками, которые перемещаются по поверхности бумажного листа с изображенным на нем планом помещения.

Да и в медицине мы не обходимся без моделирования. Ни один человек в точности на другого не похож. Вместе с тем, у всех человеческих организмов есть достаточно сходства, как в «деталях», так и в «функциях». Медик изучает анатомию по одному скелету, а иногда даже по модели скелета, и понимает, как устроены все люди. Психолог изучает, как конкретный человек реагирует на определенные раздражители, а потом делает общие выводы касательно поведения всех людей.

Моделирование бывает двух видов – математическое и физическое. При математическом моделировании исследуются системы соотношений, описывающих процессы, протекающие в моделируемом объекте. Соотношения могут описываться уравнениями, зачастую достаточно сложными, которые выводятся на основе теоретической модели исследуемого процесса или исследуемой системы. Но математические модели могут быть также и вероятностными. В таких моделях изменения входных параметров определяют поведение выходных параметров не жестко, а с некоторой долей вероятности.

Математическая модель – это всегда компромисс между реальной сложностью исследуемой системы и простотой, требуемой для его описания. Не всегда имеются «качественные» теории, позволяющие точно рассчитать, что происходит, например, при падении напряжения в больших электросетях. Да даже поведение потока воды, спускаемой в унитазе в зависимоти от его формы – серьезная теоретическая проблема.

При физическом моделировании изучаются свойства моделей, которые по физическим свойствам сходны с оригиналами. Например, при краш-тестах автомобилей множество разбиваемых автомобилей моделирует поведение любого автомобиля, который, в конце концов, будет выпущен на дорогу.

Исследования физических моделей производится на реальных установках или испытательных стендах. Результаты испытаний переводятся в реальные результаты с помощью расчетов, основанных на специальном математическом аппарате, который называется теорией подобия. Примером испытания физических моделей являются уже описанные испытания авиационных моделей в аэродинамической трубе. Или расчет плотины гидроэлектростанции. Недостатком физического моделирования является относительная трудоемкость создания и испытания моделей и меньшая универсальность метода физического моделирования.

Но в любом случае, физическое и математическое моделирование, дополняя друг друга, позволяют изменять наш мир в желаемом направлении.

ВИДЫ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ

Химический реактор - устройство, предназначенное для про­ведения в нем химических превращений.

Химический реактор - понятие обобщенное, относится к реакто­рам, колоннам, башням, автоклавам, камерам, печам, контактным ап­паратам, полимеризаторам, гидрогенизаторам, окисли­телям и другим аппаратам, названия которых происходят из-за их на­значения или даже внешнего вида. Общий вид реактора и схемы неко­торых из них приведены на рис. 4.1.

Емкостной реактор / оснащен мешалкой, которая перемешивает реагенты (чаще жидкости, суспензии), помещаемые внутрь аппарата. Температурный режим поддерживается с помощью теплоносителя, циркулирующего в рубашке реактора или во встроенном в него тепло­обменнике. После проведения реакции продукты выгружают, и после очистки реактора цикл повторяется. Процесс периодический.

Емкостной реактор 2 является проточным, т.к. реагенты (чаще газ, жидкость, суспензия) непрерывно проходят через него. Газ барботирует через жидкость.

Колонный реактор 3 характеризуется отношением высоты к диаме­тру. которое для промышленных реакторов составляет 4-6 (в емкост­ных реакторах это отношение около 1). Взаимодействие газа и жидко­сти такое же, как в реакторе 2

Насадочный реактор 4оснащен кольцами Рашига или другими не­большими элементами - насадкой. Взаимодействуют газ и жидкость. Жидкость стекает по насадке, а газ движется между элементами на­садки.

Реакторы 5-8 в основном используют дня взаимодействия газа с твердым реагентом.

В реакторе 5твердый реагент неподвижен, газообразный или жид­кий реагент непрерывно проходит через него. Процесс - периодичес­кий по твердому веществу.

Реакторы 6~ 8 модифицированы таким образом, чтобы и по твердо­му реагенту процесс являлся непрерывным. Твердый реагент продви­гается вдоль вращающегося наклонно установленного круглого реак­тора били просыпается через реактор 7. В реакторе 8 газ подастся сни­зу под большим давлением так, что твердые частицы оказываются во взвешенном состоянии, образуя псевдоожиженный, или кипящий, слой, обладающий некоторыми свойствами жидкости.

Трубчатый реактор 9 по виду подобен кожухотрубному теплооб­меннику. Через трубки, в которых протекает реакция, проходят газообразные или жидкие реагенты. Обычно в трубки загружен катализа­тор. Температурный режим обеспечивают циркуляцией теплоносителя в межтрубном пространстве.

Реакторы 5 и 9 используют также для проведения процессов на твердом катализаторе.

Трубчатый реактор 10 часто применяют для осуществления высо­котемпературных гомогенных реакций, в том числе в вязкой жидкос­ти (например, пиролиз тяжелых углеводородов). Нередко такие реак­торы называют печами.

Многослойный реактор 11 оснащен системой, позволяющей ох­лаждать или нагревать реагент, находящийся между несколькими сло­ями твердого вещества, выполняющего роль, например, катализатора. На рисунке показано охлаждение исходного газообразного вещества холодным газом, введенным между верхними слоями катализатора, и теплоносителем через систему теплообменников, помещенных между другими слоями катализатора.

Многослойный реактор 12 предусмотрен для проведения в нем га­зожидкостных процессов.

Приведенные на рис. 4.1 схемы отображают лишь часть примяеых в промышленности реакторов. Однако проведенная далее систе­матизация конструкций реакторов и протекающих процессов, позво­ляет разобраться и провести исследование в любом из них.

Для всех реакторов характерны общие структурные элементы, представленные в реакторе на рис. 4.2, аналогичном 11 -му на рис. 4.1.

Реакционную зону 7, в которой протекает химическая реакция, представляют несколько слоев катализатора. Она есть во всех реакто­рах: в реакторах 1-3 на рис. 4.1 - это слой жидкости, в реакторах 4, 5, 7 - слой насадки или твердого компонента, в реакторах 6, 8 - часть объема реактора с твердым компонентом, в реакторах 9, 10 - внутрен­ний объем трубок, где протекает реакция.

Исходная реакционная смесь подается через верхний штуцер. Что­бы обеспечить равномерно распределенное прохождение газа через реакционную зону, обуславливающее однородный контакт реагентов, установлен распределитель потока. Эго - устройство ввода 2. В реакто­ре 2 на рис. 4.1 распределителем газа является барботер, в реакторе 4 - разбрызгиватель.

Между первым сверху и вторым слоями два потока смешиваются в смесителе 3. Между вторым и третьим слоями помещен теплообмен­ник 4. Эти структурные элементы предназначены для изменения со­става и температуры потока между реакционными зонами. Теплооб­мен с реакционной зоной (отвод теплоты, выделяющейся в результате протекания экзотермических реакций или подогрев реагирующей смеси) осуществляется через поверхность встроенных теплообменни-

ков или через внутреннюю поверхность рубашки реактора (аппарат 1 на рис. 4.1), либо через стенки труб в реакторах Р, 10. Реактор может быть оснащен устройствами разделения потоков.

Продукты выводятся через выходное устройство 5.

В теплообменниках и устройствах ввода, вывода, смешения, разде­ления, распределения потоков протекают физические процессы. Хи­мические реакции осуществляются в основном в реакционных зонах, которые будут дальнейшим объектом исследования. Процесс, проис­ходящий в реакционной зоне, представляет собой совокупность част ­ных этапов, которые схематически показаны на рис. 4.3 для каталити­ческого и газожидкостного взаимодействия.

Рис. 4.3, а представляет схему реакционного процесса с участием катализатора, через неподвижный слой которого проходит общий

(конвективный) поток газообразных реагентов (7). Реагенты диффун­дируют к поверхности зерен (2) и проникают в поры катализатора (3 ), на внутренней поверхности которых протекает реакция (4 ). Образую­щиеся продукты реакции обратным путем отводятся в поток. Выделя­ющаяся в результате химического превращения теплота за счет тепло­проводности переносится по слою (5), а от слоя через стенку - к хла­дагенту (б). Возникающие градиенты концентраций и температуры вызывают дополнительные потоки теплоты и вещества (7) к основно­му конвективному движению реагентов в слое.

На рис. 4.3, б представлен процесс в слое жидкости, через который барботирует газ. Между пузырями (/) газа и жидкостью происходит массообмен реагентами (2 ). Динамика жидкости складывается из дви­жения около пузырей (.?) и циркуляции в масштабе слоя (4). Первое - подобно турбулентной диффузии, второе аналогично циркуляционно­му конвективному движению жидкости через реакционную зону. В жидкости и, в общем случае, в газе протекает химическое превраще­ние (5).

Приведенные примеры показывают сложную структуру процессов, протекающих в реакционной зоне. Если учесть множество схем и кон­струкций существующих реакторов, то разнообразие процессов в них многократно возрастает". Необходим научный метод, позволяющий си­стематизировать это многообразие, найти общность в нем, выработать систему представлений о закономерностях явлений и связей между ними, т.е. создать теорию химических процессов и реакторов. Такой научный метод рассмотрен далее.

4. Использование методов и принципов системного исследования при разработке ХТС

4.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И РЕАКТОРОВ

Модель и моделирование. Моделирование - метод исследова­ния объекта (явления, процесса, устройства) на модели - давно исполь­зуется в различных областях науки и техники с целью исследования са­мого объекта исследованием его модели. Полученные свойства моде­ли переносят на свойства моделируемого объекта.

Модель - специально созданный для изучения объект любой природы, более простой, чем исследуемый, по всем свойствам, кроме тех, которые надо изучить, и способный заменить исследуемый объект так, чтобы по­лучить новую информацию о нем.

Учитываемые в каждой модели явления и параметры называются составляющими модели.

Для изучения разных свойств объекта может быть создано несколь­ко моделей, каждая из которых отвечает определенной цели исследо­вания, однако и одна модель может дать необходимую информацию о нескольких изучаемых параметрах, тогда можно говорить о единстве «цель-модель». Если модель отражает большее (или меньшее) число свойств, то она называется широкой (или узкой). Используемое иногда понятие «общая модель» как отражающая псе свойства объекта - бес­смысленно по сути.

Чтобы достигнуть поставленной цели, изучаемая модель должна быть подвергнута влиянию те же факторов, что и объект. Составляю­щие и параметры процесса, влияющие на изучаемые свойства, назы­ваются существенными составляющими модели. Изменение некоторых параметров может очень слабо влиять на свойства объекта. Такие со­ставляющие и параметры называют несущественными, и их можно не учитывать в построении модели. Соответственно, простая модель со­держит лишь существенные составляющие, иначе модель будет избы­точной, поэтому простая модель не есть простая по внешним призна­кам (например, несложная по структуре или конструкции). Но если в модель входят не все составляющие, существенно влияющие на изуча­емые свойства, то она будет неполной , и результаты ее исследования могут не точно предсказать поведение реального объекта. В этом и за­ключается творчество и научный подход к построению модели - выде­лить именно те явления и учесть именно тс параметры, которые явля­ются существенными для изучаемых свойств.

Кроме предсказания заданных свойств, модель должна давать ин­формацию о неизвестных свойствах объекта. Это может быть достиг­нуто лишь в том случае, если модель является простой и полной, тогда в ней могут проявиться новые свойства.

Физическое и математическое моделирование

Пример физическо­го моделирования - исследование обтекания самолета воздухом на модели в аэродинамической трубе.

В таком методе исследования устанавливается подобие явлений (процессов) в объектах разного масштаба, основанное на количест­венной связи между величинами, характеризующими эти явления. Та­кими величинами являются: геометрические характеристики объекта (форма и размеры); механические, теплофизические и физико-хими­ческие свойства рабочей среды (скорость движения, плотность, тепло­емкость, вязкость, теплопроводность и др.); параметры процесса (гид­равлическое сопротивление, коэффициенты теплопередачи, массооб- мена и др.). Развитая теория подобия устанавливает между ними опре­деленные отношения, называемыми критериями подобия. Обычно их обозначают начальными буквами имен известных ученых и исследо­вателей (например, Re - критерий Рейнольдса, Nu - критерий Нус- сельта, Аг - критерий Архимеда). Для характеристики какою-либо яв­ления (теплоотдачи, массопереноса и т.д.) устанавливаются зависимо­сти между критериями подобия - критериальные уравнения.

Физическое моделирование и теория подобия нашли широкое применение в химической технологии при исследовании тепловых и диффузионных процессов. Критериальные уравнения для расчета некоторых параметров тепло- и массопереноса буду!" использованы далее.

Попытки использования теории подобия для химических процес­сов и реакторов оказались неудачными вследствие ограниченности ее применения. Причины заключаются в следующем. Химическое пре­вращение зависит от явлений переноса теплоты и вещества, так как они создают соответствующие температурные и концентрационные условия в месте проведения реакции. В свою очередь, химическая ре­акция изменяет состав и теплосодержание (и, соответственно, темпе ратуру) реагирующей смеси, что изменяет перенос теплоты и вещест­ва. Таким образом, в реакционном технологическом процессе участву­ют химическая (превращение веществ) и физическая (перенос) его со­ставляющие. В аппарате небольшого размера выделяющаяся теплота реакции легко теряется и слабо влияет на скорость превращения, по­этому основной вклад в результаты процесса вносит химическая со­ставляющая. В аппарате же большого размера выделяющаяся теплота «запирается» в реакторе, существенно изменяя поле температур и, сле­довательно, скорость и результат протекания реакции. Следовательно

химические и физические составляющие реакционного процесса к це­лом зависят от масштаба.

Другой причиной является несовместимость условий подобия дня химических и физических составляющих процесса в реакторах разно­го масштаба. Например, превращение реагентов зависит от времени пребывания их в реакторе, равного отношению размера аппарата к скорости потока. Условия тепло- и массопсреноса, как следует из тео­рии подобия, зависят от критерия Рейнольдса, пропорционального произведению размера аппарата на скорость потока. Сделать одинако­выми в аппаратах разною масштаба и отношение, и произведение двух величин (в данном примере размера и скорости) невозможно.

Трудности масштабного перехода объекта к модели для реакцион­ных процессов удается преодолеть, используя математическое модели­рование, в котором модель и объект имеют разную физическую природу, но одинаковые свойства. Например, механический маятник и замкну­тый электрический контур, состоящий из конденсатора и катушки ин­дуктивности, имеют разную физическую природу, но одинаковое свойство: колебание (механическое и электрическое соответственно).

Свойства этих устройств описываются одним и тем же уравнением колебания:

.

Отсюда и название вида моделирования - математическое. Пара метры устройств (l M /g - для маятника и LC - для электрического кон­тура), можно подобрать таким образом, чтобы колебания по частоте были одинаковыми. Тогда электрический колебательный контур будет моделью маятника. Также можно исследовать решение приведенного уравнения и предсказать свойства маятника. Соответственно, матема­тические модели подразделяются на реальные , представленные неким физическим устройством, и знаковые, представленные математичес­кими уравнениями. Классификация моделей представлена на рис. 4.4.

Для построения реальной математической модели необходимо сна­чала создать знаковую, и обычно математическую модель отождеств­ляют с уравнениями, описывающими объект. Универсальной реаль­ной математической моделью является электронная вычислительная

машина (ЭВМ). По уравнениям, описывающим объект, ЭВМ «настра­ивают» (программируют), и ее «поведение» будет описываться этими уравнениями. Далее именно знаковую математическую модель будем называть математической моделью процесса.

О подобии математических моделей разных процессов. Как уже было показано, процессы движения механического маятника и изменения силы тока в электрическом контуре могут быть представлены одина­ковыми математическими моделями, т.е. описываться одним и тем же дифференциальным уравнением второго порядка. Решение этого уравнения есть функция х(/), которая указывает на колебательный вид движения этих разных по природе объектах. Из решения уравнения также можно определить изменение во времени положения маятника относительно вертикальной оси или изменение во времени направле­ния тока и его величины. Это - интерпретация свойств математичес­кой модели на показатели изучаемых объектов. 13 этом проявляется весьма полезная особенность математического моделирования. По­добными математическими моделями могут быть описаны разные процессы. Такая «универсальность» математической модели проявля­ется в исследовании, например, процессов в емкостном J и трубчатом 9 реакторах на рис. 4.1 (см. разд. 4.1), изучении взаимодействия газо­образного реагента с твердой частицей и гетерогенно -каталитического процесса (разд. 4.5.2 и 4.5.3), рассмотрении критических явлений на единичном зерне катализатора и в объеме реактора

Математическое моделирование химических происссов и реакторов . В

обшем виде математическое моделирование реакторов можно предста­вить в виде схемы, изображенной на рис. 4.5. Поскольку в различных по масштабу реакционных процессах влияние физических и химичес­ких составляющих (явлений) на реакционный процесс различное, выявление этих явлений и их взаимодействие - анализ - наиболее су­щественный момент в математическом моделировании химических процессов и реакторов. Следующим этапом является определение тер­модинамических и кинетических закономерностей для химических превращений (химические явления), параметров явлений переноса (физические явления) и их взаимодействие. Для этого используют данные экспериментальных исследовании, математическое моделирова­ние не исключает эксперимент, а активно его использует, но экспери­мент прецизионный, направленный на исследование закономерностей отдельных составляющих процесса. Результаты анализа процесса и ис­следования его составляющих позволяют построить математическую модель процесса (этап синтез па рис. 4.5) - уравнения, описывающие его. Модель создается на основе фундаментальных законов природы, например, сохранения массы и энергии, полученных сведений об от­дельных явлениях и установленных взаимодействиях между ними. Ис­следование модели направлено па изучение ее свойств, при этом исполь­зуется математический аппарат качественного анализа и вычислитель­ные методы, или, как говорят, проводится вычислительный экспери­мент. Полученные свойства модели далее следует интерпретировать как свойства изучаемого объекта, которым в данном случае является химический реактор. Например, математическую зависимость у(т) не­обходимо представить в виде изменения концентрации веществ по длине реактора или во времени, а несколько корней уравнения интер­претировать как неоднозначность режимов и т.д.

Тем нс менее, даже приблизительная схема процесса в слое катали­затора (рис. 4.3) включает довольно много составляющих, соответст­венно модель процесса будет довольно сложная, и сс анализ неоправ­данно усложнен. Для сложного объекта (процесса) используется спе­циальный подход к построению модели, заключающийся в его разде­лении на ряд более простых операций, различающихся масштабом. Например, в каталитическом процессе выделяются: реакция на по­верхности зерна, процесс на одиночном зерне катализатора и процесс в слое катализатора.

Каталитическая реакция - сложный многостадийный процесс, протекающий в масштабе размера молекул. Скорость реакции опреде­ляется условиями ее протекания (концентрация и температура) и не зависит от того, где такие условия созданы: в реакторе малого или большого размера, - т.е. не зависит от масштаба всего процесса. Изу

чение сложного механизма реакции позволяет построить ее кинетиче ­скую модель - уравнение зависимости скорости реакции от условий ее протекания. Понятно, что эта модель будет значительно проще, чем система уравнений всех стадий реакции, и ее исследование будет ин­формативным.

Процесс на отдельном зерне катализатора, размером несколько миллиметров, включает реакцию, представленную сс кинетической моделью, и перенос вещества и теплоты в порах зерна и между его на­ружной поверхностью и обтекающим потоком. Превращение на зерне определяется условиями протекания процесса - составом, температу­рой и скоростью обтекающего потока и не зависит от того, где созда­ны такие условия - в реакторе малого или большого размера, т.е. не за­висит от масштаба всего процесса. Анализ полученной модели позво­ляет получить свойства процесса, например, скорости превращения в виде зависимости только от условий его протекания - наблюдаемую скорость превращения.

Процесс в слое катализатора включает процесс на зерне, для кото­рого закономерности уже выявлены, и перенос теплоты и вещества в масштабе слоя.

Выделение в сложном процессе простых этапов, различающихся масштабом протекания, позволяет построить иерархическую систему моделей , каждая из которых имеет свой масштаб и, главное, свойства такой системы не зависят от масштаба всего процесса (инвариантны к масштабу).

В общем виде модель реакционного процесса, построенную по ие­рархическому принципу можно представить схемой (рис. 4.6).

Химическая реакция, состоящая из элементарных стадий, протекает в молекулярном масштабе. Ее свойства (например, скорость) не зави ­сят от масштаба реактора, т.е. скорость реакции зависит только от ус­ловий ее протекания независимо от того, как или где они созданы. Ре­зультатом исследования на этом уровне является кинетическая модель химической реакции - зависимость скорости реакции от условий. Следующий масштабный уровень - химический процесс - совокуп­ность химической реакции и явлений переноса, таких как: диффузия и теплопроводность. На этой стадии кинетическая модель реакции яв­ляется одной из составляющих процесса, причем объем, в котором рассматривается химический процесс, выбирается с такими условия­ми, чтобы закономерности его протекания не зависели от размера ре­актора. Например, это может быть рассмотренное выше зерно катали­затора. Далее полученная модель химического процесса как одна из составляющих элементов, в свою очередь, входит в следующий мас­штабный уровень - реакционную зону, в которую также входят и струк­турные закономерности потока, и явления переноса в сс масштабе. И,

наконец, в масштабе реактора в составляющие процесса входят реак­ционная зона, узлы смешения, теплообмена и др. Таким образом, ма­тематическая модель процесса в реакторе представлена системой ма­тематических моделей разного масштаба.

Иерархическая структура математической модели процесса в реак­торе позволяет:

7) полностью описывать свойства процесса путем детального иссле­дования его основных этапов разного масштаба;

8) проводить изучение сложного процесса по частям, применяя к каждой из них специфические, прецизионные методы исследова­ния, что повышает точность и надежность результатов;

9) устанавливать связи между отдельными частями и выяснять их роль в работе реактора в целом;

10) облегчить изучение процесса на более высоких уровнях;

11) решать задачи масштабного перехода.

При дальнейшем изложении материала, изучение процесса в хими­ческом реакторе будет проводиться с помощью математического мо­делирования.

Похожая информация.

Главная » Значение слов » Математическое моделирование физических объектов. Физические и математические модели